小学数学应用题的研究

数学应用题的研究 ??九年义务教育小学数学教材中应用题的内容及编排的基本情况/ 一、基本内容 《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》(以下简称义教大纲)是原国家教委于1992年颁布的。义教大纲根据九年义务教育的性质和任务、社会和科技发展的需要及学生的接受能力对应用题的内容进行了一些改进，主要有以下两点。 1,适当降低难度。义教大纲对应用题教学内容明确规定:整数、小数应用题最多不超过三步，四步应用题(只限于容易的)作为选学内容;分数、百分数应用题以一、两步计算的为主，最多不超过三步(只限比较容易的)。 2,加强联系实际。义教大纲强调“应用题要注意联系学生的生活实际”。一是应用题本身的内容要联系实际，二是扩大了联系实际的范围，如在百分数应用题中增加了利息的计算等。 义教大纲对五年制小学各年级应用题的教学内容和教学要求列表如下。 教学内容 教学要求 一 比较容易的加法、减法和乘法一会根据加、减法的含义，解答比较容易 步计算的应用题。 的加、减法一步计算的应用题。知道题年 目中的条件和问题，会列出算式，注明 得数的单位名称，口述答案。 级 二 加、减、乘、除法一步计算的应会解答加、减、乘、除一步计算的应用 用题。 题。初步学会口述应用题的条件和问年 题，会书写答案。会分步列式解答比较 比较容易的两步计算的应用题。 容易的两步计算的应用题。 级 三 常见的数量关系。列综合算式解掌握常见的数量关系。会列综合算式解 答两步和比较容易的三步计算的答两步计算的应用题和比较容易的三 1 应用题。 步计算的应用题。初步学会口述解题思年 路。 级 四 解应用题的一般步骤。相遇问题。掌握解应用题的一般步骤，会列综合算 列综合算式解答三步计算的应用式解答三步计算的应用题。初步学会列年 题。 方程解应用题。 级 *比较容易的四步计算的应用题。 能初步运用所学的知识解决生活中一 些简单的实际问题。 五 分数四则应用题(包括工程问会解答分数、百分数应用题(最多不超 题)。百分数的实际应用(包括发过三步)。会用比例的知识解答基本的年 芽率、合格率、利息的计算)。比应用题。会看地图上的比例尺。进一步 例尺，按比例分配。 提高用算术方法和用方程解应用题的级 能力。会有条理地说明解题思路。 二、人教版教材中应用题的编排结构及特点 1(应用题的结构 人教版教材是根据义教大纲对小学数学应用题教学内容和教学要求的规定，贯彻把数学的逻辑顺序同儿童的认知发展顺序相结合的编写原则，按照应用题数量关系的繁简，分析推理的难易以及应用题内容之间的联系，对小学数学应用题进行编排的。并且注意加强应用题与小学数学其他各部分知识间的联系，使它们螺旋上升，循序渐进，互相配合，互相促进。 义务教材与原通用教材比，调整了应用题的编排体系，主要表现在以下几个方面。 (1)一步应用题采取分散与集中相结合的原则编排,并注意与计算适当配合。 ?与计算概念有紧密联系的一步应用题，结合四则运算的意义进行分散编排，使学生理解算理，掌握解答方法。如求和、求差、求几个相同加数的和、 除法中的两种分法等应用题，都是这样编排的。 ?比较两数多少的应用题，有计划地分组出现。 2 比较两数多少的简单应用题包括“两数相差多少”、“比多”、“比少”等应用题，原来分散在一、二年级编排。这几种应用题实际上有着相似的数量关系，因此现在集中在同一册，适当靠近，以便使学生更好地了解它们在数量关系和解题思路上的联系，从而较顺利地掌握解答方法。 ?逆思考的一步应用题分散编排。 逆思考的一步应用题有一个条件是反叙的，需要学生进行逆向思考，分析数量关系难一些。因此，教材采取分散编排的方法，以便学生逐步掌握。在进行分散编排时，也注意与已学的有关的应用题进行联系和对比。 ?为学习两步应用题做准备。 在安排一步应用题时，有计划地编排了给叙述不完全的应用题提问题、填条件及连续两问的应用题，以便加深学生对所学的应用题的结构和数量关系的理解，为学习两步应用题打好基础。 (2)调整两步应用题的编排顺序，加强应用题的内在联系。 两步应用题同简单应用题比较，不仅是已知条件数量的增加，而且已知条件之间及已知条件与问题之间的数量关系也复杂了。解答两步应用题的关键是提出中间问题，这也是解答两步应用题的难点所在。为了使学生顺利地掌握两步应用题的解答方法，义务教材在编排上主要有以下几个特点。 ?在教学之前打好学习两步应用题的基础。 a)使学生较好地掌握常见的简单应用题; b)进行了较多的“提问题”、“填条件”的练习; c)学会解答一些连续两问的应用题。 ?加强两步应用题和一步应用题的联系。 开始教学两步应用题多是从已学的一步应用题改变其中的一个条件而引入的，这样便于学生通过分析、比较，找出需要的中间问题，从而掌握两步应用题的分析和解答方法。 ?两步应用题根据内在联系分组编排。 3 义务教材把应用题按照基本的数量关系相同，解题思路相近来分组。以利于学生初步掌握两步应用题的分析和解答方法，培养学生分析推理和举一反三 的能力，促进学生思维能力的发展。 )三步应用题加强与两步应用题的联系，重视解题能力的培养。 (3 教材中比较容易的三步应用题，注意由已学的两步应用题引入，通过增加一个条件把两步应用题改成三步应用题，使学生通过迁移、类推，比较顺利地掌握解题方法。 义务教材与原通用教材比，应用题的步数有所减少，难度有所降低，但是在培养分析和解答应用题的能力方面有所加强。例如，在总结解答应用题的一般步骤时，注意培养学生如何摘录应用题的条件和问题，增加检验方法的指导等。学生在学习解答三步应用题时，注意引导学生用不同的方法解题，以培养学生灵活地分析和解题能力。另外，应用题还注意联系学生生活和生产实际， 以培养学生解决简单的实际问题的能力。 (4)加强列方程解应用题。 引入列方程解应用题，可以使一些整数、分数、百分数的应用题(主要是逆思考的)化难为易，既可以节省教学时间，减轻学生学习负担，又可以提高学生的解题能力。 学习了列方程解应用题后，学生可以根据应用题的具体特点选择较简便的解法，这样有利于提高学生的解题能力，增强思维的灵活性。 下面分年级介绍应用题的编排。 小学生以形象思维为主，而且识字不多，阅读比较困难，所以一年级安排的一步应用题，第一册先出现用图画表示的应用题、用表格表示的应用题，再出现加减法的有图有文字的应用题。第二册出现求两数相差多少的应用题，为后面学习求比一个数多(或少)几的数的应用题打下基础;接着安排“提问题”、“填条件”的应用题，为学习两步应用题做准备;然后安排连续两问的应用题，这也是学习两步应用题的基础;最后结合乘法的意义安排了乘法应用题及相应的“提问题”。 二年级安排了稍复杂的一步应用题和一般的两步应用题。第三册先结合除法的意义出现把一个数平均分成几份求一份是多少的应用题和求一个数里包含 4 几个另一个数的应用题，再出现求一个数是另一个数的几倍的应用题和求一个数的几倍是多少的应用题。在学生掌握了一些简单应用题，进行过一些“提问题”、“填条件”的练习，学习了连续两问的应用题等的基础上，通过改变一步应用题的一个已知条件来引入两步应用题，根据应用题数量关系的内在联系出现加减复合(乘加、乘减)两步应用题，连减的两步应用题，加除、减除复合的两步应用题。第四册先出现稍复杂的(需要逆思考的)一步应用题,主要是反叙的求比一个数多(少)几的数的应用题和已知一个数的几倍是多少求这个数的应用题;然后在第三册的基础上,继续出现一些含有三个已知条件的比较容易的两 步应用题,并适当出现一些含有两个已知条件的两步应用题。 中年级学生的思维有了一定发展，抽象思维能力逐步提高，对两步应用题的结构及解答方法有了一定的基础，所以三年级主要安排了稍复杂的两步应用题和比较简单的三步应用题。第五册首先结合乘数、除数是两位数的乘、除法，相应地安排了乘法应用题和常见的数量关系、除法应用题和常见的数量关系;然后出现连乘、连除、归一、归总(某一种量不变,一种量随着另一种量的变化而变化)等两步应用题。第六册先结合加、减、乘、除法各部分间的关系安排用列含有未知数x的等式解答加、减、乘、除一步应用题;然后出现连乘、连除应用题(其中的未知量随着两个量的变化而变化);然后在两步应用题的基础上 通过增加一个条件，引出三步应用题。 四年级安排了一般的三步应用题及总结解应用题的一般步骤和方法，列方程解两步、三步应用题。第七册首先安排了一般的三步应用题(总结解答应用题的一般步骤和方法)，接着在第五册基础上编排归一、归总加条件的三步应用题，然后安排了有关计划与实际比较的三步应用题和行程问题(三步)。一般的整、小数应用题到第七册告一段落，第八册安排列方程解两步(需要逆思考的)、三步应用题和含有两个已知条件的两步应用题(“和倍”、“差倍”问题)，最后安排了用方程解和用算术解应用题的比较。 五年级学生有了一定的数学知识基础，逻辑思维能力有了一定的发展。根据分数、百分数、比例等教学内容，相应地安排了分数应用题、百分数应用题、比例应用题。适当增加综合地、灵活地运用所学知识解决简单的实际问题的练习。第九册首先结合分数乘除法的意义分别安排了分数乘除法一步、两步应用题及乘除复合的分数应用题，然后编排了一般的分数、小数应用题，稍复杂的求一个数的几分之几是多少以及已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题，接着安排了稍复杂的分数乘法和除法应用题的对比，最后编排了工程问题。第十册在分数应用题的基础上编排了求一个数是另一个数的百分之几的应用题，稍复杂的求一个数是另一个数的百分之几的应用题及已知一个数的百分之 5 几是多少求这个数的应用题;然后结合比例的意义和基本性质编排了比例尺，用比例解应用题及稍复杂的比例应用题(两步,而且有多种解法)。 应用题的具体安排如下表。 步数 一步 二步 三步 年级 内容 图画应用题, 一 表格应用题, 册 图文应用题， 加法应用题, 求剩余、求另一个加数的一 应用题。 6 求一个数比另一个数多 年 (少)几的应用题。 级 提问题、填条件(加、减 二 法)。 册 求比一个数多(少)几的 数的应用题。 连续两问的应用题。 乘法一步应用题。 提问题(乘法)。 除法一步应用题。 加减复合(乘加、乘 减)两步应用题。 求一个数是另一个数的 连减的两步应用题。 几倍。 三 求一个数的几倍是多少加除、减除的两步应 册 用题。 的应用题。 二 提问题、填条件(除法)。 年 乘法和除法一步应用题 的整理。 级 有余数的除法应用题。 7 反叙的求比一个数多含有三个已知条件 (少)几的数的应用题。 的两步应用题。 已知一个数的几倍是多含有两个已知条件 四 少求这个数的应用题。 的两步应用题。 册 *含有两个已知条件 的两步应用题(已知 两数和与其中一数, 求两数相差多少或 倍数关系)。 乘法应用题和常见的数连乘应用题。 量关系。 三 五 连除应用题。 除法应用题和常见的数 册 年 归一应用题。 量关系。(实际上是同一 种数量关系。) 级 归总应用题。 用列含有未知数x的等连乘应用题(未知量简单的三步应用题。 式解答加减一步应用题。 随着两个量的变化 六 三步应用题(两步应而变化)。 用题加一个条件)。 用列含有未知数x的等 册 式解答乘除一步应用题。 连除应用题(总量随 着两个变量的变化 而变化)。 一般的三步应用题 (总结解答应用题的 一般步骤和方法)。 七 归一、归总加条件的 三步应用题。 册 有关计划与实际比 较的三步应用题。 四 行程问题(三步)。 *四步应用题。 8 列方程解比较容易 年 的应用题(两步需要级 列方程解三步应用逆思考的)。 题(相遇问题)。 八 列方程解稍复杂的 列方程解含有两个应用题(两步需要逆 册 未知数的应用题。 思考的)。 用方程和算术方法 解应用题的比较。 分数乘法应用题。 分数除法应用题。 连乘的分数乘法应 用题。 分数乘、除法应用题的对 连除的分数除法应比。 用题。 乘除复合的分数应 用题。 九 一般的分数、小数应 册 用题。 稍复杂的求一个数 的几分之几是多少 的应用题。稍复杂的 已知一个数的几分 之分是多少求这个 数的应用题。 稍复杂的分数乘法五 和除法应用题的对 比。 年 工程问题。 级 9 求一个数是另一个数的稍复杂的求一个数 百分之几的应用题。 是另一个数的百分 稍复杂的比例应用之几的应用题。 题。 十 稍复杂的已知一个 数的百分之几是多 册 少求这个数的应用 题。 比例尺 用比例解应用题。 教学实践表明，这样的编排结构基本符合把数学的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序相结合的原则，易教易学，减轻了学生学习的难度，有利于提高教学质量，培养学生的能力。 但是，教学实践中，也反映出这一编排结构的一些问题。主要是有些册应用题的难度和份量偏大，例如，反叙的一步应用题需要学生进行逆思考，低年级进行教学比较困难。其次，二、三步应用题的变化条件教学有困难。在学生刚刚理解某一种应用题的数量关系和解法后，就立刻让学生变化例题中的某一条件，使之成为一道新的应用题，教学难度较大。相应的练习也有难度。 2(结构特点及理论依据 上述应用题的编排结构具有如下特点。 (1)加强应用题的内在联系及应用题与其他知识的联系 这种编排结构加强了应用题之间的内在联系及应用题与其他知识间的联系，使整个应用题部分层次分明、系统性强，既相对独立又能与其他有关知识很好地联系在一起。 唯物辩证法认为，物质世界是由无数互相联系、互相依赖、互相制约、互相作用的事物所形成的统一整体。数学是现实世界数量关系和空间形式的反映，因此，数学中的各部分知识也是相互联系着的。应用题作为小学数学的一部分，它的数量关系是有内在联系的，应用题与其他知识的联系也是非常紧密的。因此，在编排应用题时，既要加强应用题的纵向联系，也要加强应用题本身及与 其他知识间的横向联系。 10 应用题之间有着密切的联系。一般地说，复合应用题是由几个简单应用题组合而成的;根据学生的心理特点、应用题的难易程度，教学应从一步应用题扩展到两步应用题，再从两步应用题扩展到三步应用题。复合应用题与简单应用题相比，不仅已知条件增多了，而且数量关系也复杂了。学生掌握了简单应用题、复合应用题的解答方法以及简单应用题与复合应用题之间的联系和区别，又较容易地掌握更多步数的应用题的解法，不但可以加深对应用题结构的理解，而且通过知识的迁移，培养学生思维的灵活性及创造性。加法应用题和减法应用题，乘法应用题和除法应用题，既是相互对立，又是相互联系、相互转化的。对这些应用题进行比较，使学生容易理解和区分这些应用题的数量关系，更好 地掌握解答方法。 应用题与小学数学其他知识的联系也是非常紧密的。例如应用题与四则运算的意义。从某种程度上说，绝大部分应用题都是四则运算在实际中的应用。