EXCEL下基尼系数的计算研究

实务探讨 41 基尼系数是20世纪初意大利经济学家基尼根据洛伦茨曲 线提出的定量测定收入差异程度的指标，也是国际上通常用来 衡量收入差异程度的一个重要统计指标。一直以来，尽管 很多人都知道基尼系数的大致含义和主要用途，但由于基尼系 数计算比较复杂，而且在相关教材和资料中难以找到非常有效 的计算，使得很多人在计算基尼系数方面存在一些技术障 碍和困难，大大地影响了基尼系数在实际工作中的应用。 为了彻底破除人们在计算基尼系数方面的技术障碍和困 难，本文将对基尼系数的计算进行一番探索，在指出常用基尼 系数计算公式不足的同时，直接根据基尼系数的有关定义，对 两种情况下的基尼系数计算，进行严格的数学推导证明，取得 两条新的基尼系数实用计算公式；然后再根据这两条实用计算 公式，充分利用EXCEL中单元格的计算功能，建立起全新、科 学、简易的基尼系数计算方法，可使一般人不用专门计算程序 也能轻轻松松地计算出基尼系数。 由于基尼系数与洛伦茨曲线关系密切，因此，在介绍基尼 系数之前，我们还得先讲一下洛伦茨曲线。 洛伦茨曲线是统计学家洛伦茨在研究社会收入分布情况时 首先提出的，其大致意思是：先将研究的全部人口对象（如 N个人）按其收入从低到高排列（设其收入为Q），从收入最 低的对象开始，累计任意百分比的人口（如i／N），计算出他 们收入合计占全部人口收入合计的百分比（设V），然后，以 人口累计的百分比为X轴，以收入累计的百分比为Y轴，将所 有这些人口累计百分比和收入累计百分比的对应关系（如点 B）描绘在图上，这样绘出的曲线就叫洛伦茨曲线（见图1中 向下弯曲的曲线）。 图1 i i i 上图中B点的坐标（x，y）为： 明白了洛伦兹曲线后，基尼系数就很好理解了。基尼系数 实际上就是图1中S除以（S+S），其中，S是直线段OB与 洛伦兹曲线围成的区域面积，S是直线段OA、AB和洛伦兹曲 线围成的区域面积。 目前有关资料和教材中比较常用的基尼系数（G）计算公 式有以下两条： 公式1是在已知所有N个人收入的情况下使用的。公式1中 W 为这N个人的收入之和，Q为这N个人按收入从低到高排列 后的第i个人的收入。公式1的具体展开就是： 尽管这个计算公式中各项都很有规律，但在EXCEL下要 对给定的一组收入数据（Q）实现以上计算还是比较麻烦的。 像这样的计算，为了有效利用EXCEL的“拖拉复制”功能，减 少手工输入公式，一般要在EXCEL表中开辟一个与以上展开式 形状相似的三角形计算区域，在这三角形计算区域中，虽然每 列只需对一个单元输入计算公式，其他单元的公式可通过拖拉 复制得到，但由于这样的列数共有N－1个，当N很大时，要输 入全部的计算公式还是显得非常麻烦的。 公式2是针对研究对象已按个人收入多少分成n个组，并 且已知每组的对象个数（P）和总收入（Q）的情况，而建立 的基尼系数计算公式。这条公式中X、Y、V分别为： i 1 1 2 1 2 N i i i i i i i 高 技 EXCEL下基尼系数的计算研究 收入累计百分比 1 1 B（1，1） A（1，0） S1 S2 Bi Bi-1 AiAi-10 人口累计百分比 一、基尼系数的概念与常用计算公式的不足 实务探讨 42 如果在EXCEL下要对给定的对象个数（P）和总收入 （Q）两列数据，用公式2计算基尼系数一般也需开设4、5列 的计算区域，其计算也比较麻烦。而且，公式2中各项的具体 意义也不是很直观，不便于记忆，计算时容易弄错。 对于上面洛伦茨曲线的一般描述，本人认为还需要补充说 明的是：严格来讲，按上面定义中的方法将所有对应关系都描 在图上，实际上是不能构成一条连续的曲线。这是因为，人口 数N是一个自然数，当N确定后，在X轴的[0，1]区间上只有 i/N（i=0，1，2，⋯⋯，N）处，人口累计的百分比才有实际 意义。