岩石节理粗糙面的分形几何特性与剪切强度关系的实验研究

第 �� 卷第 � 期 �� �� 年 � 月 上 海 力 学 ��� ��� � � �� �� � � � �� � ��� � ���� � � �� � � � � � �� �� � � �� � � 岩石节理粗糙面的分形几何特性与 剪切强度关系的实验研究 杜守继 江崎哲郎 蒋宇静 孙 钧 �九州大学工学部环境系统研究中心 � �同济大学地 下建筑与工程系 � 提要 自然形成的岩石节理面的表面形状具有分形特性 , 利 用 分形理论来描述岩 石节理 的粗糙特性 , 并确 立与岩石节理 面 的剪切力学特性间的关系对于指导岩体工程设计 、施工和管理具有重要意义 。 本研究利 用 开发设计 的三维激光测距仪在精确测定岩石节理面的表面形状 的基拙上 , 依据 变量 图法建立 了新 的岩石节 理面的分形几何模型 , 模型 中的 两个分形参数�振幅 � 和分形维数 � �分 别定量表述 了岩石节理 面表面 形状 的两个几何特性 �一级倾抖度和高级次起伏度� , 在此基础上 , 进一步提 出了由这两个分形参数组合得 出的代 表岩石节理面表面粗糙特性的平均粗糙角 � 的概念和计算方法 。 其 次 , 在 岩石 节理 面剪切强度 实验基拙 上 ,应 用新的分形模型 , 建立 了剪切强度和分形参数及平均粗糙角 � 的定量关 系。 关键词 � 岩石节理 面 , 分形几何模型 , 平均粗糙角 � , 剪切强度 。 � 引言 地球中大量的岩体内存在着破裂 。 在进行岩体边坡和地下洞室的稳定性分析 以及放射 性废弃物的地层处理的水理学研究时 , 仅仅 以岩体为研究对象是不够的 , 岩体内包含的节理 和不连续 面的状态特别是其力学和水理学特性对岩体边坡和地下工程 的设计 、施工和管理 起着决定性的影响 。 长期以来 , 众多的研究学者已认识到 自然岩石节理面的表面粗糙特性对其力学行为来 讲非常重要 , 为此提出了许多方法来定量描述节理面的表面形状 。 ��� �� �� �� �� �在其早期的 工作中 , 已把节理粗糙度作为一个参数 , 并与基本摩擦角共同组成 了峰值剪切摩擦角 , 节理 的剪切强度可表示 为 � � � 。 ��� �必。 � �� �� 式 中 , �被定义为节理的破裂角 。 对坚硬的节理来讲 , �值不是常数 , 它随剪切位移和法向应 力的增加而减少 。 此后 , 大量的研究集中在通过寻求具有代表性的 � 值来定 量描述节理粗 糙特性 。 � � �� � �飞��� �� �等学者对 自然岩石节理面作了大量实验工作 , 提出了下式所示 的剪切 强度的经验关系式 � � � 。 , � �皿�, � ,。��舒�· ‘占� �� � 本文收到 日期 � ��� � 年 � 月 �� 日 第 � 期 杜守继等 �岩石节理粗糙面的分形几何特性与剪切强度关系的实验研究 式中 �� � 是描述节理表面粗糙特性的粗糙度 系数 � 邵 是节理壁面压缩强度 , 。。 是法向应 力 。 通过对 ��� 个节理试样 �长 ��� � �进行系列的剪切实验 , 节理面被分成 �� � 二 � 一 �� 的 �� 个粗糙线 , 并被 乃尺对 采用作为国际标准 。 由于 �� � 值 的确定方法中存在主观或经 验因素 , 因此寻求客观而有代表性的岩石节理面粗糙特性的定量描述就成为众多学者 的研 究目标 。 自��� � �巧以��蚝� , ��� �� 提出分形几何理论以来 , 自然界中各种各样无规则 的无法 由 欧氏几何理论表述的复杂物体即可用分形几何学理论定量表述 。 总结最近发表 的论文 , 可 以发现分形几何学理论在不连续性岩体中的应用集 中在两个方 面 � ��� 、岩体断层裂隙面的 分形描述 � 即用分形维数表示裂隙面的迹线 ��� � � �长 、 断层的破碎 幅和裂隙面密度 的空间分 布等 , 在这方面 , 日本的大野博之等��� �� �学者作了大量的研究工作 。 �� � 、岩石节理面粗糙 形状的分形描述 � �� 政��� � �� 、玩 � ��� �� � 、�曲�� ��� � � �等学者建立了 �� � 值和分形维数间的 经验关系式 , � � �� � ��� � � �、�� � ��� �� �等学者应用变量图 ���� � � �出� �法分析 了岩石节理面的 分形特性 。 �匕述的研究工作仅仅局限在岩石节理面粗糙形状 的分形描述 , 或寻求 �� � 值和 分形维数间的经验关系 �然而 , 在岩体工程实践中更重要的是要在岩石节理面粗糙形状的分 形描述基础上 , 定量表述和预测岩石节理面的剪切力学特性和水理学特性 。 本研究首先开发设计了大小两种尺度的高精度激光测距仪 , 并采用此测距仪精确测定 岩石节理面的表面粗糙形状和进行数值化表达 , 在此基础上 , 建立 了岩石节理面的新的分形 几何模型 , 并结合岩石节理面剪切实验 , 详细探讨了应用分形模型中的分形参数来定量表述 岩石节理面的剪切强度特性的有效方法 。 � 岩石节理面的分形几何模型 � � � 岩石节理面的分形描述的传统方法 一般地 , 在一个度量空间中的一个维数包含着一个线段 ��� �� 的几何特性的信息 , 分形 维数提供了关于一个线段 �。�� �占据多大空间的描述 , 它是在一个非常小的尺度上显示 的一 个线段 �� �� �不规则粗糙的测度 。 从几何统计学观点来看 , 岩石节理面显示出由 自然界两个 基本几何特性的随机过程 � � 、随机方面 � 粗糙面在空间以随机方式变化 , 而且无确定的空间 来描述此几何形式 � � 、结构方面 �粗糙面的方差 � � 面二�� �不是完全独立于他们的空间 位置 , 但两者之间的关系取决于测点距离 。 假设一个变量 � �幼的单值 函数 �� � �能满足上述两个几何性质 。 在 自然的节理粗糙 线上 � �幼值随 � 的变化而 以随机方式变化 , 粗糙面的变化独立于它的位置的凹 凸高度的 变化 , 方差 侧耐被定义为由一段距离 � 分割的两测点高差的均方量 � � �“卜武甘仁� �一 “, 一 � �一 ,」� �� � 式中 , � � 二‘�为点 二 、处不连续面粗糙线 的高度 �� 为两测点间的水平间距 � � 为测点总数 。 公式 ��� 所描述的粗糙线是稳定 的 � �� �� ��� � �� �和各 向同性的 � ��� ��� �� � 。 方差形成分形行为 的描述为 � �� 二 � �� � �� � � � � 一 � � 二 , � �, � 二 一� � 一 � � ��� �� � 上 海 力 学 �卯� 年第 �� 卷 这里三角括号代表 � �� 的众多样品数的平均 , � 是相关于分形 维数的 自仿射因子 。 已经 证明变量 � �� 的分形维数 � 二 � 一 � 。 故方差可用如下形式表示 � ��人� � � · 人, �� 一 ”� �� � ��� 式表明 , 在方差 袱 �� 和 � 的对数坐标系中 , � 是 �� �� 轴 的截距 , �� � 一 � �是 以 �� 轴的 斜率 , � 即是分形维数 。 传统的分形理论方法仅用分形维数 � 来描述岩石节理面的几何粗糙特性 , �曲�� 、 �� � 等学者的研究表 明双对数曲线 � 轴的截距 � 也是一个重要的参数 。 对 自然的节理面来讲 , 较粗糙的破裂线有着较大的截距 。 然而 , 现有的分形理论所用的描述岩石节理面 的粗糙特 性的分形维数 , 在描述和预测岩石节理面的力学特性方 面仅能做定性分析或寻求间接的定 量关系 。 由于岩石节理面的平均粗糙角直接影响其力学特性 �诸如剪切强度 、刚度 、 剪胀 以 及透水系数等 � , 故提出合理的分析理论模型 , 建立分形参数与破裂粗糙角间的定量关系 , 才 能准确地描述和预测岩石节理面的力学特性 。 � � � 新的岩石节理面的分形描述 这里 , 假设一个岩石节理面高度变量 � ��� 的单值函数 � ��� 也能满足岩石节理 面的两 个基本的几何统计性质 �随机方面和结构方面 �。 在 自然的粗糙线上 , � �� 值随 � 变化而以 随机方式变化 , � ��� 被定义为由间距 � 分割的两测点高差的根均方量 � 。�、� 二不于二弄下笼,阵业三卫二兰些业�’不’� � �气�� 一 �� ‘二 � � � � � �� � 同样公式 �� �所描述 的粗糙线是稳定 的 ���� ���� ��� �和各 向同性 的 ���� 的� �� � � 从 � �� �和 � �� �的定义可看 出 , 两者存在下述的关系 � 酬 � � 二 还卫〔五乏 九 �� � �� 式代人上式得 � � �� � �� 闷 ·尸 一 ” � � ·矿 一 ” �� �� 式表明 , 在 � ��� 和 � 的对数坐标系中 , 振幅 � 是 � �� 轴的截距 , � 一 � 是 � ��� 轴的斜 率 。 � �� �� ��� � ��� ��� 认为可以把统计参数 � ��� 看作是岩石节理面的粗糙线 的平均倾斜角 。 图 �� 显示了利用激光器测定 的岩石节理面的粗糙线 。 一般地 , 方差 �� �� 随测点间距 � 的 增加而增加 , 然而当间距 � 达到一定值时 , 侧耐表示出不稳定 的变化 �图 ��� � 而平均粗糙 角 � �� �随测点间距 � 的增加而减少 �图 �� � , 在 � 小于某一值时 , � �耐值下降很快 , 而后趋 于平坦 , 并发生起伏 。 从 � ��� 和 h 的双对数 曲线图 (图 ld )中可明显看 出 , h 小 于某一值 时 , U ( h ) 值随 h 呈直线下降 , 而后发生无规律变化 。 