学生很好地理解四则运算的意义，是学习简单应用题的重要基础。因此教材在学生学习了一种运算的意义以后，接着就教学相应的应用题。又如简单的分数应用题就是在分数的意义和一个数乘以分数的意义的基础上进行教学的。 (2)遵循儿童的认知发展规律 这种编排结构符合儿童认知发展的规律，从感性认识逐步上升到理性认识，既有助于学生理解和掌握新知识，又有助于发展学生的思维能力。 儿童心理学研究表明，小学生的思维发展正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。儿童的认知规律一般是:动作、感知?表象?概念?概念系统(系统知识)。儿童认知发展的第一阶段主要是靠感觉和动作探索周围世界。儿童的年龄越低，越需要借助直观和操作活动来丰富学生的感性经验，教材注意安排学生的操作活动，注意通过直观使学生理解应用题的数量关系，在此基础上再引导学生进行分析、综合、比较、抽象概括，逐步形成数学的概念，使学生理解应用题的数量关系、掌握解答应用题的方法。根据这一规律，低年级首先安排了图画应用题、表格应用题、图文应用题，再出现文字应用题。低年级的应用题大部分都安排了操作活动，中、高年级中比较难理解的文字应用题也注意结合线段图出现或引导学生画线段图等，通过这些直观手段和操作活动来帮助学生分析数量关系、确定算法。例如，在教学求两数相差多少的应用题“学校养了12只白兔，7只黑兔。白兔比黑兔多几只,”时，让学生先摆出12只白兔，7只黑兔，使白兔和黑兔一一对应。引导学生说出是白兔跟黑兔比多少;白兔多，黑兔少;白兔可以分成哪两部分，理解从12只白兔中去掉和黑兔只数同样多的部分，剩下的部分就是白兔比黑兔多的只数，所以要用减法计算。 11 通过操作和分析，学生在大脑中形成关于这种应用题中较大数与较小数的数量关系的表象，理解为什么用减法计算，从而提高学生分析和解答应用题的能力。 (3)把应用题的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序适当地结合起来 这种编排结构的最大特点是把应用题的逻辑顺序与儿童的心理发展顺序适当地结合，形成合理的教材结构，并使教材的知识结构转化为学生的认知结构。现代教学论认为:教科书编排的合理结构是把学科的逻辑顺序与学生的心理发展顺序相结合的结构。任何科学都有其自身的系统，每门学科的体系必须考虑到这门科学本身的系统，形成这门学科的知识结构。这样才能使学生从客观事物的发生发展中去认识它的本质。但是，教材的系统性不光是学科的系统性，教材的份量、难易程度和体系等都要符合学生的心理特点。只有把二者统一起来，才能形成合理的教材结构。学生的认知结构是从教材的知识结构转化来的，有了合理的教材结构学生才有可能建立良好的认知结构。如前所述，复合应用题一般是由简单应用题组合而成的。一般是按照从一步应用题到两步应用题，再到三步应用题的顺序编排。但是有些一步应用题的难度超过了比较容易的两步应用题，考虑到儿童的认知心理特点，把稍复杂的一步应用题放在二年级下学期，而没有完全按照应用题本身的逻辑顺序进行编排;另外，考虑到有些应用题与其他知识的关系，只有学习了这部分知识，才能安排相应的应用题，比如分数和百分数应用题(这时一般的三步应用题已经学完)，也不能完全按照从一步到两步再到三步的顺序编排。因此，需要把直线排列和螺旋排列相结合，以便符合儿童的认知规律。 三、教学内容的呈现形式及培养能力的手段 1(小学数学应用题的呈现形式 根据儿童心理学和教学论的有关原理，教材中应用题的呈现既要体现教学过程，又要符合儿童学习的心理特征。每部分应用题基本上按照“复习?例题?做一做?巩固练习”的顺序呈现。低年级有些例题前安排一道与例题的数量关系相同的操作性的例题，使学生通过操作初步理解数量关系，降低思维的难度。通过复习旧知识引入新知识，教学新知识后，通过做一做及时反馈学生的学习情况，再通过练习巩固所学知识。下面分几点进行陈述。 (1)根据教育心理学中知识迁移的理论，每部分新知识都由旧知识过渡(这些旧知识被称为先行组织者，充当新旧知识的桥梁、固着点)，引出新知，实现 12 知识的迁移。教材在大部分新知识前，都安排了准备题或复习题，例如在学习一般的两步应用题之前，先复习一步应用题，并由一步应用题引出两步应用题。 )根据儿童的认识规律，应用题的呈现注意结合操作和直观。低年级以(2 图画、表格、图文应用题、文字应用题等形式出现，并且加强了操作，让学生通过操作来理解数量关系;中高年级的应用题仍主要借助线段图来理解数量关系。 (3)加强了解题思路的教学。在解答大部分应用题时都安排了“想”,教给学生解题的思路，有利于学生掌握正确的解答方法，降低了学生思考的难度。例如教学归一应用题“学校买3个书架，一共用75元。照这样计算，买5个要用多少元,”。教材给出“想:要求买5个书架用多少元，要先算什么,”使学生根据单价、数量和总价的关系，想到必须先算出每个书架多少元(单价是多 少)，就可以算出总价。 (4)两三步应用题，要求由低到高。先要求分步解答再要求列综合算式解答。 (5)有些应用题同时出现两种解答方法,有些应用题在用一种方法解答后,再提出还有没有别的解答方法，以提高学生思维的灵活性和解题能力。例如教学连乘的两步应用题“一个商店运进5箱热水瓶，每箱12个。每个热水瓶卖11元，一共可以卖多少元,”。教材给出两种思路和解法:?先求出每箱卖多少元，再求5箱卖多少元;?先求出一共有多少个热水瓶，再用热水瓶数乘单价。又如教学连除的两步应用题在给出一种解答方法后，教材提出还有没有别 的解答方法，让学生通过自己思考，找出另一种解答方法。 (6)应用题习题的呈现注意有层次、有坡度，加强了反馈，重视对学习结果的保持。练习的安排基本上按照“巩固练习?混合练习?综合练习”的顺序呈现。在讲完例题之后，紧接着安排“做一做”，进行反馈;在练习中先安排模仿例题形式的巩固性习题，再安排稍有变化但学生能够用已学知识解答的习题;有些练习中还安排一些混合练习题，使学生在快要遗忘时复习巩固所学的知识;在练习的最后安排综合练习题，需要学生综合运用以前所学的知识进行解答，培养学生综合运用知识的能力。 2(培养能力的手段 (1)重视培养学生一般的解题策略和方法 13 这套义务教材比较重视解应用题的策略和方法的教学。随着社会的发展，信息在人们的工作和生活中越来越重要，人们需要处理信息并解决问题的能力。重视培养学生一般的解题策略和方法能够提高这方面的能力。例如重视对学生进行摘录数据、理解题意、分析数量关系、检验的训练等，使学生掌握解应用题的一般步骤和方法。使学生在遇到各种新问题时，能够灵活运用已掌握的解题策略解决。 (2)重视培养学生分析数量关系的能力 分析数量关系是解应用题过程中非常重要的一步。传统的应用题教学只注重教给学生记类型、套公式，这种教法割断了应用题之间的联系，不利于提高学生解答应用题的能力。分析数量关系就是分析题中已知条件和已知条件之间、已知条件和问题之间的数量关系，再根据四则运算的意义确定正确的算法。学生学会了分析数量关系，遇到各种类型的应用题都会在理解的基础上进行解答，这样就会逐步地提高分析问题、解决问题的能力。 (3)重视利用操作和直观 根据儿童的认知规律，幼儿期的儿童以具体形象思维为主，还保留相当大的直觉行动思维特点;小学儿童则处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期，而且低年级的儿童的思维仍带有很大的具体性，就是高年级的儿童在学习比较抽象的知识时，如果没有直观材料的支持，也会感到有很大困难。学生通过操作和直观材料的演示，要观察、分析、比较这些对象，再进行抽象和概括，发现事物的规律。使学生的观察力、注意力、思维能力都得到发展;另外也发展了学生的动手操作能力，促进左右脑的协调发展。学生在学习应用题时，往往需要借助直观和操作活动来获得丰富的感性经验，在此基础上理解数量关系，找出算法。在应用题编排中注意安排学生的操作活动，结合操作学具或观察、画线段图等直观手段，引导学生分析数量关系，找出解题思路和解答方法。这样从感性逐步上升到理性，既有助于学生理解和掌握新知识，又有助于发展学生的智力。 (4)加强应用题与实际的联系 义教教材注意应用题的内容要联系实际。每部分内容都尽可能地反映日常生活、生产中常见的数量关系和实际问题，使学生加深对数学重要性的认识，提高学习数学的兴趣，逐步形成把数学应用于实际的意识和态度。另外，教材也适当增加一些数学实际应用的内容，如利息、保险、纳税等内容。从而提高学生解决简单的实际问题的能力。 14 (5)加强新旧知识的联系,实现知识的迁移 这套教材在应用题的编排上，非常重视把已学过的内容迁移到新的学习内容上去。大部分新知识教学前都安排了准备题或复习题，在新旧知识的连接点上提出启发性的问题，激发学生思考、探究的欲望，逐步类推出要学习的新知识，使学生比较容易理解比较复杂的内容。这样既减轻了学习负担，节省了教学时间，又培养了学生的学习能力。 (6)安排多种形式的练习 教材的应用题练习分成不同的层次，逐步提高要求。在教学新知识之后安排了试做题(做一做),这种练习与例题基本相同，以检查学生对新知识理解和掌握的情况;练习中还安排了改变叙述顺序、叙述方式，有多余条件，改变条件或问题的习题，自编题或改编题;新增加了星号题，思考题的数量也有所增加。这样安排练习，使学生能够排除应用题中非本质特征的干扰，正确地分析数量关系并选择算法，对提高学生思维的灵活性及解题能力有很大益处。 人民教育出版社小学数学室 15 新课标下应用题教学的目标 小学新的《课程标准》不独立设置"应用题"单元，取消对应用题人为分类。而是在总目标中将"解决问题"与"知识与技能"、"数学思考"及"情感与态度"四个领域的目标并列起来，分学段提出了具体的要求。实现解决问题目标的基本课程渠道之一是应用题的教学改革。 我们的学生几乎天天都在“解题”，解大量的题。但是课标所关注的“解决问题”并不等同于这些解题活动。首先，在内容方面，标准所提到的“问题”不限于纯粹的数学题，特别不同于那些仅仅通过“识别题型、回忆解法、模仿例题”等非思维活动就能够解决的“题”。这里所说的问题既可以是纯粹的数学题，也可能是以非数学题形式呈现的各种问题。但无论是什么类型的问题，其核心都是需要学生通过“观察、思考、猜测、交流、推理”等富有思维成份的活动才能解决的。其次，在具体内涵方面，标准的要求是多方面的，包括初步学会从数学角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题。 1、初步学会从数学的角度提出问题、理解问题。 它首先要求学生尝试在面对不同现象(包括数学的和非数学的)时“从数学角度提出问题”，换言之，初步具备一种数学的眼光，能够识别存在于数学现象或者日常的、非数学的现象与问题中的数学问题或者数学关系，并将它们提红练出来，然后才是应用知识与技能解决问题。事实上，学生以往较为习惯的是在面对一个确定的问题时，思考解题方法，即提出问题是教材或教师的职责，解题才是学生的任务。在这一点上，标准可谓开了先河。为此我们的教学应当向学生提供观察、思考与猜测的机会，多问学生诸如“你发现了什么”这样的问题。对第一、二学段的学生而言，首先是能够从日常生活中“看到”一些数学现象，其次是能够运用基本的数学知识去解决一些简单问题。对第三学段的学生而言，能够从数学现象、其他学科中的问题或者生活中发现数学关系或数学问题是目标的首要内涵，其次是能够综合运用相关的数学知识、方法去解决一些问题。 2、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力和创新精神。 对学生的发展而言，解决问题活动的价值不只是获得具体的结论，或者主要价值不在于此。它的意义更多是使学生在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策略的，每一个人都城应当有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略。在这种鼓励个性发挥的意义之下，创新精神的培养才成为可能。为了实现这一目标，每一学段的教科书都应当给学生提供思 16 考与交流的机会，所有的教学活动也都应当允许学生表达自己对问题的理解，采取自己认为合适的解决问题策略。具体说来，对不同学段学生的要求侧重面不同: 第一学段侧重于通过介绍同一问题的不同解法，让学生感受到解决问题可以有不同的策略。 第二学段则侧重 于让学生深尝试寻找不同的解决问题的方法。 第三学段可以让学生尝试评价不同方法之间的差异，了解不同方法的形成主要来源于对问题的认识角度不同。 此外，发展实践能力和创新精神也是一个重要目标。个体的创新是建立在自己独立思考的基础上的，创新精神的一个基本要素是思维活动的非模仿性和独特性;实践能力不是听出来的，也不是看出来的，它是在自主活动过程中逐渐形成的。如果学生在数学学习过程中有足够的思维时间和空间、有自由表达自己解决问题思路的宽松氛围，有与同伴交流的机会„„那么他们就是从事一种开窍的活动，这将有助于发展其创新精神;相反，如果学生的数学学习过程中充满了“模仿、记忆、识别、练习”等“对号入座”式的机械性学习活动，那么他们就是从事一种“闭窍”的活动，而这将逐渐消退每一个学生的天性中所包含的创新意识。因此让学生寻求自己对知识和方法的理解是值得提倡的。在解决问题的过程中，让步所有的学生都城能获得成功的体验，又都面临不同层次的挑战。问题的求解没有现成的公式或题型可以直接套用，要给学生留出足够的思考时间和空间，以及与同伴交流的机会。而“题型+题海”式的教学策略则必须得到有力的控制。 3、学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。 与他人交流是未来每一个公民都必须掌握的基本技能。我们不能片面地认为，请教别人就是一种思维上的“懒惰”。确切地说，我们应当鼓励学生在独立思考基础上与他人交流——交流各自对问题的理解、解决问题的思路与方法、所获得的结果等。这样便能在解决问题活动的过程中发展“思考与交流”的能力。这一点，对不同的学生要求也不相同: 第一学段侧重于让学生经历合作与交流的活动，并在交流过程中体会到合作的益处，使“交流”成为他们所认同的一种解决问题的合理方式。 第二学段则可以侧重于学习与他人合作、交流的基本技能，如怎样表达自己对问题的理解、解决问题的思路，怎样理解他人对问题的思考和解决方法等。 第三学段可以在前两个学段的基础上，尝试在与他人交流过程中获益，并学会尊重别人的看法等。 4、初步形成评价与反思的意识。 没有反思，人是不可能获得本质上的进步的。对于学生而言，这里所说的反思是一种较为初步的要求，其目的只在于让学生了解反思的含义，经历反思的活动，初步认识到反思所带来的好处。