高等数学笔记

第1章 函数、极限和连续 §1.1 函数 1、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )； 若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在D内单调减少( )； 若f(x1)＜f(x2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=xn , (n为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 1、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: 称数列 以常数A为极限;或称数列 收敛于A. 定理: 若 的极限存在 EMBED Equation.3 必定有界. 2.函数的极限： ⑴当 时， 的极限： ⑵当 时， 的极限： 左极限： 右极限： ⑶函数极限存的充要条件： 定理： ㈡无穷大量和无穷小量 1． 无穷大量： 称在该变化过程中 为无穷大量。 X再某个变化过程是指： EMBED Equation.3 2． 无穷小量： 称在该变化过程中 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系： 定理： 4． 无穷小量的比较： ⑴若 ,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若 （c为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若 ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若 ,则称β是比α较低阶的无穷小量 定理：若： 则： ㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3…） 且： 则： 2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则： ㈣极限的运算规则 若： 则：① ② ③ 推论：① EMBED Equation.3 ② ③ ㈤两个重要极限 1． 或 2． §1.3 连续 1、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在 处连续： 在 的邻域内有定义， 1o 2o 左连续： 右连续： 2. 函数在 处连续的必要条件： 定理： 在 处连续 EMBED Equation.3 在 处极限存在 3. 函数在 处连续的充要条件： 定理： 4. 函数在 上连续： 在 上每一点都连续。 在端点 和 连续是指： 左端点右连续； 右端点左连续。 a+ 0 b- x 5. 函数的间断点： 若 在 处不连续，则 为 的间断点。 间断点有三种情况： 1o 在 处无定义； 2o 不存在； 3o 在 处有定义，且 存在， 但 。 两类间断点的判断： 1o第一类间断点： 特点： 和 都存在。 可去间断点： 存在，但 ，或 在 处无定义。 2o第二类间断点： 特点： 和 至少有一个为∞， 或 振荡不存在。 无穷间断点： 和 至少有一个为∞ ㈡函数在 处连续的性质 1. 连续函数的四则运算： 设 ， 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性： 则： 3. 反函数的连续性： ㈢函数在 上连续的性质 1.最大值与最小值定理： 在 上连续 EMBED Equation.3 在 上一定存在最大值与最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2. 有界定理： 在 上连续 EMBED Equation.3 在 上一定有界。 3.介值定理： 在 上连续 在 内至少存在一点 ，使得： ， 其中： y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： 在 上连续，且 与 异号 在 内至少存在一点 ，使得： 。 4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数： 在 的某个邻域内有定义， EMBED Equation.3 2．左导数： 右导数： 定理： 在 的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在； 则： （或： ） 3.函数可导的必要条件： 定理： 在 处可导 EMBED Unknown 在 处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理： 存在 ， 且存在。 5.导函数： 在 内处处可导。 y 6.导数的几何性质： 是曲线 上点 处切线的斜率。 o x0 x ㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o 2o 3o 3.复合函数的导数： ，或 ☆注意 与 的区别： 表示复合函数对自变量 求导； 表示复合函数对中间变量 求导。 4.高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分： 在 的某个邻域内有定义， 其中： 与 无关， 是比 较高 阶的无穷小量，即： 则称 在 处可微，记作： 2.导数与微分的等价关系： 定理： 在 处可微 在 处可导， 且： 3.微分形式不变性： 不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分 都具有相同的形式。 §2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o ξ b x a o ξ b x 2.拉格朗日定理： 满足条件: ㈡罗必塔法则：（ 型未定式） 定理： 和 满足条件： 1o ； 2o在点a的某个邻域内可导，且 ； 3o 则： ☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是 型或 型时，不可求导。 3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o若 和 还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： 5o若函数是 型可采用代数变 形，化成 或 型；若是 型可 采用对数或指数变形，化成 或 型。 ㈢导数的应用 1． 切线方程和法线方程： 设： 切线方程： 法线方程： 2． 曲线的单调性： ⑴ EMBED Unknown EMBED Unknown ⑵ EMBED Unknown EMBED Unknown 3.函数的极值： ⑴极值的定义： 设 在 内有定义， 是 内的一点； 若对于 的某个邻域内的任意点 ，都有： 则称 是 的一个极大值（或极小值）， 称 为 的极大值点（或极小值点）。 ⑵极值存在的必要条件： 定理： 称为 的驻点 ⑶极值存在的充分条件： 定理一： 当 渐增通过 时， 由（+）变（-）； 则 为极大值； 当 渐增通过 时， 由（-）变（+）；则 为极小值。 定理二： 若 ，则 为极大值； 若 ，则 为极小值。 ☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点： ⑴若 ；则 在 内是上凹的（或凹的），（∪）； ⑵若 ；则 在 内是下凹的（或凸的），（∩）； ⑶ 5。曲线的渐近线： ⑴水平渐近线： ⑵铅直渐近线： 第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分 1、 主要内容 ㈠重要的概念及性质： 1．原函数：设： 若： 则称 是 的一个原函数， 并称 是 的所有原函数, 其中C是任意常数。 2．不定积分： 函数 的所有原函数的全体， 称为函数 的不定积分；记作： 其中： 称为被积函数； 称为被积表达式； 称为积分变量。 3. 不定积分的性质： ⑴ 或： ⑵ 或： ⑶ —分项积分法 ⑷ (k为非零常数) 4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法） EMBED Equation.3 常用的凑微元函数有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二换元法： 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o (当被积函数中有 时) 2o (当被积函数中有 时) 3o (当被积函数中有 时) 4o (当被积函数中有 时) ㈢分部积分法： 1. 分部积分公式： 2.分部积分法主要针对的类型： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 　 ⑸ 其中： （多项式） 3.选u规律： ⑴在三角函数乘多项式中，令 ， 其余记作dv;简称“三多选多”。 ⑵在指数函数乘多项式中，令 ， 其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令 ， 其余记作dv;简称“多对选对”。 ⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 ⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u，其余记作dv;简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分： 1. 有理函数： 其中 是多项式。 