6区间估计

null第五讲 区间估计第五讲 区间估计 在估计湖中鱼数的问题中,若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000 条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.null 习惯上把置信水平记作很小的正数.[ ]也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.null1.置信区间与置信度对于样本找出使得：称区间 区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。例如:若通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.这时重复抽样100次, 则在得到的100个区间中包含的有95个左右, 例如:若是一个随机区间；可能性。区间 null由于正态随机变量广泛存在，指标服从正态分布，特别是很多产品的我们主要讨论总体分布为正态的的区间估计情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用 中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可 以近似求得参数的区间估计. 几个常用统计量复习几个常用统计量复习null2.正态总体均值的区间估计(1) 已知方差，估计均值的一个样本下，来确定一个无偏点估计.的置信区间 且null查正态分布表，找出临界值 使得：由此可找出无穷多组 通常我们取对称使：区间 null推得，随机区间：查正态分布表置信区间短表示估计的精度高， 需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.我们总是希望置信区间尽可能短. 任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.置信区间短表示估计的精度高，null像 N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以的区间长度为最短，我们一般选择它。若以L为区间长度，则可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），例1 例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5-6岁的幼儿中随机地抽查了9人,其高度分别为 115,120,131115,109,115,115,105,110cm; 假设差置信度为95%; 试求总体均值解 已知由样本值算得：查正态分布表得得置信区间：null置信区间越短,估计精度越高注意：置信区间并不是唯一的。同样给定 (2)选取样本函数：对于给定的分布表，得临界值使我们取对称区间即：未知方差，估计均值可用样本方差：(2)null找出推得，随机区间：得由中心极限定理知，由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么分布，都近似有当n很大时，容易想到用样本方差Ѕ代替σ后对分布影响不大，故n很大时，n>50则μ的置信度为1－α的置信区间为(2)均值的区间估计(1) 方差已知方差未知(2)3. 方差的区间估计3. 方差的区间估计我们知道并且样本函数：因此使概率对称的区间：即：null置信区间：即第五节 两个正态总体参数的区间估计第五节 两个正态总体参数的区间估计且 X 与 Y 独立,是取自X 的样本,Y 的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有是取自nullnullnullP191 表7.2正态总体均值、方差的置信区间三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.null于是引入单侧置信区间和置信限的定义：nullnull选取统计量为null使即null 将样本值代入得1065小时null例5 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时 （单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下 10.5 11.0 11.2 12.5 12.8 假设制造单位产品所需工时试求平均工时的置信水平为0.95的单侧置信上限.解 由于,其中未知,因此null对于给定的,由分布的上分位点的定义,存在,使得而, 所以,null即 故的单侧置信区间为单侧置信上限为　　null, 经计算得, 由, 得从而可得单侧置信上限因此, 加工这种产品的平均工时不超过12.55小时的可靠程度是95%.单正态总体的区间估计单正态总体的区间估计null双正态总体的区间估计双正态总体的区间估计null 第四章 假设检验 一 假设检验基本概念 理解假设检验的概念及其基本思想。 理解拒绝域、临界值、显著水平等概念。 掌握假设检验的基本步骤。 了解假设检验可能产生的两类错误。null例如，我们对某产品进行了一些改造，或研制了新产品，要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异，这样我们面临选择是否接受假设我们必须作一些试验，也就是抽样。根据得到的样本观察值来作出决定。 假设检验问题就是根据样本的信息，检验关于总体的某个假设是否正确。“新产品的某一项指标优于老产品”。nullnull通过大量实践，人们对小概率事件(即一次试验中发生的概率很小的事情）总结出一条原理：并称此为实际推断原理，其为判断假设的根据。在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了,就认为是不合理的。