这些目标应当在学生解决问题的过程中得到发展。因此，我们在实际教学过程中应有意识地关注这一项目标。如第一学段，我们应着重培养学生回顾自己思考过程的习惯。为此可以在教学过程 17 中多问一些:想一想，你是怎样得到这个问题的答案的, 第二学段，在回顾的基础上，应要求学生能够初步学会分析自己思维过程中的得与失，并总结经验。因而可以在教学过程中多问一些:想一想，你为什么没有能够得到问题的答案,你获得成功的关键是什么, 第三学段则可以侧重对经验的反思和条理化。为此，可以在教学过程中多问一些:这个(成功的)方法还能够在哪些条件下有效,在其他情形下，怎样修改这个方法就可以使得它仍然有效,这个问题之所以没有能够得到解决主要原因在哪里, 课标下应用题教学的特征 新课程体系当然还会有应用题，因为“应用题仍然是培养学生应用能力的重要途径”，同时也是新课程“四大”总体目标，特别是“解决问题”目标达成的重要载体。对于上述原课程体系中应用题教学存在的种种问题，新课程体系做出了相应的反应。从表面看，应用题在新课程体系中会比较“散”，不再那么系统，而是渗透在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等四大学习领域的学习中。这必将大大削弱应用题本身作为数学学习目的的功能，即应用题学习的目的主要不再是学会解题，而更多地体现出作为数学学习的一种方式和工具。应用题这种教学功能的转变决定了它在新课程体系中会有全新的面貌。 1、学习目标从学会解题转向培养应用意识 毋须置疑，应用题仍将是培养学生应用能力的重要途径，但不再是对解题模式的简单应用，而是真正让数学与现实联系，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去主动解决所碰到的现实问题。应用题将成为增大学生实践能力和开展探索、合作、交流的重要载体。应用题也会是所有学习材料情景化的最主要呈现方式，尤其随着《标准》倡导的“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”这种“问题解决”式学习模式的推广，数学知识的呈现形式将更多地以“原型——模型——应用”的方式出现，应用题将成为其中的“原型”和“应用”的主要角色。这意味着应用题在数学中的角色将发生变化。 2、题材范围从四则运算应用转向多种知识融合 应用题的内容将涉及到“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”的每一个方面，涉及到概念建立、计算应用、法则推导、性质理解等等，成为各部分知识有机联系的融合剂。这样的变化必然改变过去应用题相对独立的知识体系和相对孤立的教学过程。应用题的题材也不再仅仅是小课题，有时会以较大课题的形式，成为“实践与综合应用”的主要活动题材之一。 18 3、题型从纯文字、标准格式变得更丰富生动 首先，呈现方式除了文字式的，还有情景性的，即生活化的。其次，拓宽问题的结构空间。问题是激发学生探索未知、获得发展的动力，是催动个体去寻求更多的发现、更多的创造、更好地生存的目标。应用题应该是好的“问题”，能引导学生主动进行比较、实践、猜测、证明和产生直觉、顿悟等发现性探究活动。第三，题目不一定是结构良好的，情景可能是复杂的，数学需要取舍，解决模式可能不唯一，答案可以各不相同，等等。例如: ?爷爷血压高，降压片药瓶标签上写着:0.1mg(毫克)×100片;医生的药方上写着:每天3次，每次0.2mg。请你帮爷爷算一下，一瓶药够吃几天, ?根据下表提供的数据，你认为入什么网经济实惠,为什么,(视用户使用的时间而定。250分相等两种均可，大于250分选全球通。小于250分选神州行) 网络名称 单价(元/分钟) 月租(元) 全球通 0.40 50 神州行 0.60 0 4、教学模式从重视结果到重视过程 传统应用题教学中，教师重视提供一套标准的样板，目标直指让学生学会解某类题这一结果:审题——读题，叙述条件和问题，画线段图。 ? 分析数学关系——或从条件想起，或从问题出发;或教师讲解，或一问一 答;教师构造起一套的“说法”，优秀生模仿着说，再让中 等生说„„ 列式解答——或教师作示范性板书，或学生板演。 ? 总结“套路”——揭示这类题的特征、解题规律、注意事项。 上述“规矩”将在新课程中被打破。 首先，将应用题教学纳入一般“问题解决”教学模式，形成由学生自主探索、尝试、发现与建构的过程，真正体现“应用”性。尤其要重视培养学生对信息材料的处理能力和数学模型的建立能力。 其次，允许学生个性化地学习。学同一道应用题，对有的人来说是一个问题解决的过程，但对有的人来说可能仅仅是一种习题的练习;有的人解题的过程是探索性的尝试、发现与解决的活动，而有的则只是同一种策略、方法、思考，甚至是手段的重复活动。在探求解决的过程中，有的学生擅长形象地思考，有的善于理论性推理，有的需要在现实背景中找相应的原型，思维的方式可能各不相同。这是由个体的知识背景、生活经验、习惯的思维方式等多种因素所决定的，不能有一刀切的要求。 第三，淡化探求解题思路过程这一形式化的“说法”，不仅仅追求“言必有据”，还鼓励直觉、猜想、预测、合情推理和适度的非形式化。 19 有资料介绍某专家做过一个实验:让一名应用题解题能力“很差”的二年级学生拿10元钱到商店买3本笔记本，单价为2.5元。他不仅准确地买回了本子，还能有条不紊地叙述思考过程:每本2.5元，三本共7.5元，拿了10元，找回2.5元。说明他已经能“解”远远超出他学习范围的两步计算的小数应用题了。这不值得我们深思吗, 总之，应用题教学应该重视过程:探求解法，而不单纯是记忆步骤;探索模式，而不单纯是记忆类型;形成猜测，而不单纯是做些习题。 5、评价目标从考查识别能力、解题技能到评价应用能力 随着应用题的教学目标、教学内容、教材编排体系和教与学模式的变化，其评价体系的改革是不言而喻的。因为在目前，评价方式仍发挥着最有效的教学调控功能。评价目标应定位在新课程理念的大背景下，立足于应用题教学改革的新观念之上，着眼于不仅仅是考题的变化。从考查学生应用题模式识别能力和解题技能转到真正评价学生的应用能力上来——数量信息的处理能力，数学模型的建立能力，解决现实问题时数学手段的选择能力和将数学知识应用于现实的意识，等等。 课标下应用题教学的模式 其基本操作流程为: (下面以“按比例分配的应用题”教学为例，对这一操作流程予以阐释。) 一、呈现材料，提出问题 这一教学环节包括两方面的任务:一是在教师的引导下，由学生自己提供(或师生共同提供)，呈现与问题有关的材料，并提出相关问题;二是激发学生学习应用题的兴趣。 我们知道，教材中的应用题较多的是经过数学处理的“形式化”常规习题，远离学生生活实际。使得许多学生在它面前自信心受到伤害，长此以往学生不但对应用题产生恐惧心理，也会丧失运用数学知识解决身边所发生的数学实际问题的能力。因此，教师应该让学生喜欢充满乐趣的生活中的数学问题，所以有必要对教材中应用题的选材，作一下改编。教材的编写是面向各地学生的，但不一定适合当地的实际，我们可以根据班级学生的实际情况将书本上的应用题改编成学生身边的数学问题，并创设一定的情境呈现给学生。这种情境可以是一幅生活图景，也可以是图表、对话、文字叙述，甚至漫画等形式呈现数量关系。这样的教学可以使学生从自身的生活背景中感知数学，激发他们对应用题的学习的兴趣，增强学习的积极性，也有助于培养学生将实际问题转化为数学问题并加以解决的能力，逐步形成良好的应用意识。 例如:呈现材料，提出问题。可以这样:“六(l)班今天要上体育达标训练课，要求分两组进行投掷垒球训练，即男生、女生各一组，老师准备了20个垒球，你认为怎样分较合理,学生提出两种意见:一是平均分即男、 20 女生分到同样多的垒球;二是按人数多少分，即人多分到的垒球多，人少分到的垒球少。通过讨论、争议取得共识:按人数分较合理。然后引导学生提出问题:男、女生各分到多少个垒球, 通过这样的设计，使学生感到面临的问题的确是他们自己的问题，从而产生了解决问题的心向，主动地参与探索，寻求解决问题的方法。 二、研究信息，主动探究 学习数学知识是学生主动建构过程，也就是说，学生学习数学只有通过自身的操作活动和主动参与才可能是有效的。因此，在这一学习新知的过程中，教师的任务是创设良好的学习环境，促使学生带着积极的心态投身到探究知识的过程中去。这一环节的学习可以细化为两个步骤:一是独立尝试探索;二是合作交流探究。 1、独立尝试探索。 我们知道，真正的数学学习不是对于外部所授于知识的简单接受和累积，而是主体主动的建构。因此，即使就同一数学内容的学习而言，不同的个体也完全可能由于知识背景和思维方法等的差异而具有不同的思维过程。由此，在教学过程中必须充分注意各个学生的特殊性，放手让学生自己决定自己的探究方向，选择自己的方法，独立地进行探索。在这一过程中，教师应成为学生学习活动的促进者。当学生取得进展时，教师应充分肯定其成绩，帮助他们必要的自我评价和自我调整;当学生获得初步结果时，教师又应督促学生进行自我检查、自我反省;当学生遇到困难时，教师不应成为“救世主”，把解决问题的方法、答案直接告诉学生或作过多的提示讲解，而应成为一个鼓励者和有益的启发者--提出适当的问题，启发学生思考，真正确立学生的主体地位。 如:已有的信息是否理解,能否解决男生、女生各分到多少个垒球，求这一问题还需要了解什么信息,(教师在学生思考后提供六(l)班男生30人、女生20人的信息)接着各自独立思考，提出解题设想。有的学生应用份总关系来思考解题方法(30: 20,3:2，即是男生3份，女生2份，共5份。男生分到:20?5× 3，女生分到: 20?5×2);有的学生运用分数应用题的解题方法来思考(男生分到:3O:20,3:2，20×;女生分到:20×);有的学生运用正比例关系来解(男生分到:设男生分到X个，,，X,12;女生分到:20,12,8个)。当然也有一些学生碰到了一些障碍出现一此错误或不合理的现象。此时，教师可以提出一些针对性的具有启发性的问题引导学生主动反思探究过程。如当学生没有化简30:20，直接1列式时教师可以问:观察一下，30:20是最简整数比吗,1可以怎样,从而促使学生去思考、分析。 2(合作交流探究。 未来社会已辑来越注重个人能否与他人协作共事，能否有效地表达自己的看法和见解，能否认真倾听他人的意见，能否概括和吸取他人的意见等。因此，学校教学必须加强对学生合作意识的培养，在独立探索～的基础上，组织引导学生合作和讨论，可以使他们相互了解彼此的见解。不断反思自己的思考过程。同时对其他同学的思路进行分析思考，作出自己的判断，从而使自己的理解更 21 加丰富和全面。这样，既达到增强学生合作精神的目的，又能培养学生的自我意识、自我分析、自我调整等认知能力。 如:学生通过独立思考，借助已有的知识和经验提出了解题设想。然后组织学生进行小组讨论、交流。使学生体会到:同一个数学问题可以从不同的角度去观察，可以有不同的解决方式，相互之间受到有益的启发。通过讨论还能披露谬误，及时纠正学生在数学思维活动中的偏差。这样学生既知道了不同的解题思路、策略(可以根据份总关系来思考;也可以根据分数的意义来思考;也可以根据正比例关系来思考)，也进一步掌I握了“转化”的数学思想方法。促使学生不仅丰富自己的理解，又有利于学习的广泛迁移。 三、反馈点评，建立模型 在独立探索和合作探究的基础上，让学生用自己的语言结合一些外显的动作行为阐述自己的探究过程和得出的结论，使教师以及学生相互间了解他们真实1的思维活动，及时肯定其中的闪光点予以表扬和鼓励，使他们体验成功的愉悦，产生强大的内部动力以争取新的更大的成功。同时，因为任何真正的认识都是以主体已有知识和经验为基础的，由于受到知识经验欠缺等限制，总会出现一些错误，但我们应知道，其中一定具有“内在的”合理性，我们不应对此采取简单否定的态度。而应鼓励引导学生进行积极的交流和自我检查、自我反省，逐步体验成功。我们必须坚信:学生学习数学通过自身的情感体验和主动参与，必能不断增强他们的自信。 同时，研究信息、主动探究是学生发散思维的过程，为使学生主体的认知结构更趋向稳定和加强，使主体对知识的理解更加透彻和深刻，因此，在充分发散的基础上，教师应诊视学生思维过程中的每一个“成功点”所蕴含的数学思想及解题策略，并尽可能及时地让学生表达出来，及时地总结、归纳，使这些数学思想及解题策略及时纳入到学生的数学认知结构中去。 四、运用知识，解决问题 在主动探究，归纳总结的基础上，让学生运用所理解的知识解决一些实际问题，使学生进一步巩固对新知识的理解和掌握，同时和原有认知结构中的相关知识相互作用，把新知识纳入(或整合)到已有的认知结构中，以利于更好地迁移和运用。 如:在学生掌握了按比例分配应用题的解题方法后，设计这样的习题“蔬菜专业户王大伯有一块地，面积是2400平方米，要种一些蔬菜，请你帮忙出出主意，种哪些蔬菜,按什么样的比例来分配,并算出各种蔬菜的种植面积。这样的应用题，由于问题情景是开放的，条件是开放的，解题策略也是开放的，对学生富有挑战性，能激发学生积极思考和大胆想象，同时让学生体会到应用题的应用味。 我认为，采用这一教学模式实施教学体现了现代教育具有的主动性、民主性、自由选择性、合作性和发展性等时代特征，有利于把学习数学的主动权交给学生，从而培养学生的应用意识和创造能力。需要说明的是:我们研究课堂教学模式目的是为教师提供一种以教学理论支撑的概括化的教学原型，以 22 利于教师在运用模式及自己的教学经验组织教学时，达到对课堂教学结构驾驭自如，并能对模式变型，或创造出新的教学模式，最后进人无模式境界，使学生由必然王国走向自由王国。 应用题教学的改革是一个很大的课题，在新一轮课程改革中，它不仅仅是科研人员的话题，更需要全体一线教师主动参与。小学数学教师应该以新的观念、积极的心态、创造性的工作、“扬弃”的态度，去继承我国应用题教学的宝贵经验，去适应国内外教学改革的潮流。这样，应用题教学改革就能成为课程改革的一个亮点。 内容链接生活——应用题教学的重点 内容链接生活就是要变应用题题材的“数学题型”为“数学现实”，从学生的现实经验和生活实际出发，把教学内容融入现实生活。 1、生活背景引入 心理学研究表明:当学生学习的内容和学生熟悉的生活背景越接近，学生自觉接纳知识的程度越高。从学生熟悉的生活背景引入，把学生带入现实情景，能使教学材料充满真实感和亲切感。如在教学人教版第九册教材P30例1:“美霞服装厂计划做640套服装，已经做了3.5天，平均每天做92套。剩下的要在3天里做完，平均每天应做多少套,”时，由于五年级的学生对服装厂的流水线不感兴趣，我把例题改编为:“昨天学校下发班费84元，奖励数学竞赛获奖的同学。