[doc格式] FPU双原子链中的能隙呼吸子

[doc格式] FPU双原子链中的能隙呼吸子 FPU双原子链中的能隙呼吸子 476 北京师范大学(自然科学版) JournalofBeijingNormalUniversity(NaturalScience) 2008—10 44(5) 局域非简谐近似下一维~-FPU双原子链 中的能隙呼吸子* 吕彬彬周倩田强 (北京师范大学物理学系,100875,北京) 摘要采用局域非简谐近似(LAA)和旋转波近似(RwA),讨论一维FPu双原子链中的能隙呼吸子.在驻波边界 条件下数值求解一维FPu双原子链品格振动的运动方程组,得到不同耦合系数,不同非线性系数以及不同原子质量 比情况下的能隙呼吸子,并进行了和讨论.无论是在硬非线性还是软非线性情况下,呼吸子解都是随着耦合系数的 增大,其空间扩展范围也随之增大;非线性作用越强,能隙呼吸子局域化越强;随着原子质量比的增大,能隙呼吸子在空 间越来越局域;软非线性情况下的呼吸子随不同参数发生变化的程度,要比硬非线性的呼吸子明显得多. 关键词能隙呼吸子;5-FPU双原子链;局域非简谐近似;非线性 晶体中存在一类由杂质引起的局域振动模,另一 类局域振动模是原子之间的非线性相互作用引起的, 称为本征局域振动模(intrinsiclocalizedmode,记作 ILM)_l].呼吸子是完整晶体内由于非线性相互作用 而产生的一种本征局域振动模,它是空间局域,时间周 期的振动模.呼吸子存在于很多非线性的离散系统和 连续介质中.一维非线性双原子链中离散能隙呼吸子 (DGB)的研究近些年来倍受关注,同时促进了生物 神经信号传输,聚合物中能量输运等方面的研究.实际 原子链系统中往往存在不可忽略的非线性相互作用, 可以在能隙中产生呼吸子.在原子之间具有4次非线 性相互作用的一维p-FPU双原子链中,运用牛顿方 法...在反连续极限的条件下得到了4种模式的呼吸 子解.其中包括硬非线性(4次非线性系数大于零)情 况下以重原子为中心的对称模(HS)呼吸子和以轻原 子为中心的反对称模(LA)呼吸子;软非线性(四次非 线性系数小于零)情况下以轻原子为中心的对称模 (LS)呼吸子和以重原子为中心的反对称模(HA)呼吸 子.一. 我们在局域非简谐近似(LAA)下研究了一维K.一 K.一K双原子链中的能隙呼吸子,分析了3次非谐势 的影响_8j.本文仍采用LAA近似和旋转波近似 (RwA)[,讨论一维FPU双原子链晶格振动的运 动方程,通过原子振幅的一组非线性代数方程组,在驻 波边界条件下数值求解,分析一维p-FPU双原子链中 的能隙呼吸子随非线性系数和原子质量比的变化情况. 1理论模型 相邻原子之间平衡间距为a的一维双原子链,原 子质量分别为与(设m>),以示第2 个原胞内质量为m的原子离开平衡位置o一2sa的 位移,以+表示第2s+1个原胞内质量为m.的原 子离开平衡位置z!一(2s+1)n的位移.一维p-FPU 双原子链晶格振动的哈密顿量为 H一?1m如;+1;+ V(U2一”21)+W(“21,”22),(1) 其中w(,一)一等r.+鲁rd,(2) 是.是原子间相互作用的耦合系数,是4次非线性系 数.首先是在简谐近似下,具有相互作用势能的一维双 原子链晶格振动的哈密顿量 H一?1+1吐i+ 2 (“.一:卧)z+(.计一.)z,(3) 相应的运动方程 m12一是2(“2l一2u2+”2厂I),(4) m22+1一点2(22—2u2+1+”2),(5) 得到一维双原子链晶格振动的色散关系 g)一是.? [1?k4mlmesine(aq)].(6) *国家自然科学基金资助项目(105740l1);北京师范大学创新研究群 体资助项目 十通信作者 收稿日期:2008—0l一02 第5期吕彬彬等:局域非简谐近似下一维FPu双原子链中的能隙呼 吸子477 当q=O时:}兰(cJ(O)一0, 型一, 其中l0一是2种原子的约化质量.? 1十m2 非线性作用对线性能隙有显着影响,一0时?一 . 线性情况下能隙中没有运动状态,非线性作用可 以在能隙中产生运动状态,其中能隙呼吸子就是这样 的一种运动模. 当gB一丢时:;三wL(qB)=2k2;;三(q)一2运动方程 . 这时色散关系式(5)写为 ,tL2 一 去{cu;+?i?