南京工业大学线性代数江浦A卷.doc

南京工业大学线性代数江浦A卷.doc 南京工业大学 线性代数 (A)卷(闭) 2009--2010学年第 一 学期 使用班级 江浦09级各专业 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 ,EAATARA()(符号说明:表示单位矩阵，表示矩阵的秩， 表示的伴随矩阵，表示矩阵的 转置。) 一、填空题(每题3分，共15分) 1100 110kk1( ,0, 则应满足_______________ 。 002k 002k ,12A,AAEO，，,32( 已知，则 。 ABAB3( 若矩阵经过初等列变换化为矩阵, 则秩()______________秩() ,,,,,,,,,,,,,,,,,23123124( 设线性相关, 线性无关,则线性_______关. 搞平行了 12,,5( 矩阵的特征值为 ，A能否对角化?___________。 A,,,54,, 222fxxxxxxxxx(,,)()()(),，，,，，6( 二次型的秩为 2 。 建议换5.123122331 或4. (也可以问正惯性指数，也为2) 二、选择题(每题3分，共15分) A,2A1(设为4阶矩阵，则为( ). 2484A(A)(B)(C),2A()2DA2A AAx,02(为3阶矩阵，且其特征值为0，1，2，则齐次线性方程组的基础解系所含的解向量的个数为 ( ) (A)(B)(C)0 1 2 (D)3 (D) AAijij3(设是一个阶方阵，交换的第行、第行，然后再交换其第列、第列，所得矩n，n B(2)r(A),r(B)(3)A,B(4)A与B(1)A,B阵为。现有以下命题:;;的行向量组等价;有相同的特征值。其中正确的个数有( ) (A) 1个 (B) 2个 (C ) 3个 (D) 4个 南京工业大学 第 1 页 共 4 页 2ABAE,,4(设三阶方矩的三个特征值分别为 1,2,3, 又矩阵, 则以下正确的是( ) (A)矩阵,可逆 (B) 矩阵,三个特征值为 0, 3, 8 ||27B,(C)矩阵B不可以对角化 (D) AA,05(设是n阶方阵，，则( ) (A)A不能分解成初等矩阵的乘积 (B)A的行向量组线性相关 A (C)的秩为 (D)A不可逆 n 建议换5.为: 5. 设A是n阶对称阵, B是n阶反对称阵, 则下列矩阵中为反对称阵的是 ( ) (A) BAB (B) ABA (C)ABAB (D) BABA 或者 ,A,5. 设A是n阶可逆阵，是其特征值，则伴随矩阵有特征值( ) nn,1,1,1,A,A,A,A(A) (B) (C) (D) 或 110，， ,,A5. 则的特征值是( ) A,101,,, ,,011，， (A)1, 0, 1 (B)1, 1, 2 (C) -1, 1, 2 (D) -1, 1, 1 axaaaa， 000,yx 三、(12分)计算n阶行列式 D,000,yxn 000,yx 展开递推式中有没有问题, 南京工业大学 第 2 页 共 4 页 3000,, ,,34002,,BAABEB，,，42四、(12分)设四阶矩阵，方阵满足矩阵方程，试求A,,,0050 ,,1206,, B出四阶矩阵。 稍修改了。 10311,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,22011,,,,,,,,,,五、(12分)求向量组的秩及其一个极大,,,,,,,,,,,,,,12345,,,,,,,,,,31747 ,,,,,,,,,,421875,,,,,,,,,,线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。 2,,,,,,,,(,1,1),(1,,1),(1,1,),(1,,)kkkkk分)已知向量六、(13，问: 123 可以由，，唯一线性表示k,,,,(1)为何值时，向量? 123 不能表示成，，的线性组合k,,,,(2)为何值时，向量? 123 可以由，，线性表示，且表示法不唯一k,,,,(3) 为何值时，向量? 123 题改得好。解题的空白够不够, 南京工业大学 第 3 页 共 4 页 222fxxxxxxxx(,,)32,，，,七、(16分)已知二次型，试回答下列问题 12312313 A1) 写出此二次型的矩阵; X,QY2) 利用正交变换该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型; 3) 判断该二次型是否具有正定性。 八、(5分)已知V为n维线性空间，证明:V中任一组n个线性无关的向量都可构成V的基。 建议改个题: |AB|,,1|A，B|1、设A, B是两个n阶的正交阵，且 ，求 。 或者 ***(AB),BA2、设A, B是n阶可逆阵, 证明: 或书上的 , 3、设A, B都是矩阵，证明:秩 (A + B) 秩 (A) + 秩 (B) m，n 或难一点的 ABIBA,I4、设为阶矩阵，是阶矩阵，是n阶单位矩阵(m>n)。已知，试m，nn，m A判断的列向量组的线性相关性，并说明理由。 或 001，， ,,x,yA,x1y5、设有三个线性无关的特征向量，求应满足的条件。 ,, ,,100，， 南京工业大学 第 4 页 共 4 页