老师看中了三种笔，每支铅笔0.4元，每支圆珠笔3.6元，每支钢笔8.8元，只是时间匆忙，又不知你们喜欢哪一种，所以只买了12只铅笔，今天想征求一下大家的意见，剩下的钱怎样买，买多少,”话音落下，教室里一片沸腾，同学们马上分组开始“选购”、计算，时间不长，几种答案纷纷呈现。大部分同学选购两种，一种用剩下的钱买圆珠笔;另一种用剩下的钱买钢笔;更可喜的是，还有的同学选购了三种笔，也解出了不同的答案。因为同学们预计的买笔支数和种类各不相同，所以这种解法出现了多种答案。不难看出，这种教学设计，从学生熟悉的生活情景引入，学生不再感到枯燥乏味，兴趣浓厚，创新思维、综合分析等能力得到了充分的锻炼。 2、生活实际产生 叶圣陶先生说:“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还要老师善于应用。”实际教学时，在不违背原教材的基础上，可以调换课本习题，让教学内容更接近学生生活实际。如教学人教版“百分数的应用例3(求比一个数多百分之几)”时，我把学生熟悉的班级男女生人数作为教学素材:“我们六1班有男生30人，女生25人”你能根据这两个数据提出问题，使它成为求一个数是另一个数的百分之几的应用题吗,先让学生积极发言，提出问题，再根据学生提出的问题进行分类。这些问题哪些是我们以前学过的,怎样解决,哪些是没学的,你会解决吗,这样教学，从学生熟悉的现实生活中寻找 23 数学知识的“原型”，依靠学生对感性材料的直接兴趣，联系旧知积极主动地探求解题方法更符合学生的认知规律。 3、生活实践应用 学习数学的重要目的之一，在于用数学知识去解决日常生活中的实际问题。如学习了丈量土地，让学生去测量、计算操场的面积;学习了百分数应用题，让学生去计算存款利息;学习了体积计算，让学生去计算不规则石头、马铃薯、灯泡的体积等。让学生在研究现实生活问题的过程中学习数学、理解数学、应用数学，培养学生应用意识和实践能力。 形式呈现新颖——应用题教学的看点 呈现新就是应用题的表现形式新。心理学研究表明:学习材料的表达形式对学生理解知识会产生重要影响。应用题的呈现形式和应用题的内容是相辅相成，密不可分的。不同的内容决定着呈现形式不同，而同一内容又会因不同的呈现形式而产生不同的学习效果。因此教学时，要力求改变传统的例题呈现方式，变枯燥乏味的材料为鲜活生动的信息，促使学生主动分析、建构联系、得出结论。 1、文字信息呈现 (1)分步呈现信息 分步呈现信息就是把应用题的条件和问题分步呈现。先通过对条件或问题的局部联想，再启发学生把条件与条件，条件与问题进行有效联结或沟通，理清解题思路。如教学比的应用时，先出现一条件“大豆和玉米播种面积的比是3:2”然后提问:根据这一句话你能知道些什么,让学生产生联想，然后再呈现一条件:“一个农场计划在100公顷的地里播种大豆和玉米”和问题“两种作物各播种多少公顷,”让学生在刚才的诸多信息中选取合适的进行解答，为解题思路拓宽思维背景。 (2)块状呈现信息。 在教学中，还可提供一部分信息，让学生根据现有信息，提出对问题的猜测和预见。如三步应用题教学，呈现两条信息:新镇小学三年级有4 个班，每班40人。新镇小学四年级有3个班，每班38人。要求学生根据这两条信息提出数学问题，让学生在编拟问题的过程中把握应用题的结构和数量关系，提高学生学习的自主性。 (3)散乱呈现信息。 信息加工的认知心理学认为:信息的加工处理阶段主要是将自己过去已经掌握的方法用于新的情境，通过新旧信息的选择和不断组合去解决问题。教学时，可提供给学生一些散乱的信息，让学生通过辨认、检索、提取、发现问题、解决问题，能使应用题更具探索性和思考性。 24 2、非文字信息呈现。 非文字信息呈现应用题可以避免文字叙述的抽象性，以形象直观的形式出现。 (1)图画呈现式。 应用题逻辑性强，内容抽象，小学生正处在由形象思维为主向抽象逻辑思维过渡的认知阶段。无可非议，这种抽象性与小学生思维的形象性是一对矛盾。而要解决这一矛盾，通过图画呈现应用题，可唤起学生的学习兴趣，化难为易。例如，教学相遇应用题，利用 “线段图式的应用题”呈现;配以动画效果，能使学生全神贯注积极思考，所学知识掌握迅速而牢固。 (2)表格呈现式 通过表格呈现，学生对应用题的信息、各部分间的关系一目了然。如:李大妈每月10日到银行缴纳电费，每度电0.52元，请按下面表格算出李大妈平均每月用电多少元, 月份 九月 十月 十一月 十二月 电表读数(度) 950 1080 1210 1400 (3)参与活动式 从教材出发，以符合学生生活实际和认识规律为依据，创设现实情境，如游戏、比赛、拼摆、录像等形式，让学生主动参与到活动中去，让学生在这些形式中提取应用题，并在感悟知识的产生和发展中掌握知识。如教学利息计算时，可以用“活期存单”“定期存单”等现实情景展示，老师设计了这样一个情境:老师要把5000元存入银行，请你为老师设计一种存款方式，并计算出到期时，实际可领回多少利息,学生摇身一变成了小主人，兴趣之浓厚就可想而知，强烈的求知欲望与明确的学习目标支配学生主动参与到活动中去，学习应用题也变成了一件轻松、有趣、有收获的活动了。 练习设计灵活——应用题教学的亮点 练习设计灵活就是应用题练习设计要能冲破传统应用题的理想化、格式化、封闭化的限制，引入开放性、灵活性、多变性给学生创设一个更广阔的思维空间，满足不同层次学生的心理需求，使他们在同一内容中得到不同程度的充分发展，促进数学交流和运用。 1、条件开放 开放应用题的条件，可激发学生思维的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。其方式一般有四种: (1)条件有余。 适当增加题目的过剩已知条件，形成干扰因素，由学生选择其中最简捷、有用的信息作答。可防止学生滥用题目条件，培养学生思维的批判性，提高分 25 析处理信息的能力。如:王大伯家养了60只鸡和50只鸭，如果每只鸭一年可产蛋13千克，这些鸭一年可产蛋多少千克, (2)条件不足。 创设条件不充分的题目，让学生合理地补充条件，满足解题需要，从而产生多种不同的可能答案。旨在培养学生思维的全面性和深刻性。如:修一条水渠，第一天修200米，两天修完。这条水渠全长多少米,题目出示后，学生马上意识到条件不够，于是我启发学生:看谁补充的条件又多又新,学生纷纷投入紧张的探索之中，多种条件多种解法接踵而至。学生不仅掌握了应用题的结构特征，巩固了整数、小数和分数应用题的解法，起到一题多练、举一反三的功效，使知识串点成线，连线成网。而且使不同层次的学生在应用题的情境中自由想象，任意驰骋，获得成功体验，激发求知欲。 (3)条件可用可不用。 适时编制此类应用题，旨在培养学生思维的灵活性。如学了百分数应用题后，编制这样一道题:修一条12千米长的公路，5天修了全长的40%。照这样计算，一共需要几天才能修完,解题时，题中的12千米可用可不用。 (4)条件自行创设。 教师提出问题或设计出数学模型，让学生依据提供材料，自编自拟。旨在培养学生思维的求同性和利用数学模型解决实际问题的能力 。如教学工程问题之后，我设计如下题目:“请按照1?(1/a+1/b)的思路和列式方法编一道应用题。学生热情高涨，很快编出各种各样的应用题。“运一批货物，甲车单独运完需用4小时，乙车单独运完需用5 小时，两车合运几小时可以运完,”„„ 2、问题开放 “提出问题比解决问题更为重要”。这句话充分说明了提问的重要性。著名教育家苏霍姆林斯基说:“在人的心理深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”在教学中，让学生自己提出问题，做学习小主人，是提高学生素质的重要途径。应用题教学，具有枯燥的特点，往往不能引起学生的兴趣，恰当的给学生自由提问的空间，会充分调动学生的学习积极性。如教学“列方程解应用题”时，先出示两个条件:舞蹈队20人，合唱队69人，随后问学生你想到什么,学生从而得到两个结论:舞蹈队比合唱队少49人，合唱队人数比舞蹈队人数的3倍多9人。此时，老师放手让学生根据这四条信息选择条件，提出问题。这使应用题的内涵丰富起来，即使有些学生可能提出比较肤浅甚至毫无价值的问题，但毕竟是学生积极思考，认真分析条件间的关系才提出来的。质量的高与低并不重要，重要的是学生们在提问的过程中积极性得到了充分的发挥，思维得到了发展。 3、策略开放 策略开放就是在解答应用题时，注重学生解题策略的多样化。从学习心理学对知识的分类看，应用题教学的重点，不应是陈述性知识或程序性知识，而应是策略性知识，寻求和应用各种策略去解决各种问题是应用题教学的目标之 26 一。因此，应用题教学中，知识传授的成分应相对减弱，应用题教学方法策略的选择应向多元化发展，让学生通过直觉猜测、数形结合、假设换元、变形转换等解题策略，寻求对问题的解决。 某化肥厂去年计划生产化肥8000吨，结果上半年完成了计划的60%，下半年完成了计划的5/8。能否完成任务,(你能想出几种不同解法)通过学生动脑思考，得出了多种解题策略:算出实际完成的吨数，再进行比较。8000×60%+8000×5/8=9800大于8000，能完成任务。?按上半年完成8000×60%=4800下半年只须完成8000-4800=3200而下半年生产8000×5/8=5000大于3200，能完成。?按下半年完成8000×5/8=5000，上半年只须完成8000-5000=3000而上半年完成8000×60%=4800大于3000能完成?算出全年完成了计划的几分之几比较，实际完成了计划的(60%+5/8)，大于1能完成。?按上半年完成60%，下半年只需完成40%，而实际下半年完成了5/8大于40%能完成。?按下半年完成5/8，上半年只须完成3/8，而实际上半年完成了60%大于3/8能完成任务。通过开放性练习的设计，使不同层次的学生在参与学习活动和探索解题目策略的过程中，创新思维得到发展，创新习惯得到培养。有利于培养学生解决问题的策略意识和优选意识，有利于培养学生应用所学知识解决问题的能力。 4、结论开放 由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不能得到唯一答案。因此应有意识设计结果开放的应用题，引导学生在已知条件不变的前提下，联系生活实际，探索多种可能结论，摆脱答案唯一的僵化思维模式，培养学生的创新意识和应用意识。 如去年我县的毕业考最后一道应用题:下面是小强家今年第一季度用水情况统计图(图略)，请你先观察，再解决问题。 (1)根据图中数据，你能提出哪些数学问题,提出问题后解答其中你喜欢的一个问题。(从评卷中发现学生不仅能根据题目提供的数据提出问题，并能正确解答;而且提出 的问题范围非常广泛，涉及整数、小数、分数和百分数应用题，涉及加减乘除应用题，突出了学生的个性化思维。培养了创新意识。) (2)请你先预测，小强家4月份可能用水( )立方米。再把你的预测的数据在统计图中表示出来。我预测的理由是( )。(大部分同学都能根据题中的数学信息，进行预测，并在图中表示出来，同时说明理由。体现了学生的个性差异、不同的数学学习水平和情感、态度与价值观。预测小强家4 月份的用水量:?可能用水大于30立方米，因为随着气温升高，用水量会增加;因为增加了客人，所以用水量会增加等。?用水小于30立方米，因为水价调高，必须节约用水，节约开支;因为换了节水洗衣机，用水量减少;因为全家到外地旅游，所以用水量减少等。) (3)如果小强家1-4月份平均每月用水24立方米，那么小强家4 月份用水多少立方米, (4)看了这张统计图你觉得要向小强家提哪些建议, 27 (同学们能根据自己的已有知识和社会生活，提出多种合理化的建议，呼吁人们必须增强环保意识。如:我国是一个贫水国家，水资源非常缺乏，必须节约用水等。) 我的这些尝试，遵循了儿童的思维特点和思维规律，并结合应用题本身的特点，在教学中做到多实践操作、多联系实际、多形式转化、多灵活运用、多分层要求，极大地提高了学生的学习兴趣，激发了学生探索的欲望，进一步培养了学生良好的思维习惯，提高了分析问题和解决问题的能力，学生在展示探索成果的同时体验成功，增强了自信心，应用题教学质量明显提高了。注:本文部分发表于《中小学数学》(小学版) 28 当前应用题教学改革的几点思考 日照市教学研究室 李军 应用题教学在整个小学数学教学中占有重要的地位，它既是重点又是难点。应用题教学对于训练学生的逻辑思维能力，巩固所学的知识有着重要的意义。随着以培养学生的创新精神和实践能力为主要内容的小学数学教学改革的不断深入和发展，传统的应用题教学越来越显示出它的弊端和不足，应该进行改革。在此，谈一谈我的几点思考。 一、应用题教学应改变以训练思维为目标的做法。 训练学生的思维，特别是训练学生的逻辑思维能力，无疑是应用题教学的一项重要任务。以往如此，现在和将来同样不应放弃。然而，我们过于强调应用题教学的训练价值，从而形成了以单纯的抽象数量关系分析、解答形式化的应用题以及形式化的解答过程为基本特征的教学模式。教学内容过于强调系统逻辑性，教学方法过于强调思维训练性而忽视了现实性和应用性，使应用题远离了学生生活，断开了数学与社会的密切联系。它使一部分学生在应用题面前丧失自信。对生活中的许多数学问题熟视无睹，不会用所学的数学知识来思考、提出或解决现实生活中的问题，导致了学生数学能力发展的片面性。 小学数学应用题教学的价值取向应朝多元化拓展，数学观念、数学应用意识、解决问题的策略性和创造性、对问题解决过程的体验等都应成为应用题教学目标的重要组成部分.。 二、应用题教学内容应体现现实性。 新修订的《小学数学教学大纲》十分强调数学与现实生活的联系，增加了“使 29 学生感受数学与现实生活的联系”等内容，不仅要求应用题选材密切联系学生的生活实际，而且要求“数学教学必须从学生的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会”，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。 现实的生活材料能激发学生研究问题的兴趣，产生亲切感，认识到现实生活中隐藏着丰富的数学问题，这有利于学生体验到学习应用题不仅仅表现为列式解答，而要更多的关注社会，对生活现象提出数学问题，成为有数学头脑的人。这就要求教师首先要关注社会、关注学生的生活，才能提出、提供生活中的现象与问题，引导学生去观察、去解释、去解答。 三、信息呈现应具有灵活性、开放性。 以往应用题教学曾给学生传输了这样一个误区，即任何数学问题都具有完整的结构:包括“适量”的条件、“唯一”的答案、相对“程式化”的数量关系等。然而我们都知道，现实生活中“真实”的数学问题并非如此。恰恰相反，几乎没有一个问题拥有的条件是恰好的，问题答案有时也不唯一。 同时，我们对“应用题”内涵与外延的理解过于狭窄。