小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，一般取在假设检验中,称α为显著水平、检验水平。小概率事件在一次试验中几乎不会发生。null下面我们指出这很符合人们的逻辑,实际上这种思维称为 带概率性质的反证法 通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事实与之矛盾,(即如果这个假设是正确的话,出现一个概率等于0的事件)则绝对地否定假设. 带概率性质的反证法的逻辑是: 即如果假设H0是正确的话,出现一个概率很小的 事件,则以很大的把握否定假设H0.null 检验一个H0时,是根据检验统计量来判决是否接受H0的,而检验统计量是随机的,这就有可能判决错误.这种错误有以下两类: H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯了“弃真”的(或称第一类)错误. H0事实上是不正确的,但被我们接受了,称犯了“采伪”的(或称第二类)错误.null 假设检验的两类错误 犯两类错误的概率:null 当样本容量n固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误,必须增加样本容量. 在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率.一般事先选定一个数,(0<<1),要求犯第一类错误的概率≤.显著性检验：只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率。null正确正确假设检验的两类错误 犯第一类错误的概率通常记为  犯第二类错误的概率通常记为  null 任何检验方法都不能完全排除犯错 假设检验的指导思想是控制犯第一类误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个, 往往使另一个增大.错误的概率不超过, 然后,若有必要,通过增大样本容量的方法来减少  .null 一般,作假设检验时,先控制犯第一类错误的概率,在此基础上使  尽量地小.要降低  一般要增大样本容量. 当H0不真时,参数值越接近真值, 越大.备择假设可以是单侧,也可以双侧. H0 :  = 68； H1 :  > 68注 1º注 2º H0 :  = 68；null关于原假设与备择假设的选取H0与H1地位应平等,但在控制犯第一类错误的概率  的原则下,使得采取拒绝H0 的决策变得较慎重,即H0 得到特别的保护.因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.注 3º二 单个正态总体参数的假设检验二 单个正态总体参数的假设检验在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.-----原假设（零假设）-----备选假设（对立假设）例1 某车间生产铜丝，例1 某车间生产铜丝，X的大小。铜丝的主要质量指标是折断力由资料可认为今换了一批原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，但不知折断力的大小有无差别。解 此问题就是已知方差检验假设抽出10个样品进行检验，测得其折断力（斤）为（=0.05）看在H0条件下会不会产生不合理的现象，null差异不能过大。 较小 若差异较大，即小概率事件发生， null设一临界值 k>0，若就认为有较大偏差；若null显著性检验： 拒绝域null由样本值求出这说明小概率事件竟在一次试验中发生了，故拒绝H0，可以接受H1。即认为折断力大小有差别检验假设第二步：选取统计量检验假设的过程分为五个步骤：第三步：拒绝域为null第四步：查表确定临界值第六步：判断则否定H0，接受H1则H0相容，接受H0第五步：计算null α/2 α/2接受域P(|Z|>zα/2)=α拒绝域拒绝域 zα/2 - zα/2双侧统计检验Z检验例2某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?例2重是一个随机变量X,且其均值为μ=0.5公斤,标准差σ=0.015公斤.随机地抽取它所解：先提出假设（=0.05）null选取统计量：拒绝域：计算得认为包装机工作不正常。 null选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0这称为双边假设检验。单边检验右边检验左边检验null右边检验（2）选取统计量：（3）拒绝域为 （5）计算 null左边检验（2）选取统计量：（3）拒绝域为 （5）计算 null例3（2）选取统计量：某大学男生身高 今测得9名男生身高 问是否可以认为该校男生平均身高 超过170cm呢？ （3）拒绝域为 解 null查表确定临界值（5）计算 可以认为该校男生平均身高超过170cm. 如题目问：是否有明显提高 是否有明显下降 null（2）选取统计量：(3)拒绝域为例4 设某厂灯泡平均寿命为2000小时,标准差为250小时 从技术改造后的灯泡中随机抽取 n=25只，测得平均 寿命为2250小时,问此产品寿命是否较前有显著提高. null查表确定临界值（5）计算 即认为这些产品较以往有显著提高. null提出原假设和备择假设 第一步：第二步：选取统计量第四步：查表确定临界值第三步：拒绝域为null选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0这称为双边假设检验。第六步：判断则否定H0，接受H1则H0相容，接受H0第五步：计算例5显著差别？