用MATLAB优化工具箱解线性规划

用MATLAB优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog（c，A，b） 2、模型： 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq） 注意：若没有不等式： 存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. 3、模型： 命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval. 例1 max 解 编写M文件小xxgh1.m如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例2 解: 编写M文件xxgh2.m如下： c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50]; Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub 例3 （任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、 600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工 费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使 加工费用最低？ 解 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上 加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 编写M文件xxgh3.m如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[]; [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例4．某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为： 因检验员错检而造成的损失为： 故目标函数为： 约束条件为： 线性规划模型： 编写M文件xxgh4.m如下： c = [40;36]; A=[-5 -3]; b=[-45]; Aeq=[]; beq=[]; vlb = zeros(2,1); vub=[9;15]; %调用linprog函数： [x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 结果为： x = 9.0000 0.0000 fval =360 即只需聘用9个一级检验员。 Matlab优化工具箱简介 1.MATLAB求解优化问题的主要函数 2.优化函数的输入变量 使用优化函数或优化工具箱中其它优化函数时, 输入变量见下表: 3. 优化函数的输出变量下表: 4．控制参数options的设置 Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下: (1) Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’. (2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取值为正整数. (3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数 控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命令的格式如下： (1) options=optimset(‘optimfun’) 创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关的默认值的选项结构options. （2）options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...) 创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有指定值,所有未指定的参数取默认值. (3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’, value2,...) 创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops中相应的参数. 例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8) 该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设为’iter’, TolFun参数设为1e-8. 用Matlab解无约束优化问题 一元函数无约束优化问题 常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...） 其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。 例1 求 在0 0，且a11 > a12； 同理， p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ，b2，a21，a22 > 0 2．成本与产量成负指数关系 甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为 负指数关系,即: 同理， EMBED Equation.3 模型建立 总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280, a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则 问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使 总利润z最大. 为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70, 我们把它作为原问题的初始值. 模型求解 1.建立M-文件fun.m: function f = fun(x) y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2); f=-y1-y2; 2.输入命令: x0=[50,70]; x=fminunc(‘fun’,x0), z=fun(x) 3.计算结果: x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003 即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5. 非线性规划 1、 二次规划 用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b); 2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. [x,fval]=quaprog(...); 7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...); 例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 1、写成标准形式： 2、 输入命令： H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 3、运算结果为： x =0.6667 1.3333 z = -8.2222 一般非线性规划 标准型为： 　　　min F(X) s.t AX<=b G(X) Ceq(X)=0 VLB X VUB 其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X); 2. 若约束条件中有非线性约束:G(X) 或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=... 3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) (6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...) 注意： [1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。 [2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。 [3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。 例2 s.t. 2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2 3、再建立主程序youh2.m： x0=[1;1]; A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[]; [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 4、运算结果为： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294 例3 1．先建立M文件 fun4.m,定义目标函数: function f=fun4(x); f=exp(x(1)) *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2．再建立M文件mycon.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon(x) g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10]; 3．主程序youh3.m为: x0=[-1;1]; A=[];b=[]; Aeq=[1 1];beq=[0]; vlb=[];vub=[]; [x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon') 3. 运算结果为： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.8951 例4．资金使用问题 设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得效益 万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大. 设变量 表示第i年所使用的资金数,则有 1．先建立M文件 fun44.m,定义目标函数: function f=fun44(x) f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4))); 2．再建立M文件mycon1.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon1(x) g(1)=x(1)-400; g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440; g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484; g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4; ceq=0 3．主程序youh4.m为: x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[]; [x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1') 得到 � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� 1、模型： � EMBED Equation.3 ��� min z=cX � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 解 � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� � EMBED Word.Document.8 \s ��� s.t. � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 1、写成标准形式： s.t. _1093098033.unknown _1164825417.unknown _1164827951.doc 搜索方向 步长搜索 最优解 最优值 迭代次数 BFGS 混合二、三次插值 (0.9996，0.9992) 2.3109 155 三次插值 (1.0001，1.0002) 2.3943 132 DFP 混合二、三次插值 (0.9995，0.9990) 2.6223 151 三次插值 (0.8994，0.7995) 0.0192 204 最速下降 混合二、三次插值 (-1.1634，1.3610) 4.6859 204 (0.9446，0.8920) 0.0031 8002 （0.9959，0.9916 1.8543 9002 单纯形法 (1.0000,1.0000) 1.9151 202 _1093274588.unknown _1093274931.unknown _1093275201.unknown _1093274868.unknown _999003760.unknown _1164829221.unknown _1164830321.unknown _1164830322.unknown _1164829345.unknown _1164830320.unknown _1164829344.unknown _1164829343.unknown _1164828534.unknown _1164828975.unknown _1164828431.doc 标准型为： Min Z= XTHX+cTX s.t. AX<=b VLB≤X≤VUB � EMBED Equation.2 ��� _998333259.unknown _1093091056.unknown _971010490.unknown _1164828533.unknown _1164826467.unknown _1164826542.unknown _1164826958.doc 设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为： 建立无约束优化模型为：min y=- ， 00,则x为解;否则,x不是最终解,它只是迭代制止时优化过程的值 所有优化函数 fval 解x处的目标函数值 linprog,quadprog,fgoalattain, fmincon,fminimax,lsqcurvefit, lsqnonlin, fminbnd exitflag 描述退出条件: · exitflag>0,表目标函数收敛于解x处 · exitflag=0,表已达到函数评价或迭代的最大次数 · exitflag<0,表目标函数不收敛 output 包含优化结果信息的输出结构. · Iterations:迭代次数 · Algorithm:所采用的算法 · FuncCount:函数评价次数 所有优化函数 _1119886924.doc 类 型 模 型 基本函数名 一元函数极小 Min F（x）s.t.x1