多项式拟合

最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 近似函数 ,数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) 常用的方法有以下三种： 一是误差绝对值的最大值 ，即误差 向量 的∞—范数； 二是误差绝对值的和 ，即误差向量r的1—范数； 三是误差平方和 的算术平方根，即误差向量r的2—范数； 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)， 在取定的函数类 中,求 ,使误差 (i=0,1,…,m)的 平方和最小，即 = 函数 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数 的方法称为曲线 拟合的最小二乘法。 二 多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，现求一 ,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的 称为最小二乘拟合多项式。显然 为 的多元函数，因此上述问题即为求 的极值 问题。 由多元函数求极值的必要条件，关于 的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的 满足式（1），即 为所求的拟合多项式。我们把 称为最小二乘拟合多项式 的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算 和 ； (3) 写出正规方程组，求出 ； (4) 写出拟合多项式 。 *四  多项式拟合中克服正规方程组的病态 在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。而且 ①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重； ②拟合节点分布的区间 偏离原点越远，病态越严重； ③ (i=0,1,…，m)的数量级相差越大，病态越严重。 为了克服以上缺点，一般采用以下： ①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合； ②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点 关于原 点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。 平移公式为： (9) ③对平移后的节点 (i=0,1,…，m),再作压缩或扩张处理： （10） 其中 ,（r是拟合次数）      （11） 经过这样调整可以使 的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点 ，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设 为A，则对1～4次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。 变换后的条件数上限表如下： 拟合次数 1 2 3 4 =1 <9.9 <50.3 <435           ④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程 组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。