2. 简单有理函数： ⑴ ⑵ ⑶ §3.2定积分 f(x) 1． 主要内容 （一）.重要概念与性质 1. 定积分的定义： O a x1 x2 xi-1 ξi xi xn-1 b x 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。 x轴上方的面积取正号， y x 轴下方的面积取负号。 + + a 0 - b x 2. 定积分存在定理： 若：f(x)满足下列条件之一: 若积分存在，则积分值与以下因素无关： 3. 牛顿——莱布尼兹公式： *牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4. 原函数存在定理： 5. 定积分的性质： y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x y y M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a ξ b x （二）定积分的计算： 1. 换元积分 EMBED Equation.3 2. 分部积分 3. 广义积分 4. 定积分的导数公式 (三)定积分的应用 1. 平面图形的面积: 与x轴所围成的图形的面积 y f(x) 1. 求出曲线的交点，画出草图； 2. 确定积分变量，由交点确定积分上下限； 3. 应用公式写出积分式，并进行计算。 2. 旋转体的体积 及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积： 0 a b x 及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积： 第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分 1. 主要内容： 1. 多元函数的概念 3. 二元函数的定义： 4. 二元函数的几何意义： 二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） 2. 二元函数的极限和连续： 1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件： 2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件： ㈢.偏导数： ㈣.全微分： 1.定义：z=f(x,y) 在点(x,y)处的全微分。 3. 全微分与偏导数的关系 ㈤.复全函数的偏导数： 1. 2. ㈥.隐含数的偏导数： 1. 2. ㈦.二阶偏导数： EMBED Equation.3 ㈧.二元函数的无条件极值 1. 二元函数极值定义： · 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件： 两个一阶偏导数存在，则： ★ 而非充分条件。 例： ∴驻点不一定是极值点。 5. 极值的充分条件： EMBED Equation.3 求二元极值的方法： 极值点。 二倍角公式：(含万能公式) ① ② EMBED Equation.3 ③ EMBED Equation.3 ④ EMBED Equation.3 ⑤ EMBED Equation.3 � EMBED Equation.3 ��� PAGE 30 _1143305970.unknown _1145727563.unknown _1146317454.unknown _1149178248.unknown _1150565321.unknown _1151170115.unknown _1151170722.unknown _1151170749.unknown _1151171106.unknown _1151405573.unknown _1151170763.unknown _1151170735.unknown _1151170231.unknown _1151170300.unknown _1151170182.unknown _1150566171.unknown _1150566199.unknown _1150566527.unknown _1150566549.unknown _1150566516.unknown _1150566191.unknown _1150565887.unknown _1150565992.unknown _1150565519.unknown _1150565569.unknown _1149401736.unknown _1150302601.unknown _1150561997.unknown _1150562067.unknown _1150305198.unknown _1150219684.unknown _1150220274.unknown _1150220839.unknown _1150220963.unknown _1150220973.unknown _1150220512.unknown _1150220066.unknown _1149956921.unknown _1150217654.unknown _1149401934.unknown _1149402221.unknown _1149401201.unknown _1149401561.unknown _1149401636.unknown _1149401669.unknown _1149401580.unknown _1149401433.unknown _1149401544.unknown _1149401394.unknown _1149387181.unknown _1149387384.unknown _1149387441.unknown _1149387625.unknown _1149387658.unknown _1149387604.unknown _1149387396.unknown _1149387321.unknown _1149387355.unknown _1149386775.unknown _1149386950.unknown _1149178295.unknown _1146829984.unknown _1148467896.unknown _1148470307.unknown _1148473951.unknown _1148662051.unknown _1149177736.unknown _1149178121.unknown _1148662073.unknown _1148661988.unknown _1148662005.unknown _1148474229.unknown _1148475242.unknown _1148661849.unknown _1148474379.unknown _1148474108.unknown _1148472276.unknown _1148472805.unknown _1148473615.unknown _1148473734.unknown _1148473771.unknown _1148472934.unknown _1148472437.unknown _1148470880.unknown _1148470960.unknown _1148470688.unknown _1148469900.unknown _1148470029.unknown _1148470245.unknown _1148469971.unknown _1148469182.unknown _1148469847.unknown _1148468663.unknown _1147883292.unknown _1148453150.unknown _1148456336.unknown _1148456915.unknown _1148457151.unknown _1148467817.unknown _1148457004.unknown _1148456423.unknown _1148454520.unknown _1148456179.unknown _1148454460.unknown _1147884397.unknown _1148452427.unknown _1147884038.unknown _1147712933.unknown _1147882302.unknown _1147882732.unknown _1147881953.unknown _1147712275.unknown _1147712704.unknown _1147692759.unknown _1146486304.unknown _1146486600.unknown _1146487727.unknown _1146488679.unknown _1146488924.unknown _1146488979.unknown _1146488839.unknown _1146488583.unknown _1146486862.unknown _1146487239.unknown _1146486726.unknown _1146486431.unknown _1146486537.unknown _1146486377.unknown _1146332933.unknown _1146333665.unknown _1146334259.unknown _1146333497.unknown _1146332672.unknown _1146332895.unknown _1146332503.unknown 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