虽然对象越多，这些有意义的点就越紧密，但无论多 密，相邻的点总是还有1/N的间隔。这时将人口累计百分比和 收入累计百分比的对应关系描绘在图上，还只是一串貌似曲线 的N点集合。关于这个问，许多资料都没有提及。但本人认 为，根据洛伦茨曲线的精神，在这种情况下，依次将上面N点 用直线段进行连接，所得到的一条从坐标（0，0）到（1， 1）的折线就是洛伦茨曲线，这时不存在用直线近似代替曲线 一说，因为上面N点的间隔处原先就没有什么曲线。 清楚了以上有关概念和补充说明后，现在让我们分两种不 同情况重新推导一下基尼系数的计算公式。 设这N个人收入从低到高排列后，得到的收入为Q（i=1， 2，⋯⋯，N）。且记 则有： 上面推导中需要说明的是：根据前面有关概念和说明我们 知道，图1中直角三角形OAB的两个直角边长都是1，于是 S+S等于0.5。S实际上就是N个直角梯形（第一个为三角 形）面积之和，其中第i个梯形的“上底”就是V ，“下底” i i i 1 2 2 i-1 第一种情况：已知N个人的收入，计算其基尼系数G。 就是V，“高”就是1／Ｎ，面积就是（V + V）／2N。另 外，值得一提的是，可以证明公式3和公式1的计算结果是完 全一样的。 设共被分成n个组，按组人均收入由小到大进行排列后， 各组的人数和收入分别为P（i=1，2，⋯⋯，n）和Q（i=1， 2，⋯⋯，n），且记 则有： 这里需要说明的是： 1.在这种情况下，由于不知道每个研究对象的具体收入情 况，所以，不可能像第一种情况一样能准确画出洛伦茨曲线。 但如果我们用直线段依次将（U，V）（i=0，1，2，⋯⋯， n）这些点连接起来，并将所得折线记为K线，就会发现K线与 洛伦茨曲线还是比较近似的。这是因为，根据洛伦茨曲线定 义，可以知道（U，V）（i=0，1，2，⋯⋯，n）这些点肯定 都落在洛伦茨曲线上，换句话说，K线与洛伦茨曲线在（U， V）（i=0，1，2，⋯⋯，n）这些点上是完全重合的，只不过 在这些点的间隔处K线是一条直线段，而洛伦茨曲线不一定是 一条直线段，很可能是一条单调上升的“折线段”。在这种没 具体确定这些“折线段”的条件下，我们用K线的直线段 代替未知的“折线段”，应该说是比较合理的。上面公式4就 是用K线近似代替洛伦茨曲线后推导出来的。我们前面介绍过 的公式2在推导中可能也有这样一个近似代替的过程，因为我 们可以验证公式2和公式4的计算结果是完全一样的。 2. 用K线近似代替洛伦茨曲线后，S就是n个直角梯形 （第一个为三角形）面积之和，其中第i个梯形的“上底”就 是V ，“下底”就是V，“高”就是P／Ｎ，面积就是（V + V）P／2N。 3. 我们应当明白用公式2和公式4得到的G只是一个近似 值，当我们可以用公式1和公式3计算时，最好不要用公式2和 公式4。事实上，公式4计算出来的G往往要比实际上的基尼系 数小一些。这是因为，根据洛伦茨曲线定义可以知道，实际上 的洛伦茨曲线在（U，V）（i=0，1，2，⋯⋯，n）这些点间 i i-1 i i i i i i i i i 2 i-1 i i n i-1 i i n i i 第二种情况：已知按个人收入多少进行分组，而且知道每 组的人数和收入，计算其基尼系数G。 二、洛伦茨曲线的补充说明和基尼系数 实用计算公式的推导 实务探讨 43 隔处的“折线段”一般都在K线的下方，不可能在K线的上 方，这就使得公式4中的S往往要比实际上的S小，结果公式 4计算出的G也就往往要比实际上的基尼系数小一些。这点也 说明了，用分组方法计算基尼系数往往会出现低估的情况，分 组越粗，得到的基尼系数就越小。这个问题，在我们的实际工 作中也遇到过。如同样的住户调查数据，由于在计算时采用不 同的分组方法，如十分法或五分法，则得到的基尼系数往往是 不一样的，结果给关于基尼系数的统计分析带来了困惑。