这说明 自然发展 的破裂一般是无规则 的 , 不是严格 自相关的 , 只有统计意义上的 自相似特性 , U ( h) 和 h 的关系只在 一定范围 内 适用 。 分形维数 D 根据 U ( h )和 h 的双对数 曲线线 性部分 的斜 率来计算 , 振 幅 B 根 据 U l一。g、二 。的值求出 。 第 1期 杜守继等:岩石节理粗糙面的分形几何特性与剪切强度关系的实验研究 (a): △卜· o 习s m m 八八八.7众2OONv‘uJ.(上)>了了嘛嘛ttt.1...20406080100 20406080100 味味一JJJ (d)0.250.2 彗0.巧 0 .1 0.0 1 0.0 01 愧愧性下下 :!三l!!石石滋尘!刘刘!翅翅.…!…{;{{{{l}{}}}四四)))...个个 : !梢梢~~卜 卜!!!傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲傲~~~一 十,, i { } } { {{{ ~ 一 r 州州州 卜 ~ 了了丁}}}{{l:!!!厂丁飞飞飞洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲洲 ‘‘‘‘‘‘ } . : }}} ! 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L 10 n l < 20 >>> 7 . 7 5000 1 0 .乃5111 7 ., 叹幻幻 36 .177 999 日日e n 一 U 刃m < 20 >>> 2 .0即即 20 .争抖333 巧 .22左左 36 .81 84 上 海 力 学 199 7 年第 18 卷 T曲le 2: F份c回 par enleters of 翎llpleS , n , c 奴比e p找币les SSS田11p le ’s N ~~~ BBB DDD U ( h 二 0 .5 % L ))))) 哭哭叫 Zm < L 二 8 0 >>> 0 .23 555 1 . 3 7 000 1 8 . 8 9 855555 韶韶明 20mmm 0 .18444 1.33444 14 .31700000 ssse nb 4mmm 0.23 999 1.38222 19 .43 277777 哭哭n b Z伍nnn 0 .24DDD 1 .3%%% 19 .7 6叹))))) ssscn e 6 mmm 0 .22 999 1 .36 333 18 .29 822222 吕吕e llc 20 mmm 0 . 2 1 000 1 . 3 6777 1 6 , 2 3 566666 哭哭n 【1 10 mmm 0 . 25 666 1 .47 999 2 2 .7 4 9 55555 留留n d 20 mmm 0 .22 333 1 47 000 19 .6 5433333 sssen s石 (20 C ))) 0 . 10’777 1.38777 8 .01688888 ... 20 一 5( 20 W ))) 0 . 1 2444 1 . 3 9 888 9 . 36 1 77777 别别, 1 1 一 L l m < 20 ))) 0 . 1 6 555 1 . 3 7 000 1 2 . 2 1 7 22222 sss e n 一巧m < 20 >>> 0 .11444 1 33222 8 .22 188888 吕吕e ll一 L I O m < 2D >>> 0 . 的444 1.33444 6 .78888888 ssse n一皿om < 2D >>> 0 .1肠肠 1 .23 999 7 .16766666 SM P a一 Z m m N o n l l a l S t r e s s S M P a S M P a 一 4 m m 二 5 汀导瀚减福瓦二~口叫 ! . , l. 、 , 。_ 了止二一一v 、尸~ , ,寻 沙{ ~ 川 凄‘’巨夔夔二二石浪 厂况 一 5 卜 0 5 10 15 ShearD isP.(m m ) 图 7 : Th e 旧ati on of sh ear s比s8 田ld sh ear di 耐ace 二nt 4 .2 剪切强度与分形参数的关 系 图 8 所示为垂直应力 。。 = S M Pa 时 , 峰值剪切角 笋二 ( = tan 一 ’: 二 / 。。 ) 与分形参数 (振幅 B 和分形维数 D ) 、平均粗糙角 U (的的分布规律 。 图 8 观察出 , 峰值剪切角 气 随振幅 B 的增加 而增 加 , 具有高度相关的线性关系 (图 8a );峰值剪切角 气 基本上也随分形维数 D 的增加而增加 , 但相关关系不显著(图 sb) 。 这 说明描述岩石节理面粗糙特性 的两个分形参数中 , 振幅 B 对岩石节理面剪切强度的影响较 第 1期 杜守继等 :岩石节理粗糙面的分形几何特性与剪切强度关系的实验研究 之分形维数 D 的影响非常显著 , 因此 , 仅仅使用分形维数 D 来描述岩石节理面粗糙特性是 不完全的 。 ( b ) : a r e t a n ( 下 m / 口 n ) 一 D : a rc t a n ( r m / 口 n ) 一 U (h ) 3 5 ‘. . ‘‘己. . . . ‘~ . ~ 法. 0 · 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 2 0 . 2 5 0 . 3 口口口 口口口 。。 沪 。。 口口口 aaa cPPP DDD , 一 a --- {{{ ! } ______ , ]]]之之之不不 (C)651605550454035(。b/‘Ž„u,1。,:协‘ (亡之￡1)u!"足e B I丙了1|l|1 1 ”耐 、 J口山呐.尸盆内‘”‘r舀,尸n几下日洲 乍‘J“刁目尸a 656055504540 它。/Ep)u.”VJe 2 5 1 . 3 1 . 3 5 1 . 4 1 4 5 、.5 1 0 1 5 U (h = 0 .5 % L ) 2 0 2 5 图 8 仆e ::、l‘、‘一, 肚 , h i p of 阮e园 par山 ,。ter an d s卜毋 , 廷姗gt卜 在岩石节理面剪切力学特性 中 , 更重要的是建立剪切强度和平均粗糙角 U (h) 之间的 定量关系 。 由图 8c 观察出 , 测点间距 h 为试样长度的 0 .5% 时 , 根据公式(8) 得出的平均粗 糙角 U (h )与峰值剪切角 气有高度相关的关系 , 峰值剪切角气 随平均粗糙角 U (h)的增加 而增加 。 众多的研究表明 , 岩石节理面的剪切强度主要依赖于三方面的影 响 :¹ 作用在岩石节 理面上的垂直应力 。。 ; º 节理面的表面粗糙特性 ;» 节理面的材料特性(壁面压缩强度丐和 基本摩擦角 户。) 。 剪切强度和这三方面间的定量关系可表述为 : ·m 二一{·〔U (“): · los (之)· , ‘} ( 9 ) 式 (9) 中系数 a , 。 , h 根据剪切实验数据经多元线性 回归分析得出 。 本研究主要探讨岩石节 理面的表面粗糙特性对剪切强度 的影响 , 经测定岩石节理面的材料特性为 , 壁面压缩强度 aj “ 1 44 MPa 和基本摩擦角 汽= 24 · 6o ; 根据公式(9) 和 尹。 一 U ( h ) 的分布关系 , 经多元线性 回 归分析 , 得出系数 a = 1.733 , 。 = 0 . 8 39 , h 二 0 . 4 ;相关系数 R = 0.978 。 故峰值强度公式表示 为 : 、 二一{‘· 7 , , , 〔U (“)〕。一los (会)·。} (10) 平均粗糙角 U (h) 和 Bart on 经验强度公式 中的 JR C 值虽然都表示岩石节理面的几何粗糙特 性 , 然而它们所代表的内涵和范围不同 , JR C 值首先是根据 Barton 提 出的并经 IS R M 建议的 10 条标准岩石节理面粗糙线定义的 , 某一实际的岩石节理面粗糙线与标准粗糙线进行对 比 或作倾斜试验而确定 JR C 值 , 这样得到的 JR C 值实际上是一个经验值 , 受主观因素影响较 大 , 而且只能在规定的 10条标准粗糙线内确定 。 U ( h) 值是在实测岩石节理面粗糙线基础 上 , 根据分形模型计算两个分形参数而得 出的 , 可以代表具有任意粗糙表面的岩体不连续 面 , 并且减少 了主观因素 , 使之更符合实际 。 5 结论 本文在采用新设计的激光测距仪精确测定岩石节理面的表面粗糙形状的基础上 , 应用 上 海 力 学 199 7 年第 18 卷 分形概念建立了新的岩石节理 面的分形几何模型 ;并进行 了岩石节理 面的剪切实验 , 建立 了 分形参数和剪切强度间的定量关系 , 得 出了如下结论 : (l) 本文建立的分形几何模型说 明 , 代表岩石的节理面的表 面粗糙形状 的两个几何特 性(一级倾斜度和高级次起伏度 )分别用两个分形参数 (振幅 B 和分形维数 D )来描述 , 振幅 B 和分形维数 D 越大 , 岩石节理面倾斜和起伏程度越大 , 节理面越粗糙 。 进一步根据公式 (8) 得 出的平均粗糙角 U (h) 代表了岩石节理面的粗糙特性 。 ( 2) 分形参数(振幅 B 和分形维数 D )的尺寸效应研究表明 , 试样尺寸较小时 , 分形参数 随试样长度的变化而剧烈变化 ;随试样尺寸增大 , 分形参数趋于稳定值 。 ( 3 ) 剪切实验结果表明 , 峰值剪切角 气 与振幅 B 有着高度相关的线性关系 , 而与分形 维数 D 的线性关系不显著;峰值剪切角 气 与平均粗糙角 州 h) 之间也有高度的相关关系 , 并建立 了两者 的定量关系式 。 参 考 文 献 〔1] Bart 佣 N , C h 加bev v .