[(;一;)+ 4w;60;COS(叼)].),(7) 色散关系如图1所示,其中能隙 ?一(~/m1m2—1)(u(%). e 图1一维双原子链的色散关系(ml=2m2) 考虑4次非线性作用,运动方程为 /Ttl乱2一是2(“2卧l一2”2+”21)+ (2叶1一).一(一U21).],(8) m22卧l一是2(2+2—2u21+2)+ (“22一U2升1).一(“2州一”2).],(9) 为了分析非线性作用对于能隙的影响,只需讨论布里 渊区边界处(q—qe)的解.在布里渊区边界,格波是波 长为4.的驻波,可以取解的形式如下]:U一U一 (一1)uo,2+1一叫一0或2一u一0,2+l—ZU一 (一1)叫.,代入运动方程(8)和(9),得到 一 2k~+ m pu:一 ;(1+u:),(1o) 177z?Z0 叫+叫j(1+P2.) 7,m,宠 从上式可以看出,由于4次非线性作用的存在,使得声 频支顶和光频支底有不同程度的升高(>0)或降低 (0);且能隙为 gp::=3(qB)一(U2(qB)一 叫一+(叫;一u),(12) 一 维FPU双原子链的运动方程(8)和(9)在能 隙中存在形式为”(t)一”:coscot的时间周期解,其中 03(口B)<co<co+(g).将”()代入运动方程组,采用 RWA近似即忽略20),3叫等高次谐波项,得到 ((Uz一(u(qB))”+(“卧+)+ Tit1 ,) E(uo1一uo).一(“一uo1).]一0,(13)厶,,1 ((U一(g.))”卧4-鱼(“计+”:)+ lit2 rj 上[(卧2,卧1).一(:}l一).]一0.(14) 令量纲为1的能隙呼吸子频率为一,对 于能隙中的频率,有O<<1;令量纲为1的原子位 移为.一,方程经过适当改写,然后除以n;得到: n/ (co+—=二兰一)+(:卧+)+ ~/l/m2—1;ap [(卧一).一(一:).]一.,(15) (一1)(-F一)斗+ qel|m2—1 以+箍Zm2??;ap(U;a [(卧2一叶1).一(:卧l一).]一0.(16) 上式中c一二1 , 6一a2 , y—mL m2,则量(? y一1)(2+6:)患2. 纲为1的运动方程为 n (6+_==竺一)+C(l+)+ q—1 [(2州一).一(:一2)s]一o,(17) (叫一1)(?+)+(:+0)+ y— [(!卧一0叶).,(卧.一!).]一0.(18) 这是S个非线性代数方程构成的方程组,可以通过数 值求解,得到不同参数情况下的数值解.取数值模拟原 子链的原子数一101,一50??50,一0.42,在驻 波边界条件下(一.一一0)和不同参数情况下数值 478北京师范大学(自然科学版)第44卷 求解. 3不同参数情况下的能隙呼吸子 一 维p-FPU双原子链有4种形式的呼吸子解,分 别为HS,LA,LS和HA模.对于硬非线性(J8>0)情 况,得到以重原子为中心的对称模(HS)呼吸子和以轻 原子为中心的反对称模(LA)呼吸子;而对于软非线性 (0)情况,得到以轻原子为中心的对称模(LS)呼吸 子和以重原子为中心的反对称模(HA)呼吸子. 3.1硬非线性情况下面讨论当卢>0时,不同值 及不同原子质量比的条件下呼吸子的情况. 3.1.1随非线性系数的变化不同的非线性系数 对应于不同的b值.数值计算得到HS模的能隙呼吸 8 6 4 2 l 罢0 一 2 — 4 — 6 —— 8 一 1.0 O?8 0.6 0-4 0.2 0 —— 0.2 — 0.4 6=50 _ „\y?一 20 子如图2;6—0.01,1,50,100,取原子质量比),一2. 随着非线性系数卢的增大在b值小于1时,呼吸 子变化不大;b值大于1时,随非线性系数的增大,呼 吸子越来越局域.非线性作用是空间局域振动模产生 的根本原因,非线性作用越强,局域化越强. 3.1.2随原子质量比的变化不同的双原子链通常 具有不同的原子质量比,下面分别对于不同的原子质 量比y等于1.25,2和16,数值计算能隙呼吸子,其结 果如图3所示,其中6—1.原子质量比2对应于O,C 双原子链,原子质量比16对应于()一H双原子链,在 耦合系数,非线性系数等参数不变的情况下,随着原子 质量比的增大即原子质量差的增大,呼吸子在空间的 扩展范围越来越小即越来越局域. 