应该转变观念，更加宽泛的理解应用题。应用题应更多的成为学生应用数学的载体，而不仅仅是一种数学题。这样，应用题就不必过多的拘泥于形式。在呈现方式上应体现动态性，改变以往的内容陈旧、叙述单一的标准板式，换之以更加新颖、灵活和更加现实的方式。如图画、对话、模拟演示、表格等都应当成为应用题的呈现方式。应重在提供给学生适量的信息，而不一定是完整的题目，促使学生对已有信息进行分析，建构联系，得出某种结论或提出某些问题。信息的呈现不一定一次到位，可分步呈现，或让学生自主呈现，应该使每个学生都成为提供信息的主体，变以往学生坐等信息为主动的提供、获得信息。 其次，教学中所呈现的信息应该尽可能的体现开放性。为解决某个问题而提供的信息可以不足，也可以有冗余，促使学生对这些信息进行分析研究，或补充或筛选，以获取有效信息，提高处理信息的能力。 四、解题策略应多样化。 培养学生的逻辑思维能力，是小学数学教学大纲的要求。我们平时在分析一个问题时，通常所用的数学语言的句式大多是:“要求„„就必须知道„„”、“要知道„„就一定先知道„„”之类。显然，这对培养学生的推理能力、线形思维能力，是大有好处的。但同时也产生了弊端:学生的思维被套进一个固定的模式。这不但不利于学生灵活地运用知识解决实际问题，尤其不利于创新 30 思维的发展。创新思维的本质在于变通。它要求学生能从不同的角度、不同的视角出发，独辟蹊径，产生独特的、与众不同的新思路、新想法。象“必须”、“一定要”等带有思维指向性、规定性的数学语言，往往会使学生的思维呆板。 要提倡分析方法、解答方法的个性化。以往的应用题教学，教师指令性要求太多，学生自主性机会较少，很多要求仅仅是为了达到解题过程的完整与规 读题审题——摘录范。例如，习以为常的做法，教师教学时要求全班学生按“ 条件问题——画线段图——列式解答”的程序进行，致使学生的思维僵化，没有个性、创造性。因此，要淡化应用题的解答方法及过程的标准化要求，变“只有正确且符合规范的解答”才得到肯定的做法为“只要思维、策略有效”即能得到肯定的观念。 应重视直觉猜测、数形结合、合理想象、数学实验等非常有特色的解体策略的运用。如教学《工程问题》时，提出问题以后，可让学生进行猜想，然后想办法验证。有的猜想12.5天完成，有的猜想6天、7完成„„这些猜想都其合理的成分，通过验证去研究、去修正。这样将学生自己在思维过程所必然要碰到的各种疑问、困难和障碍都暴露出来。使学生经历一个从“迷茫”到“清晰”，从“非正规化”到“正规化”，的过程。 教学中不要追求“一步到位”，要符合学生的认识规律。不要追求“统一化”，应当致力于“多样化”、“合理化”，以使得学生的个性化发展成为可能。当然，并不是说不要“最优化”。最优化是数学的魅力之一。然而，在过去的教学中，往往一开始就让学生追求最好、最简捷的解法。致使学生无法体会、体验到其“最优化”的合理性。追求“最优化”应当成为学生自觉的、长期的过程。 五、应树立大数学教育观。 应用题教学的时空范围，应突破课时和教室这狭窄的时间和空间，更多地融入社会，体现教学的过程性，体现大数学教育观。拓展应用题教学的时空，可以不断地向学生提出一些专题调查任务，或为课堂教学收集材料，或作课堂教学的延伸补充，使学生通过对生活的观察与思考，感受应用题存在的客观性和普遍性。 要引导学生从生活中收集数学信息和数学问题。如:调查生活中都要用到那些重量单位，调查本年级的人数，观察圆柱体在生活中的应用，提出有关的数学问题等。收集活动可安排在课前、课中、课后;也可以让学生在课堂上交流数学信息，以利于对数学知识的理解，也可以让学生将数学问题带到数学课堂上来，提供给大家解决。这种收集活动可以培养学生主动的观察意识、应用意识，自觉的将数学知识与生活实际联系起来。 31 六、应用题教学应融入到计算、几何、量的计量、统计等教学中。 传统的应用题教学与计算、几何、量的计量、统计等教学是割裂开的。事实上，应用题教学应是应用性问题的教学。计算、几何、量的计量、统计等教学内容是从生活中来并应用到生活中去的，也是应用性问题。所以应用题教学应当紧密结合这些教学内容进行。 如，小学阶段的计算知识在生活中有的大量运用，以学习小数的加、减法为例，可以从学生收集到的以下信息:?买3本书分别用了:3.15元，8.46元，4.24元;?钓的鱼分别是2.5千克，1.75千克等情境中引出新课的学习。学习完有关小数的加减法则之后，再让学生运用到实践中去解决有关的数学问题。还有以27届奥运会我国运动健儿夺取奖牌数量为题材可以编出一步、两步、分数、百分数的各种应用题。几何初步知识在生活中也有大量的应用，如计算罐头的容积、商标纸的面积、罐头盒的表面积等都是应用性问题。 一个数加上或减去接近整百、整千数的速算，可以利用学生买东西的生活经验发现和理解算法。教师可以创设这样的生活情境:妈妈带了225元钱去买衣服，每件衣服198元，妈妈可以怎样付钱，还剩多少元,学生可以想出多种方法，其中有的借鉴买东西时“付整找零”的经验得出先付200元，再用25元加找回2元的方法。在此基础上抽象出225-200+2的算式，探究出速算的方法。 七、灵活地使用线段图。 线段图是一种半抽象半直观的东西。合理的使用线段图，对于学生更好地理解题意、解决问题、渗透数形结合的思想有很好的帮助作用。但过去对线段图的使用太机械，总是在学生读题、分析条件问题时出现。这样线段图画完了，解题的方法也出来了，只剩下让学生顺着思路列算式了。 教师可以引导学生积极参与线段图的形成过程。如先让学生自己尝试画线段图，再根据学生画线段图的情况反馈讲评;还可以将线段图的出示放在学生尝试解答之后，目的是帮助学习有困难的学生。还可以将线段图作为信息交流的手段，让学生之间、师生之间相互交流。而且，并不是所有的解题都要依赖线段图，可能有的学生需要线段图，有的不需要;有的应用题用线段图比较好，有的也可以不用。应视具体情况灵活处理。 总之，我们要更新观念，突破一些条条框框的束缚和制约，真正以学生的发展为本，立足于培养学生的创新精神和实践能力，立足于学生问题解决能力的培养与基本数学素养的提升。 32 (此文发表于山东教育2002年第5期) 现行教材中的应用题教学存在的问题 周建明 现行教材中的应用题教学的弊端:从教学内容分析，依附于四则计算，内容的选择和安排主要按运算方法的实际应用分类，按运算步数分段，人为地将应用题分成一般应用题和典型应用题，与生活实际相脱离，学生死记题型。从教学方法分析，以模仿为主，“一例一类题”，解题方法以分析推理为主，思维活动分散在每一个推理环节中。 主要问题: 学生为学应用题而学应用题。 学习的目的只注重有没有正确解答问题，忽视学生数学建模能力的培养。 教师难教，学生难学。 学生解题的过程是:应用题——算式——计算。从应用题到算式，思维跨度大，算式与应用题现实相联系的信息少，不易学生理解。教材中的“这样想”一题一种思路，且以逻辑推理为主，与儿童的思维发展不相适应。 小学与中学的应用题教学严重脱节。 中学数学以符号化的内容为主，以符号化的逻辑思维为主，小学数学以形象 33 化的内容为主，思维的主要内容是表象，缺乏形象内容符号化的经验，进入中学后数学成为学习的拦路虎。 忽视数学形式思维在解决问题中的作用。 数学的作用就是将复杂的现实问题形式化、简单化。如把10只苹果分给2个小朋友，没有数学只能一个一个地分，有了数学可以先用数学思考:10?2=5，每人分5只就行了，这多简捷呀～再如逆向性思考的问题，用形象化的内容进行推理，学生是困难的，而将它转化为形式化的方程来思考，是简单的。 《课程标准》中有关数学应用的阐述 《课程标准》中就学习内容，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力。与现行教材中的应用题相关内容的论述: 1、 在谈到数感时指出:理解数的意义;能用多种方法来表示数;能在具体的 情境中把握数的相对大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而 选择适当的算法;能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。 2、 在谈到符号感时指出:能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用 符号来表示;理解符号所代表的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换; 能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。 3、 在谈到应用意识时指出:认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学 在现实世界中有着广泛的应用;面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角 度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略;面对新的数学知识时，能主动 地寻找其实际背景，并探索其应用价值。 从中我们可以知道，让学生从现实情境中抽象出数、数量关系不仅仅是为了解 决问题，也是数学学习的需要，只重视数学问题生活化，而忽视生活问题数 学化，就会降低数学学习的目标，丢了西瓜捡了芝麻。 教学观念转变: 从学习做应用题，转变为研究现实情景中的数学因素(数量与数量关系)，构建数学模型，学习运用数学模型解决实际问题。 应用题教学改革的基本思路: 材料呈现多种化，题材内容生活化，解题思路方程化，教学活动主题化。 小学数学中的基本数量关系: 相并关系、相差关系、份总关系、倍比关系、比例关系。基本数量关系及其复合，构成了各种反映现实世界的数学模型。 数学学习活动的基本过程: 34 发现现实情景中的数学因素(数量与数量关系)，建立模型，运用模型解决实际问题，并在实际运用中验证模型的正确性。 美国小学数学中解题策略的教学 一 加强解题策略教学的重要性 近年来美国小学数学中一项重要的改革就是加强解问题策略的教学。80年代初，美国全国数学教师协会曾提出解问题是中小学数学教学的重点，同时也提出数学的基本技能应包括比计算能力更多的内容，其中就有关于解题策略的问题。1988年在第六届国际数学教育会议上也提出使学生学会使用解题的策略。80年代末，美国新拟订的《中小学数学课程和评价标准》中，对这方面进一步加以强调，每个学段的第一条标准就是学习和应用解问题的策略。此后陆续在美国小学数学教科书中编入了有关解题策略的内容。 为什么美国如此重视解题策略的教学呢,这是为了适应现代社会发展需要。美国数学教育工作者认为，美国已进入信息社会，需要能处理信息的人，能用数学方法解问题的人，因此使学生掌握解题的策略就成为数学教学必不可少的内容。这与过去美国小学数学中侧重培养学生解决实际问题的能力有很大不同。过去的小学数学中解问题的教学目的只限于了解实际问题和能够解决一些简单的实际问题本身。而现在除了要达到上述目的以外，还要使学生掌握解 35 问题的各种策略，培养一般的解题能力和处理信息的能力，开发学生的智力，使学生能够适应不断变化的社会，即使遇到新的问题也能够应用已掌握的解题策略予以解决。显然这是美国小学数学教学的一项重大改革措施。 二 教学解题策略的内容 美国小学数学中不采用“解应用题”这个名称，而叫“解问题(solving problem)。”问题的范围比我国所说的应用题的范围广泛，既包括实际应用的问题，也包括一些非实际应用的文字题、思考题。因此解题的策略也比较广泛。既有一般的解题策略，又有特殊的解题策略;另外为适应现代信息社会的需要，还提出一些初步应用近代、现代数学方法解题的策略。下面分别作一简单介绍。 (一)一般解题策略 在一般解题策略方面，主要是教学解题的一般步骤，这与我国小学数学中讲的应用题的步骤基本相同。美国把解题步骤分为以下四步:1.理解题意;2.做解题计划;3.按计划解答;4.回答和检验。在课本中有时举例集中进行全面的讲解，有时进行单项的讲解和练习。 1.关于第一步，十分重视数据的收集。各套课本中都安排较多的使用统计图表中数据收集的练习。低年级多以形象图的形式出现，高年级多以统计表的形式出现。例如，五年级出现如下的表: (1)温度0?c，风速10千米时，风冷系数是多少, (2)温度—5?c，风冷系数—16?c，风速是多少, 课本中还注意安排有多余或缺少信息的题目的单项练习。例如，“托 姆有4只小狗，萨姆有3只小猫，巴布有5只小狗。一共有多少只小 狗,”“同学们去钓鱼，一半人没去过，没去过的有多少同学,”通过 36 这样的题目，可以使学生根据问题正确选择必需的已知数，从而有助于提高学生分析问题的能力。 2.关于第三步，十分注意正确选择运算方法的训练。例如，给出同样的已知条件，如两种物品的数量，先提问求它们一共有多少，再提问求它们相差多少。此外也出乘、除法对照的应用题。 3.关于第四步，十分注意检验答案的正确性。一方面教给学生检验的方法，如用减法验算加法，用乘法验算除法等，通过不同的运算方法检查计算结果是否正确;另一方面教给学生用估算检查计算结果的高位数是否无误。此外还注意教学生判断答案是否合理。一是注意得数怎样才算合理。如下面几道题都要算150除以60，但是答案不一样:“150支铅笔，均分给60个学生，每人分得几支,”(答:2支)“150个同学，每只船可以乘60个同学，需要几只船,”(答:3只)“一部电影放映150分钟，要放映多少小 矶有480千米，汽车一小时行80千米，到那里要多长,选择答案:60小时，60千米，6小时。 (二)特殊解题策略 一般有以下几种: 1.画图:通过画图帮助理解数量关系。例如，“俱乐部成员锯木做家具，要把一块木板锯成10块，每锯一次需用5分钟，一共需用多少分钟,”通过画图可知需要锯9次，从而容易算出需用的时间。 2.简化题目:一种是把原题里较复杂的大数改换为简单的较小的数，使题目变得容易。另外一种是把叙述较为复杂的题目改换为叙述较为简单的题目，使题里的数量关系更清楚。 3.尝试和猜想:通过猜想试算，逐步调整试算结果求得正确答案。例如，“索尼亚买3本书共付22.5元。其中《神秘的洞穴》比《隐藏的财宝》少1元，《隐藏的财宝》比《奇怪的城市》少1元。每本书的价钱是多少,”第一次尝试:21接近22.5，能被3除尽，平均每本书的价钱是7元;试把《隐藏的财宝》定作7元，则 6，7，8=21(元)，接近 37 22. 5元，但还差 1. 5元。第二次尝试:给每本书加 0. 5元，则 6. 5+7. 5，8. 5=22. 5(元)，总钱数正好是22.5元。由此可知每本书的价钱。 4.逆推:有些逆向思考的题目可以采用逆推的方法。