肠e she o str en助 of , ock joi nts in th eory an d Prar tic e . Roc k m ech , l 期 , 10 : l we 一5 4 [ 2 ] B a rt o n N , B an d i , 5 . E fi 七c ts of bl 诚 size 00 theshear 块11aviou , of j o i n t司 roc k . 23记 U .s .S”n p . on R oc k M ec h an ics , & 人el叮 , C A , 1 9 8 2 : 7 3 梦一7印 〔3〕Barton N , B and i s s . Re 诉ew of p阁itive c叩目〕i] iti es of J R e 一J cs l l联lel i。 e n 巨nee ‘ng 拌ac tie 。 . z n : P n 犯 In t s卿 on触kjoints , 』办即 , N ~ a y , B 以~ , R o t t 司aIn , 1 9 男〕〔4」江崎哲郎 . 岩。不澳蒜面。She 阶Fl ow coupling 献肺装置内开癸 .研究成果氰 1哪 〔5] Hu an g etal . A I〕p licat ion of fr a c t司 eh arac ten zat ion an d n l(司el lin g to 二kjointl)lofi les .IntJR‘K : k M eC h M i n se i , Ab s tr . l 卿 , 四 (2) :89一~ 9 8 [ 6 ] L , e r al . Th e frac 回 dimen sio as a me asu re of th e , ghn es , of roc k d i sc on r i n u i ty p 赫les一nt J触kMechMi。 sc i . 筋str .l卿2产(6 ) : 45 3一取抖 【7〕州明delb句t B B . H Ow lon g i, th 。 ~ of Bri 证n? stat isti以 明1‘si而lari ty 耐 ‘鱿t以 山~ si , . 陌en , , 1 967 , 巧5:636 一8[s]汉朋de】b ro t B B . 肠。 石习c回 脚metiy of n咖re . New Y诚 , 2 9 5 2 〔9〕大野博之 . 岩盟割扎目刃7 于夕夕/卜. 应用地赏 1卯2 , 3 3( 3) 【10 ] 习lirg N E . N 川泊r目丘时哎u , p涌les , fr 呱以 击~ si on and joi n t , ou ghn es , c .犯价ci ent , . B oc k M ech R oc k En gng , 1州27 (3):135一153 [川 ?att 以 1 F D . 碗ltiple m闭, of 由ear 伍i一u二 in r‘k , x n : P r优 ISt e on 笋s, I n t 骊 阮kMechan ie, , u s b o z哪 z:5的一~5 13 〔12 ] ’阳人 et 吐. ch a r鱿te6 zatl on of rock joi nt su 血es 场 台t“比日 d im en si on . In :】〕n 洲〕 28 th u s s ym p m R ock M ec h 画cs , Tu c 。 , . 3 目ke ll、a , R o tt e 记am , 1 9 8 7 : 1 2 2 3 一1236 〔一3」儿e H .凡aC园。 in r oc k mec h ani e s , R O tt e n l aJ I , , l 卯3 tl4 〕儿e et 公. F、旧 e玉Ct: of , t试瓦e 二沙rless on m赫an ical 目lavio:of roc k joi nt , . ch ao , , oli t on s & 施回, , 1哪 〔25]阳如l砍e P H 5 w et目. N ew 拌ak sh皿 stre ngth c石te“a fo r an is吻sc二k Joint, . I n t J noc k M ec h M i n 曳i, 汕str , 1 卯s32 (7 ):67 3ee 497 第 1期 杜守继等:岩石节理粗糙面的分形几何特性与剪切强度关系的实验研究 Tl lE E X P E IU M E N T A L R E S E A R C H O N T H E R E L A T IO N O F F R A C r A L P A R A M E T E R S O N T H E R O U G H N E S S S U R F A C E S A N D S H E A R S r开比N GT H O F N A T U R A L R O C K JO IN r巧 Du S入。