4 3 2 1 1 罢0 一 1 — 2 —— 3 一 ! l?0 O.8 0?6 0.4 金 0.2 0 一 O.2 — 0.4 b=1OO 一 1l, -_ 图2不同非线性系数(0>o)情况下的能隙呼吸子 4 2 1 0 <0 一 2 —— 4 — 40—2002040 图3不同原子质量比的能隙呼吸子(0】 20 第5期吕彬彬等:局域非简谐近似下一维~-FPU双原子链中的能隙呼 吸子479 3.2软非线性情况下面讨论当<0时,不同卢值 及不同原子质量比的条件下呼吸子的情况. 3.2.1随非线性系数的变化对于不同的非线性 系数p,分别取6一一0.01,一1,一100,一1000,其中 原子质量比y一2.数值计算LS模能隙呼吸子,如图4 所示. 随着非线性系数或b绝对值的增大,呼吸子越 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -- 0.2 — 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -- 0.2 20O2O b=一1OO ...1.f... 来越局域.比较O的LS模与卢>0的HS模,随着 非线性系数绝对值的增大,LS模的呼吸子局域性的变 化程度比HS模明显得多,即LS模呼吸子的局域性 对非线性系数』9的变化更灵敏. 3.2.2随原子质量比的变化对于不同的原子质量 比1.25,2和16(与O时相同).数值计算能隙呼吸 子,结果如图5所示,其中b一一1. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 — 0.2 — 0.4 2002O b=一l000 1I『 -I?--?_ 图4不同非线性系数(<0)情况下的能隙呼吸子 0.8 0.6 0.4 0.2 0 — 0.2 一 O.4 — 4O一2002040 图5不同原子质量比的能隙呼吸子(卢<O) 在耦合系数,非线性系数等参数不变的情况下,随 着原子质量比的增大,呼吸子在空间的扩展范围越来 越小即越来越局域,这一点与(>0)的HS模是相同 的.不同之处在于:随着质量比的变化LS模(<O)的 呼吸子局域性的变化程度要比HS模(>0)明显得 多,即LS模呼吸子解的局域性对质量比的变化更 y=16 一 ,J- 20 明显. 4结论 一 维FPU双原子链中的原子具有4次非线性 相互作用势,晶格振动的运动方程为非线性方程,原子 链中的非线性作用可以在原子链中产生局域振动模. 864202 O00OO 48O北京师范大学(自然科学版)第44卷 本文讨论了一维FPU双原子链在硬非线性(>0) 条件下以重原子为中心的对称能隙呼吸子(HS)和软 非线性(0)条件下以轻原子为中心的对称能隙呼吸 子(LS).采用LAA近似和RwA近似,在驻波边界条 件下数值求解一维5-FPU双原子链晶格振动的运动 方程组,分别在硬非线性和软非线性情况下得到不同 非线性系数和不同原子质量比情况下的能隙呼吸子. 非线性作用是本征空间局域振动模产生的根本原 因,非线性作用越大,能隙呼吸子越来越局域;随着原 子质量比的增大,能隙呼吸子在空间也是越来越局域. 比较硬非线性和软非线性的情况,呼吸子解随参数变 化的整体趋势是相同的;不同之处在于:软非线性LS 模呼吸子解随参数变化而发生变化的程度要比硬非线 性HS模呼吸子解明显得多. 5 [1] 1,29 参考文献 CampbellDK,RosenauP.ZaslavskyGM.Introduction oftheFermi—Pasta—Ulamproblemthefirstfiftyyears1?J]. Chaos,2005,15:015101 ZolotaryukAV,ManiadisP,TsironisGP.Existence andstabilityofdiscretegapbreathersinadiatomicI8 Fermi—PastaUlamchain[J].PhysRevE,2003,67: [33 E4] [5] [6] I-7] [8] [9] 0466l2 GorbachAV,JohanssonM.Discretegapbreathersina