例如，“阿伯特工作3小时，得到的钱买了一束花，用去9.8元，还剩2.95元。她每小时工作得多少钱,”画图帮助分析: 逆推时用相反的运算。 5.用方程解:因为不专门讲简易方程，所以把用方程解问题作为解题策略的一部分。一般只限于含有一两步计算的。 6.用公式解:如求长方形的周长或面积，求长方体的体积。 (三)用近代、现代数学方法解题的策略 这是美国小学数学解题策略的一个重要特点。通过教学使学生既初步了解一些近代、现代数学的思想方法，又提高处理信息和解实际问题的能力。一般有如下几种: 1.分类:从低年级起就注意做分类的练习。例如，把同类的物品圈起来。较高年级让学生把有关的物体集合用图表示。例如，出示下面两图: 然后让学生把两个集合圈合并画在一起，成下图 38 2.组织数据:渗透统计思想和方法。例如，文具店统计几种物品的数量如下，然后列表计算。 3.样本与预测:渗透统计思想和方法。例如，有4000人要进城游行，市里让他们填卡片，写出姓名和住址。要知道他们住哪个区各有多少人，不翻遍所有卡片，该怎样做才能知道,可以用样本来预测。从4000张随意抽出100张卡片，分给5个人，每人20张，分别做出统计如下表: 4.计算概率:例如，6个小正方体，其中有2个是兰色，2个是绿色， 5.使用范型:即找出数或形的排列规律，然后运用规律进行计算或判断。例如，爱德沃今天在银行存1分，明天存2分，次一天存4分，第四天存7分，第五天存11分„„照这样继续下去，第十天该存多少钱,为了解这道题，可以做如下的表，找出范型。 39 从表中找出范型是每天存的钱数依次比前一天分别增加1、2、3、4、5„„分，第十天应存46分，也就是比第一天多存1，2，3，4，5，6，7，8+9=45(分)，即存 1，45=46(分)。 6.使用树图:例如，商店有两种电话机，一种是按键的，一种是转盘的。每种电话机又有红、黄、绿3种颜色。每种颜色的电话机又有方、圆两种形状。一共有多少种可供顾客选择,为了解这道题，可画树图如下 从图中可以看出一共有 12种。写成算式是 2 × 3× 2=12(种)。 7.开放性题目:一般有两种情况。一种是一道题有不同解法的，另一种是一道题有不同答案的。对后一种举例如下。 例1:画出几种物品，分别注明单价，如衬衣10.99元，裤子13.5元，唱片5.98元，玩具车3.92元，腊笔1.6元。塔德要花8—10元，他能买上面哪些物品, 40 例2:停车场有汽车和摩托车，共42个轮子，可能各有几辆,可以列表如下: 从表中看出，可以有10种答案。 8.做决策:这是现代数学方法中的一种。在小学只能出现极简单的具体的。例如，“唐纳要买辆自行车，价值290元。他已储蓄了225元，每周打工可以挣40元。有3种选择，可以根据具体情况做决策。 (1)储蓄到够290元再买。 (2)当时付90元，然后每月付19元，付一年。 (3)当时不付款，每月付28元，付一年。 需求出每种选择所付款的总数，然后比较哪种有利，哪种不利。 (1)哪种选择付款最少, (2)哪种选择可以立刻得到自行车, (3)唐纳能挣够钱数来支付每种选择所需的款吗, (4)唐纳按哪种选择付钱要少些，是第二种还是第三种, (5)如果你是唐纳，你选择哪一种, 可以看出上述几个问题，并不都是只有一个答案，至于第(5)小题更是因人而异。 9.逻辑思考:包括的内容很多，这里只举几个有代表性的例子。 例1:琴娜可能买胡萝卜或梨，她不想买胡萝卜，她想买什么, 例2:甲不如乙高，但他比丙高。谁最矮, 例3:甲乙丙三人分别是钳工、电工和园丁，但甲不是钳工也不是园丁，乙不是钳工。确定他们每人的职业。 找出答案的一种方法是建立一个表，如右表所示。 41 想:甲不是钳工也不是园丁，因此是电工。 乙不是钳工也不是电工，因此是园丁。 那么丙不是电工和园丁，必是钳工。 例4:四年级有学生28人，其中14人参加乐队，9人参加游泳队，有4人参加了这两种活动。多少人未参加这两种活动, 想:只参加乐队未参加游泳队的是14-4=10(人)。只参加游泳队未参加乐队的是9-4=5(人)。参加乐队和参加游泳队的一共是10+5+4=19(人)。所以未参加这两种活动的是28-19=9(人)。 三 教学解题策略的安排 美国小学数学课本中对解题策略的教学，同其他内容一样，也十分注意合理的安排。具体地说，有以下几个特点。 (一)适应学生的年龄特点，从三年级开始正式教学。解题策略的教学，需要学生有一些数学知识基础，适当积累一些解题的经验，才比较容易接受。因此从三年级正式开始教学解题策略是比较合适的。但是在一、二年级也注意适当渗透一些有关解题策略的内容，如从图中找数据，看形象统计图，选择运算，初步认识解题步骤，开放性题目等。只是以更具体、简易的形式出现。如解题的四个步骤，在一、二年级是这样出现的:(1)知道什么,求什么,(2)要解这道题该做什么,(3)做。(4)检验。到三年级正式教学时在此基础上再加以概括。 (二)分散安排，与其他教学内容适当配合。前面介绍的解题策略，分散安排在各年级的各单元中，都用小标题标出，而且很多解题策略，在不同年级重复出现，其中计算的内容尽量与本年级教学内容相配合。 42 例如，三年级学过一些小数加减法，估算内容中就以小数加减法为主;四年级学过一些小数乘除法，估算内容中就以小数乘除为主。又例如，讲概率的计算需要有分数的基础，就在分数的认识之后出现概率。 (三)遵循由易到难、由简到繁、由具体到抽象的编排原则。例如，找范型这一解题策略，在各个年级都出现了，但是题目的难易和繁简有所不同。低年级着重出现看图找规律的，中年级除了继续出现低年级的形式外，还出现看到一列数来找规律的，以后进一步出现列表找规律的。又例如，逻辑思考这一解题策略，低年级出现使用“和”“或”的语句，中年级出现利用规律解题，高年级出现利用集合图解题。 四 一点看法 从前面对美国小学数学中解题策略教学的简要介绍可以看出，加强这方面的教学，有利于提高小学生的解题能力，促进小学生思维能力的发展。尽管在安排处理上还存在不足之处，如有些解题策略的选取还值得研究，对多步题的练习少了些，有些解题策略的安排还缺乏层次性等，但是改革的方向是对的，是适应现代社会发展需要的。 美国加强解题策略的教学对我国小学数学应用题教学的改革有一定的启发。建国以来，我国小学数学应用题的教学做了一些改革，但是还很不够，特别是还没有跳出传统应用题教学的框框。应用题教学的内容，基本还局限在原来的范围之内，只是做了一些简化和较为合理的安排;在解题思路方面开始有所重视，在课本中也有所体现，但是还缺乏系统的安排。同美国的解题策略的教学相比，存在一定的差距。 为了进一步改革应用题教学，更好地提高学生的解题能力，发展学生的智力，希望我们的教科书编者、教研人员、广大教师都来研究在小学数学中如何加强解题策略的教学。首先明确应用题教学改革的方向，如何确定应用题教学的内容和范围，如何适当安排解题策略的教学。其次要大力开展应用题教学的改革实验，支持带有方向性的改革实验，集中大家的智慧，使我国小学数学应用题更前进一步，为培养我国现代化建设需要的人才打好基础做出更大的贡献。 43 德国小学的应用题教学的改革 ,,年代以来应用题教学的地位在德国经历了一场戏剧性的变化。,,,,年—,,,,年由于皮亚杰理 论的影响，应用题地位迅速下降，处于从属地位，而计算题则处于主要地位，这一阶段人们称之谓“小学数学 教育起了根本的变化”。,,,,年开始，由于家长的愤怒与教学实践中产生的实际情况，迫使他们对数学教 育进行新的权衡，天平又回复了。促进思维与技算技能被看得同 44 等重要，应用题又显得重要了。人们认为，经 过改革后的应用题教学既能锻炼理解数学结构的能力，又能锻炼计算技能。 经过多年的讨论，他们认为应用题教学的目的是: ,(培养儿童从周围客观环境事物中抽象出数学结构关系的能力。 ,(培养儿童的计算技能，并使他们能正确地运用四则运算解决问题。 ,(应用题中涉及的具体知识可以深化学生对某一专门领域的了解，使专业知识得到发展。 ,(通过解题可以训练、培养学生的思维，更重要的是还可以培养学生的创造性思维，达到提高学生解决 问题和创造性解决问题的能力。 德国当前的应用题教学(即改革后的应用题教学)强调，所教的内容应该取自于孩子们周围环境中的实际 问题。他们认为:在小学里，儿童学习如何通过数的帮助，来了解周围世界的真相，是一个很重要的方面。所 以培养儿童运用数学方法来掌握某一周围世界情况的能力是至关重要的。现实生活中，在对某一问题考虑出一 个可能的解决方法之前，很少会有一切必不可少的事项、数据、陈述、关系都已在手头齐全了，首先必须对之 加以搜集、挑选、整理、比较，然后才是提出问题，接着是寻求解决方法，最后是得出答案。而在传统的数学 应用题课里，这些必不可少的数据、信息大多是以文字形式给出的。所以也有人说，这些应用题相对于大家所 重视的真正实际问题的解决来说，只是一些“冒牌应用题”。 作为改进，他们对应用题的设计作了带有方向性的改革: ,(在应用题的设计上留出让学生自己补充、搜集信息的余地，使学生能够自己搜集有关的信息并进行选 择。 例如:,,马克可以买多少千克桔子, 这种题按传统观点是无法解的，是条件不全的题。现在学生要完成这个题，首先必须到学校或家庭附近的 商店或超级市场去搜集桔子的价格信息，然后挑选自己喜欢的品种，算出千克数;或挑选价格最便宜的和价格 最贵的，再算出可买桔子的千克数范围。,,,,年与,,,,年笔者两次在德国巴伐利亚州考察进修时，发 现师生都对这一类题很感兴趣。有关教研机构也觉得这类题很有利于培养学生解决问题的能力。 ,(应用题不设问，让孩子们自己去寻找计算性的设问。 例, 乌特买了,只柠檬，她用一枚,马克的硬币去付款，找回了,马克。 例, 玛丽亚在奶酪摊上帮助她的姑姑。上星期她帮了,,小时，得到工资,,,马克。这个星期她帮了 ,,小时。 教师可以从学生的设问中看出学生对信息的理解程度和处理能力。像例,这种题可以设不止一个问，尤能 看出学生对信息搜集和处理能力。 有的题甚至没有文字说明，只有图。要求学生从图中搜集信息，提出问题(如下图)。 45 (附图 {图}) ,(为了培养学生的创造力，设计问题时考虑到让学生从不同的角度出发进行发散思维，探求不同的答案 。 例:父亲买玻璃杯(下图)。他用,张,,马克的纸币付款，收回了,马克的找头。 (附图 {图}) 这一类题一般有不止一个的答案，要鼓励学生去寻找不同的答案，答案越多越好。《教学参考书》指出， “当然不是要求所有的学生都找出所有的答案，重要的是，学生都要有兴趣去寻找多个答案。”教师引导学生 通过尝试制表法来寻求各种答案。现介绍如下。 分析与解题过程(摘自教师用书): 从图片中可以观察到杯子有三种价格:,马克、,马克、,马克。 先计算父亲付了多少钱:,,,,,,,(马克) (,)当他只买一种杯子时，有下列几种可能: 每只,马克的,,?,,,(只杯子) 每只,马克的,,?,,,(只杯子) 每只,马克的,,?,,,,(只杯子) (,)当他买了两种杯子时，就成了丢番图问题，有三种情况: ?,?,，,?,,,, ?,?,，,?,,,, ?,?,，,?,,,, 当,或,为零时，就是(,)中所述的情况。 小学二年级的学生是通过尝试法或制表格来寻得下列答案的: ?(,，,)，(,，,)，(,，,)，(,，,) ?(,，,,)，(,，,)，(,，,)，(,，,) ?(,，,,)，(,，,,)，(,，,)，(,，,)，(,，,)，(,，,)，(,，,) 尝试或制表格的策略是:第一种杯子的数目从零开始逐次上升，在上升过程中，每当第一种杯子数目被确 定，就相应地求出第二种杯子的数目。 (,)当他买三种杯子时，就出现了一个三变量的丢番图方程:,?,，,?,，,?,,,, 可以将,、,、,为零的情况除外，以免重复(,)与(,)。 同样可通过尝试或制表格来解决，策略是第一种杯子数目从,开始上升，当第一种杯子数目取定，第二种 杯子数目也从,开始上升，这时第三种杯子的数目就能确定了。 ,马克杯 ,马克杯 ,马克杯 总计 ,×, ，,×, ，,×, ,,, ,×, ，,×, ，,×, ,,, ,×, ，,×, ，,×, ,,, 46 ,×, ，,×, ，,×, ,,, 这些题对于传统教学培养出来的学生肯定是困难的，但对经过发散性思维培养的孩子，经过尝试策略培训 的孩子来说，二年级就可以进行教学了。 改革后的应用题教学，在怎样教、如何学上的做法是:紧密联系学生生活实际、切合儿童心理特点来进行 教与学。从下面几方面来帮助孩子们弄清问题的内部联系: ,(一、二年级经常通过游戏，如让学生拿着假钱币去演示购物过程，来发现解题方法。 ,(用图画出题目的情节，帮助学生把握事物内部的联系;如画运算草图或给出图解(如箭头图、计算树 图)。 下面举一计算树图的例子: (附图 {图}) ,(语言上的帮助:解释不熟悉的词，强调一些特别重要的词在运算上的含义。 ,(进一步的帮助:对应用题进行改写、加工，以得出一定的模式。 47 新课程下怎么教应用题, 浙江省绍兴文理学院上虞分院 沈 超 (一) 《数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)安排了四个数学学习领域，其中不包括应用题，新增加的“实践与综合应用”领域也不是原先应用题的代名词。这就意味着《标准》指导下的数学课本将不再单独设立应用题单元，甚至很少会相对集中地编排纯应用题内容。于是教师们困惑了——新课程下我们还教应用题吗,教什么应用题,怎么教应用题, (二) 稍了解数学课程改革历史的人都知道，应用题改革历来是数学教材改革的重点内容之一，但以往的改革都表现为量的增减和难度的升降，改革的总体趋势是:内容由繁难庞杂趋向于简洁明了，解法由算术解到算术解与方程解相结合，能力培养上由单纯重视解题技能发展为同时重视解题思路。而基于新一轮课程改革背景下的应用题是在数学教育新理念宏观指导下从目标、内容到教法的一次全方位改革，而不再是小修小补。 在传统数学教材中，应用题是小学数学除“数与计算”外第二大部分内容，也是教师开展教学研究时关注度最高的成份。在小学生数学学习评价中，应用题成了最能体现区分度的题型，常起着“筛子”的作用。虽然教师公认应用题是“教师难教、学生难学、费时费力、收效不大”，但大部分老师对传统教材中应用题的内容及其编排有着深厚的“感情”。因为教师们已经习惯了现行教材中应用题严谨的知识体系和清晰的编排脉络，并形成了一套与之相适应的“高效”的教学模式。传统教材严格按式题?文字题?应用题的递进关系编排。若进一步分析，应用题的“循序渐进、环环相扣”体现得更加严谨。以乘法应用题为例，求相同加数的和的简单应用?求一个数的几倍是多少?求一个数的几分之几是多少?求比一个数多几分之几是多少。而这样的逻辑体系只有在应用题相对集中编排时才能做到。 