嘛 知ng }球昭 左 Te ts uro Es ak i】璐dto te of E 勿对州加”刀四回 Sy动~ , Fa 回ty of D嗯加ee 内吧 , K 卿由u U 川ve浦ty 及切 九几 F a。目ty Of G 钓t以自川回 D 心n伙内呜 , T on gj i U 川 , e因ty A 加tI妞et 仆ere are th e pro pe rti es of fra eta1s for th o natum lly deve1ope d 二k fra ctu re su rfa ees .It hasimpo rtan tsign ifi c~ e for 即idi ng th e de si gn , ~ tlu cti on a n d man ag e m e n t of 砚k engi n~ ng to de -sc ribe the rough nessof 二k discon tinuou ssu山ees wi th 加etal gco m etrie th eo 甲 曲d to und ers te Ln d the , 沙ness of rnc k disc on tinuou s surfa ees in re la ti on to th e sh ear me ehan ieal pro pe rt ies in load ing . B ase d on th e me as ureme nt of th e fr aeture surfa ees 初th th ree dime ns ional las er seann ing ins tium ent , th el lew fr ac t 以 g。田n e try n加d el of 二gh fra eture su rfa eesof IDc ks are de ve loP ed an d an alyz ed ac eo记ing to th e 顽。目冠m me th 记 . Th o g哪letricl〕ro pe rt l e s of IDc k 俪ctu re su 山ces (th e bas ic 5101犯 an d hi gh 脾d吨 「w av i ne ss ) c an be de sc rib ed qu anti tati ve ly 场 th e two frac以 p~ te ls (田即litu de B an d 加c-taldi m ens ion D ) of th e 价记el separa tely . O n th e bas is of th is , th e e onc 即tion an d eal eula ted m eth od 。 f ave r a ge ro u gl 切ess哪le U(h)15砂tfo侧ard wh ieh re presen ts th e o ughness p功pe 勿 ofl二k disc on-!inu皿ns sux fa ees .仆e sh eartes ts on l℃吧k di s c o n t inu ou s s u rfa e es s h o w a e o 欢山ine d e ffe e t of th e fr ae tal })。、 ~ ters ( av e哪 咖沙nes s angle U (h)) on the she ar me e腼e滋 pro pe rt ies. ”le 卿an :itative 旧a-:,犯 of sha ar stre ngth 田ld the 如c回 pa欢双n e te 玲 (or a ve 拍g e 功ughn e ss a llg le U (h ) ) h as bee n ob 面ned 从s记 on th e shear te sts 师 using th e new frae以 m记el .几d五e~ re , th e sh e ar s tr e n g th , k di sc on - :l, 1 ; z ou s s u rfa e e s 1 5 p red i e te d . Th e re su lts s h o w th at th e p red i c t ed v alu e s 1 5 i n cons on an e e wi th th e te s t - ‘·‘1 v a lu e s . 旋洲阳八如 :na tu ral IDc kj oi nts , fra c 以 罗om e卿 , rou gh ne ss su rfa c e s , av e r a ge rou gh 朋ss an 少 , 5 1 , e a r s n ’e n沙 ,