diatomicKlein—Gordonchain:stabilityandmobility[J]. PhysRevE,2003,67:066608 ZolotaryukAV,ManiadisP,TsironisGP.Discretegap breathersinchainswithstronghudrogenbondingEJ]. PhysicaB,2001,296:251 KopidakisG,AubryS.Intrabanddiscretebreathersin disorderednonlinearsystems.I.delocation[J].Physica D,1999,130:155 ZhouG,DuanY,YanJ.Comparativestudyofnonlinear localizedmodesofdiatomicchainswithtwotypesof quarticnon1inearity[J].PhysRevB,1996,53:13977 PageJB.Asymptoticsolutionsforlocalizedvibrational modesinstronglyanharmonicperiodicsystems1?J].Phys RevB,1990,41:7835 田强,李宓善,周倩.四次非谐势下的能隙呼吸子和三 次非谐势的影响[J].北京师范大学:自然科学版, 2005,41(6):582 FlashS,WillisCR.Discretebreathers[J].PhysRep, 1998,295:181 OksanaA,Chubykalo,YuriSKivshar.Strongly localizedgapsolitonsindiatomiclatteces[J].PhysRev E,1993,48:4128 THEGAPBREATHERSINoNE—DIMENSIoNAL DIATOMIC/~-FPUCHAIN LUBinbinZHOUQianTIANQiang (DepartmentofPhysics,BeijingNormalUniversity,100875,Beijing,China) AbstractUsinglocalanharmonicityapproximation(IAA)androtating—wa veapproximation(RWA), discretegapbreathers(DGBS)inone—dimensionaldiatomic5-FPUchainw ereinvestigated.Understanding waveboundaryconditions,gapbreathersolutionsofcompletemotionequationswerecalculatednumerically.By numericalcalculationmethod,GBprofileswereobtainedundervariouscouplingcoefficient,nonlinearity coefficient.andatomicmassratio. Whetherquarticnonlinearityeffectwassoftorhard,gapbreathers?spatial fieldwasexpandedwithincreasingcouplingcoefficient.WithgreaterquarticnonlinearityeffectDGB localizationalsobecamestronger.Atthemeantime,withhigheratomicmassr atio,DGBlocalizationalso becamestronger.DegreeofDGBchangebecamemoreobviouswithsoft—nonlinearitythanwithhard— nonlinearity. Pasta—Ulamchain;localanhar Keywordsgapbreather;diatomic5-Fermi— monicityapproximation; nonlinearity