新课程中当然还会有应用题，但由于不再集中编排，上述严谨的教材格局必将被打破，给人的感觉有点“散”。 (三) 让我们客观、理性地回顾应用题教学的过去，以便更好地理解新课程带来的应用题的新变化。 1、应用题的外延狭小。过去的应用题是至少包含两个条件和明确的问题，即可以用来解答的“题”，“应用”就是指整数、小数、分数、比的运算应用于现实问题。 2、教学、训练目标单一。应用题教学的目标首先是学会解题，虽名义上也是培 48 养学生运用数学知识解决实际问题，而实际效果仅仅是将运算(数量关系)放到一个人为编制的、特定的、结构良好的问题情境中，解题的过程就是“算法化”。目标之二是通过解题，训练学生“言必有据、严密推理”的逻辑思维能力，而很少有猜想、预测、合情推理的机会。 3、题型设计简洁。以解题为目的的应用题必然是结构良好、强调文字组织的严密性，并将现实问题高度概括化、标准化和形式化的题型。其情节虽也源于生活，但往往过分“高”于生活。教材中每一个例题就是一种标准类型(以解题方法为标志)，并且是严密的逻辑体系中不可分割的环节。 4、教学方式强调学会解这一类题。由于题目向学生提供的是已经整理好的材料，因而教学的中心就是分析数量间存在的唯一的运算关系，把找到“解法”作为目标，进而是模仿与记忆，“识别”类型成了学生主要的认知活动。于是，教学过程大多形成了“通过一个题目引出一种技巧?认识这一技巧?提供更多题目实践这一技巧”的流程。这一过程尤如一个手艺代代相传的师傅教徒弟——交给徒弟一个扳手，教他可以拧螺丝，徒弟试着拧一拧;再交给他一把剪子，教他可以剪铅丝，徒弟试着剪一剪„„ 5、学生解题过程实质上是套用模式的过程。由于繁杂的应用题分类体系将各种题型编排成一个个相应的图式，加之许多教师的教学将各种解法当作现成的结论来教，学生的解题过程自然就成了“理解数量关系?搜寻记忆的图式?运用对应图式作解答”的一个机械操作过程。学生所做习题虽也有许多例题的变式，但所谓解题的难度，就体现在人为增加一些因素，以提高数量关系的隐蔽性和复杂性，使表征题目数量关系与再现记忆的图式之间多了一些障碍，需要进行推理与变换。如，例题:“小明有8颗糖，妈妈又给他3颗，小明一共有几颗糖,”当学生熟悉了“合并”—“+”的模式后，出示练习:“小明吃了8颗糖，还剩3颗，小明原来有几颗糖,”通过“吃了”、“还剩”这些减法的“特征词”干扰学生对这一模式的辨认。可以想像，学生面临的应用题学习只会是“题型+题海”。 (四) 对于上述原课课程体系中应用题教学存在的种种问题，新课程体系做出了相应的反应。从表面看，应用题在新课程体系中会比较“散”，不再那么系统，这必将大大削弱应用题本身作为数学学习目的的功能，即应用题学习的目的主要不再是学会解题，而更多地体现出作为数学学习的一种方式和工具。应用题这种教学功能的转变决定了它的新课程体系中会有全新的面貌。 1、学习目标从学会解题转向培养应用意识 毋须置疑，应用题仍将是培养学生应用能力的重要途径，但不再是对解题模式的简单应用，而是真正让数学与现实联系，让学生学习用数学的眼光、数学的思维、数学的方法去认识世界，去主动解决所碰到的现实问题。应用题将成为培养学生实践能力和开展探索、合作、交流的重要载体。应用题也会是所有学习材料情景化的最主要呈现方式，尤其随着《标准》倡导的“问题情境—建立模式—解释、应用与拓展”这种“问题解决”式学习模式的推广，数学知识的 49 呈现形成将更多地以“原型—模型—应用”的方式出现，应用题将成为其中的“原型”和“应用”的主要角色。这意味着应用题在数学中的角色将发生变化。 2、题材范围从四则运算应用转向多种知识融合 应用题的内容将涉及到“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”的每一个方面，涉及到概念建立、计算应用、法则推导、性质理解等等，成为各部分知识有机联系的融合剂。这样的变化必然改变过去应用题相对独立的知识体系和相对孤立的教学过程。应用题的题材也不再仅仅是小课题，有时会以较大课题的形式，成为“实践与综合应用”的主要活动题材之一。 3、题型从纯文字、标准格式变得更丰富生动 首先，呈现方式除了文字式的，还有情景性的，即生活化的。其次，拓宽问题的结构空间。问题是激发学生探索未知、获得发展的动力，是催动个体去寻求更多的发现、更多的创造、更好地生存的目标。应用题应该是好的“问题”，能引导学生主动进行比较、实践、猜测、证明和产生直觉、顿悟等发现性探究活动。第三，题目不一定是结构良好的，情景可能是复杂的，数据需要取舍，解决模式可能不唯一，答案可以各不相同，等等。例如: ?爷爷血压高，降压片药瓶标签上写着:0.1mg(毫克)×100片;医生的药方上写着:每天3次，每次0.2mg。请你帮爷爷算一下，一瓶药够吃几天, ?东东在菜场买了2千克鸡蛋。 a.如果剩下的钱还够他买2.5千克茄子，他一共带了多少钱, b.如果他带了12元钱，那么剩下的钱还够他买多少千克扁豆, c.请你为东东一家配晚餐小菜，算一算要我少钱。 ?全球通月租费50元，通话费0.4元/分;神州行通话费0.6元/分，不付月租费。入什么网经济实惠,为什么, 4、教学模式从重视结果到重视过程 传统应用题教学中，教师重视提供一套标准的样板，目标直指让学生学会解某类题这一结果: 审题——读题，叙述条件和问题，画线段图。 ? 分析数量关系——或从条件想起，或从问题出发;或教师讲解，或一问一答;教师构造起一套规范的“说法”，优秀生模仿着说，再让中等生说„„ ? 列式解答——或教师作示范性板书，或学生板演。 ? 总结“套路”——揭示这类题的特征、解题规律、注意事项。 上述“规矩”将在新课程中被打破。 首先，将应用题教学纳入一般“问题解决”教学模式，形成由学生自主探索、尝试、发现与建构的过程，真正体现“应用”性。尤其要重视培养学生对信息材料的处理能力和数学模型的建立能力。 其次，允许学生个性化地学习。学同一道应用题，对有的人来说是一个问题解 50 决的过程，但对有的人来说可能仅仅是一种习题的练习;有的人解题的过程是探索性的尝试、发现与解决的活动，而有的则只是同一种策略、方法、思考，甚至是手段的重复活动。在探求解决方案的过程中，有的学生擅长形象地思考，有的善于理论性推理，有的需要在现实背景中找相应的原型，思维的方式可能各不相同。这是由个体的知识背景、生活经验、习惯的思维方式等多种因素所决定的，不能有一刀切的要求。 第三，淡化探求解题思路过程这一形式化的“说法”，不仅仅追求“言必有据”，还鼓励直觉、猜想、预测、合情推理和适度的非形式化。 例如，“一班二班平均53人，二班三班平均54人，三班一班平均55人。三个班各有多少人,”若按规范步骤做，从“平均数”含义出发，有好几种解题方法。有学生作如下“合情”推理:?每两个班的平均数都是整数，说明这三个班的人数或都是奇数或都是偶数;?包含三班的平均数较大，包含二班的平均数较小，所以三班人数最多，二班人数最少;?三个平均数在54附近，且相差不大，估计三个班人数就在54左右。据此“凑数”得到答案:一班54人，二班52人，三班56人。答案不是用加减乘除算出来的，所以列不出算式，但这个学生在“解题”过程中所反映的是他自己的“数学”，不能否认他同样具有很强的数学应用能力。 有资料介绍某专家做过一个实验:让一名应用题解题能力“很差”的二年级学生拿10元钱到商店买3本笔记本，单价为2.5元。他不仅准确地买回了本子，还能有条不紊地叙述思考过程:每本2.5元，三本共7.5元，拿了10元，找回2.5元。说明他已经能“解”远远超出他学习范围的两步计算的小数应用题了。这不值得我们深思吗,总之，应用题教学应该重视过程:探求解法，而不单纯是记忆步骤;探索模式，而不单纯是记忆类型;形成猜测，而不单纯是做些习题。 5、改革应用题教学的评价体系 随着应用题的教学目标、教学内容、教材编排体系和教与学模式的变化，其评价体系的改革是不言而喻的。因为在目前，评价方式仍发挥着最有效的教学调控功能。 评价目标应定位在新课程理念的大背景下，立足于应用题教学改革的新观念之上，着眼于不仅仅是教题的变化。从考查学生应用题模式识别能力和解题技能转到真正评价学生的应用能力上来——数量信息的处理能力，数学模型的建立能力，解决现实问题时数学手段的选择能力和将数学知识应用于现实的意识，等等。这样，“考题”的现实背景、开放度乃至题目的呈现形式和答题方式都应该有新的面貌。限于篇幅，不作展开。 (五) 应用题教学的改革是一个很大的课题，在新一轮课程改革中，它不仅仅是科研人员的话题，更需要全体一线教师主动参与。小学数学教师应该以新的观念、积极的心态、创造性的工作、“扬弃”的态度，去继承我国应用题教学的宝贵经验，去适应国内外教学改革的潮流。这样，应用题教学改革就能成为课程改 51 革的一个亮点。 参考文献: (1)中华人民共和国教育部制订:全日制义务教育数学课程标准(实验稿)。北京师范大学出版社，2001。 (2)数学课程标准研制组:数学课程标准解读。北京师范大学出版社，2002。 (3)杨庆余:小学数学问题解决与解答应用题。中小学教材教学，2002(13)。 《小学数学教师》2004年第7、8期 谈应用题教学改革 新课程对应用题有了很大的改革，取消应用题的独立章节，将它与计算教学相结合，在形式上改变以往纯文字的面孔，而是通过以图文方式来呈现。最近执教了二年级表内除法单元，与省义务教材比较，改变了“式题和应用题”为单元的编排方式，并把两步计算“应用题”从五册(以求和为基本数量关系、以相差数为基本数量关系、以剩余数为基本数量关系的二步计算应用题)提出放到本册进行教学。 赋予“数学问题”丰富的生活背景的“解决问题”教学，真的有利于学生理解并解决问题吗,有利于学生的数学能力的培养吗,在以生活化为特色的“解决问题”教学中，如何培养学生解题策略以及数学思维能力,带着这样的疑惑，我尝试着来解决这些问题。 1、在生活情境中发现“数学问题”。本课时及书上后面的练习题及作业本上的练习题都是乘除两步计算的，没有固定的基本数学关系，只是根据具体的问题情境来确定解决的思路。而在现实生活中乘除法的意义确实有很多的外在表现形式，有些是连乘、连除，还有些先乘后除、先除后乘。也就是想通过一个主题情境图的学习，学生想套用一个“范例”而来解决所有的问题是不现实 52 的，必需得构建有真正的理解，并构建数学的模型。特别是，后进的学生如何培养他们发现问题解决问题的能力，在解决问题的过程中逐步积累经验，弄清这类应用題的特点和解題的关键。 例4主題情境图，由两幅情境图组成，第一幅隐含的问题就是第二幅图要解决问题的条件，清晰而有序地呈现出先求什么，再求什么，直观形象地为学生解决两步计算问题提供有条理的思路。而这些具体形象的生活画面，在老师的引导下，使学生亲身经历从生活问题到数学问题的抽象过程，更自然地使生活原型提升到了“数学化”的层面。与以往的“应用題”教学相比，增加了解决问题的具体表象依托，为学生找到合适的“中间问题”提供了有利的现实依据，克服了以往的应用题教学中，引导学生找中间问题尴尬现象。在后继的学习中，很多的“生活情境”都为学生理解两步计算应用題的关键提供了表象，并在此过程中逐步积累经验和体验。 2、在语言提炼中构建数学模型。教材中出示的例題，是具体的“情境图”，力图让学生经历收集信息发现问题并解决问题的过程。但如何将这些纷繁的情境图中提炼出有用的信息，并将这些信息进行思维的加工，是促使学生构建数学模型的关键。而将其提炼成简约的语言，在提炼的过程中培养学生的思维能力和解题策略。 数学信息之间内在的联系即数量关系是数学模型的骨架，学生对这些数学信息进行内在的思维加工过程，就是数学模型的建构过程，实现从生活化到数学化的过度和提升。而这些我们可以让学生来用数学的方法，可以用算式来表达，也可以用简约的语言来表述生活中这些数学信息这间的联系。因此，在教学中始终让学生尝试着自己来写一写，自己来说一说自己是怎么想的，用语言表述自己的理解。当然，在这过程中，教师逐步引导学生用最简约的数学语言，呈现自己的思考过程，从而建构数学模型，达到数学化的过程。 3、在尝试“应用题”中发展数学思维。赋予应用题以生动的生活背景，让学生以已有的生活经验来展开思维解决问题，让学生经历了“发现问题、分析 53 问题、到解决问题”的数学学习活动，特别是对低年级的学生来解决这类两步计算的应用题，伴随生活经验使学生产生了更多更美好的情感体验，使学生的主体性和创造性得到了充分地体现。任何生活经验都要转化为数学模型，上升到数学思考，才能真正发展学生的数学思维。为了避免一些学生的学习水平停留在直观动作思维层次，可以呈现一些纯文本的“应用题”，然后引导学生去分析、解决这些数学问题，培养学生发现问题的意识与能力。如在出示一些“应用题”后，让学生找一找你已经知道了什么，你能够知道些什么，让学生找到这些数学因素之间的联系，并找到问题的关键所在。 从《数学课程标准(实验稿)》看应用题教学改革的方向 在进入21世纪的伊始，国家颁布了《数学课程标准(实验稿)》。作为指导新一轮数学课程改革的纲领性文件，凝结了几十年来我国数学教育改革的经验，同时，也不无放射出中西文化碰撞的火花，细读起来，回味无穷，颇多新鲜感。其中的教育思想、教育理念、课程目标、课程内容及评价体系，都凸现出一种面向21世纪信息社会的时代特征。体现出中西文化融会贯通的潮流，那么，我们透视小学数学应用题教学改革，就能窥见其一般。 应用题作为我国小学数学教学的一项重要内容，几十年来一直是人们重点关注的课题。应用题教学在培养学生逻辑思维能力、综合运用知识解决实际问题的能力等方面起了重要的作用。但是，受传统教育观念和课程理论的影响，我国应用题教学的价值定位、课程内容体系、呈现形式、教学模式与方法等一直没有大的突破。与西方以"问题解决"为核心的全面数学教育形成了鲜明的对照。因而当代洋为中用、取长补短的教育文化潮流，为我国的应用题教学改革带来了新的生机和活力。从而使我国的应用题教学有了明确的方向。 国家《数学课程标准》中明确提出:数学学习目标分为四个方面:即知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。这样把传统的应用题教学改为以"解决 54 问题"为中小的"数学实践和综合应用"。从而使应用题教学的教育价值定位更加准确，教育理念更加明确，课程体系更加宽泛，呈现形式更加灵活。其主要表现在如下几个方面: 一、把培养学生的应用意识、问题意识和解决问题能力的应用题教学寓于基础知识与基本技能的学习过程之中，寓于数学体验与探索、数学思维活动过程之中，使数学教育活动成为全面发展的教育。 从《数学课程标准》可以看出，数学学习的四个目标:"知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度是一个密切联系的有机整体„„，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。"