爆破压力X服从正态分布 =0.05解: 提出假设 H0：=549； H1：549对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,重复测量5次,测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）:545 545 530 550 545过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可看作真值),因为未知方差σ2，故采用t检验法。取统计量例5试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无null由样本算得这里接受H0。即这批新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。拒绝域查表例632.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03例6解(1)(2)(3)拒绝域取统计量 某工厂生产一种螺钉,标准要求是长度是32.5毫米,实际生产的产品其长度X服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件，得 尺寸数据如下： 问这批产品是否合格？ null（5）将样本值代入算出统计量 T0的实测值, 没有落入 拒绝域 查表null右边检验（2）选取统计量：（3）拒绝域为 （5）计算 null左边检验（2）选取统计量：（3）拒绝域为 （5）计算 例14.28;4.40;4.42;4.35;4.37.如果标准差不变,解:拒绝H0例1某日测得5炉铁水含碳量如下:该日铁水的平均含碳量是否显著偏低? =0.05（2）取统计量例2例2某次考试的考生成绩从中随机地抽取36位考生的成绩,平均成绩为63.5分，未知，标准差 s =15分,⑴问在显著水平0.05下是否可以认为全体考生的平均成绩为70分？⑵求μ的置信水平为0.95的置信区间。拒绝域为解 ⑴ 先提出假算null故落在拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1即不能认为全体考生的平均成绩为70分。⑵ μ的置信水平为0.95的置信区间为null设总体为X 的样本。对σ2 作显著性检验（，其中检验）引例 已知某种延期药静止燃烧时间今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为解 提出假设解 提出假设取统计量的观察值应集中在1附近 null说明和在H0成立的条件下都是小概率事件。因此，因此，在样本值下计算若或则拒绝H0。若则接受H0。本题根据样本值算得null双边假设检验的拒绝域为或则接受H0 。即可信延期药的静止燃烧时间T的方差为显然由上例可得null第二步：取统计量的过程分为五个步骤：第三步：拒绝域为null第六步：判断，若则拒绝H0，接受H1第五步：计算反之则接受H0。第四步：查表确定临界值null接受域α/2α/2λ1λ2拒绝域拒绝域例2（=0.05）某次统考后随机抽查26份试卷,测得平均成绩成绩标准差是否为已知该次考试成绩例2(2)选取统计量(3)拒绝域为解(1) 假设试分析该次考试 null(4)查表确定临界值(5)计算故接受H0。即可认为该次考试成绩标准差为三 两个正态总体参数的假设检验三 两个正态总体参数的假设检验且 X 与 Y 独立,是取自X 的样本,Y 的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有是取自检验两正态总体均值相等检验两正态总体均值相等分别是且X与Y独立,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是样本方差。均值,是样本null取统计量，拒绝域的形式对给定查表确定1. 提出假设H0： 1=2 ；H1： 1≠2 null则否定H0，接受H1则接受H0即认为两个正态母体均值无显著差异即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平为nullH0： 1=2 ；H1： 1≠2 取统计量提出假设拒绝域的形式给定显著性水平 检验两正态总体均值之差且X与Y独立,1. 提出假设 检验两正态总体均值之差取统计量拒绝域的形式给定null算出统计量则否定H0，接受H1则接受H0即认为两个正态母体均值无显著差异null例3 某苗圃用两种育苗对杨树进行育苗试验, 已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为cm, cm. cm, 设杨树苗高服从正态分布, 试在显著性水平下, 判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？现各抽取80株树苗作为样本, 算得苗高的样本均值分别为cm.null解 设第一种方案的苗高为第二种方案的苗高为则检验假设选取检验统计量 该拒绝域为null现在, , 统计量的值因为所以拒绝原假设即这两种试验方案对苗高有显著影响. null拒绝域拒绝域 五、 检验两正态总体方差相等 －F检验 五、 检验两正态总体方差相等 －F检验取统计量分别是样本方差,null(4)查表则否定H0，接受H1(2)选取统计量(3)拒绝域null拒绝域拒绝域null例1 两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为元.样本标准差相应为元和试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著 差异。（取显著性水平）元。假设年存款余额服从正态分布，解 设两家银行的储户的平均年存款余额分别为X,Y,则 是否相等。null拒绝域这里查表选取统计量（1）检验假设nullF的值为因为所以接受选取统计量（2）检验假设null(3)拒绝域(4)查表因为，所以拒绝这说明两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异 Thank youThank you