人们 之所以比较多地采用十分法和五分法计算基尼系数，我想其中 一个主要原因就是想简化基尼系数的计算，避开对成百上千住 户调查数据进行直接计算的麻烦。现在好了，我们没有必要回 避对住户调查数据的直接计算，因为，有了公式3和下面将要 介绍的方法，我们可以不费吹灰之力就能将它们搞定，还能还 基尼系数以本来面目。 有了上面的公式3和公式4，现在我们可以讨论EXCEL下 基尼系数计算的新方法。为了更加具体、直观地介绍EXCEL下 基尼系数计算的新方法，下面将采用实例的形式，并分两种情 况进行。 为了节省本文篇幅，这里只举一个18人的例子，人数很 多操作步骤也完全一样。设在EXCEL表的A3到A20单元中有 18个人的收入数据，它们已按从小到大排列，具体见表1。 表1 这时我们的具体计算操作步骤就是： 第一步：在B3单元中输入公式“=B2+A3”（要求B2单 元为空或零），并点住B3单元右下角拖拉至B20单元，这时便 会得到表1中的B3到B20的数据，这些数据实际上就是公式3中 的W（i=1，2，⋯⋯，18），这些单元中的计算公式分别为： B3：“=B2+A3” B4：“=B3+A4” ...... B20：“=B19+A20” 第二步：在B21单元中，根据公式3并结合本例实际，输 入相应的计算公式“=1-(2*SUM(B3:B20)-B20)/(18*B20)”， 便可以得到基尼系数的计算结果0.3878。 1 1 i 1.已知EXCEL表中有一列个人收入数据，求其基尼系数。 2.已知EXCEL表中有分组的人数（或家庭数）和总收入这 两列数据，求其基尼系数。 对于这种情况的基尼系数计算，我们也举一个18个组的 例子。设在EXCEL表的B3到B20位置有18个组的家庭数， C3到C20位置有18个组的收入数据，它们已按户均收入从小 到大排列，具体见表2。对于这个例子，有个问题需要先说明 一下，即公式4中原来要求知道分组的人数和收入，而现在实 际上只知道分组的家庭数和收入，公式4中能用家庭数代替人 数吗？对于这样类似的问题，许多教材和资料一般都是默许 的。这主要原因是，在不知道人口分布的情况下，用家庭分布 大致反映人口分布也是一个比较合理的办法。另外，从公式 4来看，如果被调查的每户家庭人口数都一样，公式4中的分 组人口数用分组家庭数代替后，其计算结果是不变的，所以， 当被调查的家庭人口数大致相同时，这种替代的合理性是有依 据的。尽管这种替代是被允许的，但我们也要明白它也是一个 近似的过程，对计算结果也是有影响的。 表2 关于本例基尼系数计算，我们的具体操作步骤就是： 第一步：在D3单元中输入公式“=D2+C3”（要求D2单 元为空或零），并点住该单元右下角拖拉至D20单元，这时便 会得到表2中的D3到D20的数据，这些数据实际上就是公式4中 的W（i=1，2，⋯⋯，18），这些单元中的计算公式分别为： D3：“=D2+C3” D4：“=D3+C4” ...... D20：“=D19+C20” 第二步：在E3单元中输入公式“=（D2+D3）*B3”（要 求D2单元为空或零），并点住该单元右下角拖拉至E20单元， 这时便会得到表2中的E3到E20的数据，这些数据实际上就是 公式4中的（W + W）P（i=1，2，⋯⋯，18），这些单元 中的计算公式分别为： E3：“=（D2+D3）*B3” E4：“=（D3+D4）*B4” ...... E20：“=（D19+D20）*B20” 第三步：在E21单元中，根据公式4并结合本例实际，输入 相应的计算公式“=1-SUM(E3:E20)/(SUM(B3:B20)*D20)”， 便可以得到基尼系数的计算结果0.3011。 i i-1 i i （作者单位：温州市统计局·邮编：325009） 三、EXCEL下基尼系数计算的新方法