一元三次方程的求根公式

一元三次方程的求根公式 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求 根公式的配方法只能将型如 023  dcxbxax 的标准型一元三次方程形式化为 03  qpxx 的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次 方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来 的形如 03  qpxx 的一元三次方程的求根公式的形式应该为 33 BAx  型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出 开立方里面的内容，也就是用 p和 q表示 A和 B。方法如下： 将 33 BAx  两边同时立方可以得到：       xABBABAABBAx  33333 33 移项得：   03 33  BAxABx 与 03  qpxx 比较得：                      33 3 3 p AB qBA qBA pAB 这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问，因为 A 和 B可以看作是一元二次方程的两个根，而上式则是关于形如 02  cbyay 的一元二次方程两个根的韦达定理，即        a c yy a b yy 21 21 令                    a cp a b q yB yA 3 2 1 3 而型为 02  cbyay 的一元二次方程求根公式为            a acbb y a acbb y 2 4 2 4 2 2 2 1 带入并整理得到，                                  32 32 322 322 pqq B pqq A 将 A、B代入 33 BAx  最终解得： 3 32 3 32 322322                          pqqpqq x 这就是一元三次方程 023  dcxbxax 的一个通解。 上式只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根（是指在复 数域内），不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。