也就是说作为教育的数学科学，是血肉相连的一个有机整体，以培养应用意识、问题意识、探索能力、创新精神和解题策略为侧重点的应用题教学,必须有机地结合在数学基础知识的学习，数学探索与体验及数学思考活动过程之中。例如，在万以内数的认识中，设计如下的问题"1200张纸大约有多厚,1200名学生大约能组成多少个班级,1200步大约有多长,"再如教学"先乘后加"的四则混合运算顺序时，将学生放入如下的问题情境中，"商店里有标价15元的钢笔和标价4元的圆珠笔，小明拿了一枝钢笔和2枝圆珠笔，请您帮助小明算一下，需付给售货员多少钱,"使基础知识、基本技能、基本法则的教学建立在解决数学现实问题的情景中，这样一方面使枯燥的数学基础知识更加富有生活气息，有趣味，富有挑战性，从而使学生感到数学源于生活，应用于生活，数学就在身边，数学真正有用的东西。从而激发起学生学习和解决数学问题的兴趣。同时，培养起学生从周围客观事物中抽象出数学结构和数学模式的能力。另一方面，还克服了传统应用题教学中游离于知识教学之外，独立成章，单独成块，分类型、系列化、模式化、单调重复和机械模仿的封闭式教学体系。从而使知识与能力、情感与态度的教育目标溶于一体，相得益彰，全面发展。 二、以"解决问题"为核心的应用题教学，将更加注重从学生已有的知识经验与生活背景出发，给学生提供具有一定现实意义和趣味性的应用题素材，为学生创设富有挑战性和开放性的问题情境。使学生的求知欲和探索欲得到满足。从而把培养学生的创新意识、创新精神和创新能力放在重要的地位。为个性化的人格教育创造良好的环境。 在当今数字化、信息化的时代，帮助学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其他学科学习中的问题是至关重要的。要实现这样的教育目标，需要给学生提供一种反映周围世界真实情况的问题情景。给学生一种收集信息，挑选信息，补充信息，整理、比较、陈述、探索、研究和发现的机会。给学生更大的自由活动空间。 在小学一般常见的问题情境有二种。一种是明确的问题情境，问题是给定的，条件是明了的，答案是确定的。学生在解决这样的问题时，数量关系和解题方法是已知的，所以是封闭的问题情境，这种题型过多的重复练习，容易机构化、模仿化，当前的应用题大量的是这类题型。另一种是需要发现的问题情境。问 55 题需要学生自己去设想出来，或者问题已给出，但其与问题有关的信息需要学生去创设或补充。如"20元钱能买苹果多少千克,""小林利用星期天到社区服务站劳动，第一次工作了8小时，得到工资16元，第二次他工作了6小时。"象这样的条件，或问题以及解决问题的方法都需要学生自己去发现，需要一种"创造"的活动。是一种富有挑战性、开放性的问题情境，其教育价值和意义是重大的。能引导学生成为探索者，研究者和发现者的角色。能够培养学生收集信息和处理信息的能力，促进学生创造成性地解决问题。因此，提问题、填条件、编题是应用题教学改革的成功经验，随着课程改革，必将会得到进一步的完善，同时，还会增加一些有多余条件的，条件不足的，解题方法和答案不唯一的更加开放性的题目。创造一个"不同的人学习不同的数学"之环境，以照顾思维方式和认知风格上的差异性。 三、在"解决问题"的教学中更加注重基本解题策略和一般解题能力的培养。注意引导学生养成反思和评价的习惯，以培养学生的初步元认知能力，自我调节能力。 所谓一般解题能力，简单说就是解任何题的能力。它包括联系、分析、分类、想象、评估、自我调控等基本解题策略。一般解题能力是在了解数学问题情境、明确组成和结构、体验解决问题策略的过程中逐步形成的。它区别于解一定类型题的个别技能技巧，是一种具有广泛迁移性的解任何题都需具备的能力。因此，一般解题能力可以说是一种学习和认识活动的能力，是一个终生受用的本领。正因为如此，《课程标准》在总体目标中明确提出，把培养学生的一般解题能力和基本解题策略作为小学数学教学的最基本任务之一。 有关优秀生和后进生学习认知特征与解题策略的研究表明，后进生形成的原因除了有关基础知识和非智力因素外，更多的是学习策略及方法、自我检查与评定、调节等方面的水平较差所致，诸如模仿练习、盲目尝试、解决问题时思维混乱而无序，不知道从何处开始入手，怎样想、怎样做，偏重于具体方法的记忆，不注意总结规律等。而优秀生在解决问题时的突出特征是善于抓住问题的结构和实质，注重于在体验与分析活动基础上确定解题方法和步骤，同时，具有预测进程，剔除无关信息的能力。另外，还具有在解决问题后进行总结、反思、评价解决问题过程的习惯。这说明一般解题能力是决定"解决问题"学习能力和创新实践能力的关键因素。因此，在以"解决问题"为核心的应用题教学中，要把促使学生掌握数学学习方法和认识方法，学会不断调节学习的方法作为教学的第一目的任务。这对于学生的后继学习，甚至未来的生活和工作都有不可估量的意义。 56 小学数学简单应用题教学改革的研究 一、应用题的教学现状 应用题是小学数学教学内容的重要组成部分，历来是小学数学教学中的重点和难点。从应用题教学现状来看，主要存在以下几个问题: 一是应用题本身的编排存在一定的不合理性。这主要表现在教学内容的编排依附于四则计算，并按运算方法的实际应用进行分类，按运算步数进行分段。没能形成一个独立完整的教学体系。 二是数学教材当中应用题的教学方法存在一定程度的不适应性。在现实当中，摒弃城乡差距、教育教学的硬件设施等一些客观存在的因素，而要求教师都采取相同或相类似的方法进行教学，并取得较高的效果，这是不可能的。 三是教师在现存教法的主观约束下，以及每天繁重的教学工作下，没有时间和精力去积极地、有效地思考更加适合自己教学实际的教法。 四是小学与中学的应用题教学又存在严重的脱节，没能适当地联系起来，这也是一个比较突出的问题。 由于以上等一些主客观因素，导致应用题的教学始终成为小学数学教学中的老大难问题:老师难教，学生难学。而在应用题中，简单的一步应用题是一切稍复杂和较复杂等应用题的基础。只有深刻地理解掌握简单应用题，才能更好地去解决更复杂的应用题。本文就简单应用题的类型划分及其教学方法、复合发展等方面作初步的研究。 二、简单应用题的划分及其教学 所谓应用题，是指根据生产和生活中的实际问题，用文字语言或图表叙述出已知数量和未知数量之间的关系，而求未知数量的题目。关于应用题的分类，由于研究者分类时的思维路线不同，因而所分的结果也不一样。一般来说，可以 57 从数的观点出发并考虑应用题的内容及解答的方法、解答应用题运算的步骤的多少、解题者胜任能力的心理因素、数量关系、运算性质等5个出发点给应用题进行大致的分类。而简单应用题也叫一步应用题，是从解答应用题运算的步骤的多少来分的应用题中最基本的一种，其基本特征是:两个条件和一个问题就能组成一个基本的数量关系。也可以这样说，在简单应用题当中，数量关系一般都是由三个数组成。这三个数由于应用题的情节和数量关系的不同，因而具体到任何一道应用题时，就会出现不同的数的名称。如果我们把简单应用题按照数量关系再进行分类，一般情况下可分为部总关系和比较关系两大类应用题。而部总关系具体可分为部分数、部分数、总数关系和每份数、份数、总数关系;比较关系具体可分为大数、小数、相差数关系和大数、小数、倍数关系。下面就从简单应用题具体的四类关系入手，谈谈如何进行教学。 第一种类型:部分数、部分数、总数关系 由于一个数量具有不等分性和可组合性，并且应用题中数量变化有时存在一种因果依存的关系:一个数量的变化会引起另一个数量的变化。由此，就产生了部分数、部分数和总数，由于这两个部分数都是由总数派生出来的，因而它们属于同类数量，是可以用加减法进行计算的。 在部分数、部分数和总数关系应用题的教学中，根据数量的单位名称及其内在数量变化的因果关系，往往能帮助我们找到解题的思路。如: 1、菜市场里有20个大冬瓜，卖出5个，剩下的卖给幼儿园食堂。卖给幼儿园食堂有多少个, 2、一年级有学生78人，其中男生有40人。女生有多少人, 3、学校有24块乒乓球拍，又买来6块。现在有乒乓球拍几块, 4、学校第一次买扫帚24把，第二次买10把。两次共买了多少把, 在以上这些应用题中，除了它们各个数量的单位名称一样之外，还具有一个数的变化而引起另一个数的变化这样的特征。这种变化特征可分为两种情况: 一是总数的可分性，如:第1题中“冬瓜可以卖出”，第2题中“学生可分为男生和女生”。像这样，就可以从总数中分出两个及其以上的部分数，求其中的一个部分数，用减法。如:一袋大米重20千克，早上吃了2千克，中午吃了4千克，下午吃了3千克，还剩下多少千克, 二是部分数的可组合性，如:第3题和第4题，就是把两种部分数组合在一起，求总数，用加法。 由于部分数、部分数和总数关系应用题的教学，关键在于充分理解数量之间的因果关系，因而必须通过大量的感性材料，如具体的直观操作和带有故事性情节的描述等等，让学生直观形象地感受到数量之间的这种内在的因果关系，逐步抽象概括，使之形成一种能力。 第二种类型:每份数、份数、总数关系 由于一定数量的可等分性，就产生了每份数、份数和总数。这三个数之间的关系，就构成了份总关系中的一种。在每份数、份数、总数关系应用题中，每份数、份数和总数由于不是同类数量，因而不能进行比较，不能运用加减法进行 58 计算。与此同时，在每份数类关系应用题中，也客观地存在一些明显的“字眼”，它可以帮助我们确切地分析数量关系。下面就以一些基本的题目进行说明。如: 1、一袋大米重20千克，平均分给4个人，每个人分到几千克, 2、7组同学参加课外兴趣小组活动，每组3人，一共有多少人参加, 3、有16个桃子，给每只猴子分4个，可以分给几只猴子, 在以上这3道题目当中，划“ ”部分都具有“每(单位名称)„数字或多少、几(单位名称)”这一模式，像这样的数，我们把它叫做每份数，在每份数当中，“每”字后面是份数的单位名称，“数字或多少、几”的后面是总数单位名称。据此，我们可以判断出划“ ”部分是份数，划“ ”部分是总数。分清了题目中的各部分数的名称，再运用每份数=总数?份数 份数=总数?每份数 总数=每份数×份数这些相关公式进行计算，就比较简单了。此外，应该让学生明白，每份数的单位名称是由份数和总数的单位名称组成的。为何一部分待差生会把总数和每份数进行相加减，主要原因就是不明白总数单位名称和每份数的单位名称其实是不一样的。这一知识点在数学教学参考书中没有，并且绝大多数老师也没有进行这一知识点的教学。其实，每份数的单位名称与我们初中的数学、自然等学科当中的一些数的单位名称是紧密联系的(如速度的单位名称是:米/分，或者千米/小时等等，就是由两个单位名称组成的，只是写法上有所区别。) 第三种类型:大数、小数、相差数关系 数量除了具有可分性和可组合性之外，同类数量之间还可以进行比较，通过比较，可以作出数量的大小、相等的判断，这就是数量的可比性。这种比较关系既表现为大数、小数、相差数关系，又表现为大数、小数、倍数关系。大数、小数、相差数关系应用题如何进行教学呢,我们先来看以下几道题目: 1、王冬家饲养了7只绵羊，18只山羊。绵羊比山羊少多少只, 2、饲养小组养鸡96只，鸭60只。鸭比鸡多多少只, 3、二年级有男生32人，女生比男生少10人。女生有多少人, 4、花园里有蝴蝶26只，蜻蜓比蝴蝶多8只。蜻蜓有多少只, 对这4道题目进行观察、分析、比较，可以发现划“ ”部分的这些数都是相差数，这些相差数都可以归纳为“大数比小数多„”或“小数比大数少„”这一模式。在这一模式中，关键是让学生根据相差数“大数比小数多„”或“小数比大数少„”判断出大数和小数，然后运用对应关系，找出题中独立描写大数和小数的句子。再根据相差数=大数—小数 小数=大数—相差数 大数=小数+相差数等相关公式进行计算，学生就容易掌握了。 第四种类型:大数、小数、倍数关系 倍数关系是同类数量之间的比较关系中的另一种表现。倍数类关系的应用题都客观地存在一些明显的“关系语句”。如: 1、王大伯家养了24只鸡，6只鸭。鸡的只数鸭的几倍, 59 2、动物园里有8只大猴，小猴的只数是大猴的4倍。小猴有多少只, 3、奶奶今年64岁，她的年龄是小明的8倍。小明今年几岁, 在以上这些题目当中，划“ ”部分都是倍数，都可以归纳为“大数是小数的„倍”这一模式。根据倍数“大数是小数的„倍”这一模式可以判断出大数和小数，然后运用对应关系找出题中独立描写大数和小数的句子，再根据倍数=大数?小数 小数=大数?倍数 大数=小数×倍数这些相关公式进行计算就比较容易了。 在具体的实践教学当中，由于数学应用题具有较强的抽象性，低年级儿童不易掌握，所以要充分进行实物的操作和教具的演示，引导学生从大量的感性材料中逐步抽象概括，获得新知识。特别是四类关系应用题中的每种数的认识和相关公式，决不能一步到位，可以花一节、甚至两节、三节课的时间让学生从大量的实例当中通过仔细的观察、分析、比较，较独立的得出这些数。例如在认识每份数、份数和总数关系中的“每份数”这个数时，可以采取以下方式进行教学: (一)课件出示: 1、一位顾客在水果摊前询问每箱梨的重量和价钱的情景。然后在旁边出示结果:每箱苹果重2千克，每箱苹果卖10元。 2、王店村在修水泥路，一位村民正在向施工人员了解每天的进度情况。旁边出示结果:每天修路150米。 „„ (二)根据前面出示的结果，组织学生观察、比较这些数有什么特点,然后分析归纳出每份数的结构特点。 (三)让学生说说自己在日常生活当中看到过、听到过或遇到过哪些每份数。 (四)放学后向你的长辈、亲戚或朋友收集有关每份数的数据。 在充分认识这些数的基础上，逐步引出相关公式。也就是说，在学生思考时，不到苦思不得其解时，不启发他;不到有所领悟时，不启发他。 除了充分考虑到学生的认知规律外，我们还要充分运用心理学的研究成果组织教学。如:充分把视觉和听觉结合起来，可以使记忆率达到65%;经常进行双手的练习，既有利于左、右脑的协同发展，也可促进双手肌肉群的发育，对学生智力的发展起到很好的作用。 此外，在这四大类关系应用题当中，由于叙述方式的不同，会产生一些特殊的情况，只要稍加引导，学生就能掌握。 三、简单应用题的复合发展 在简单应用题中，如果把部分数、部分数、总数关系，每份数、份数、总数关系，大数、小数、相差数关系，大数、小数、倍数关系进行有机组合的，就可以发展成两步及其以上的复合应用题。如: 1(两步复合应用题 学校修理房屋，运来红砖3车，每车480块，运来的青砖比红砖多300块。运来的青砖有多少块, 60 这道两步应用题就是由每份数、份数、总数关系和大数、小数、相差数关系这两种简单应用题复合而成的。 又如:挖一条长50米的水沟，已经挖了18米，剩下的要4天挖完，平均每天挖多少米,(由部分数、部分数和总数关系应用题和每份数、份数、总数关系应用题复合而成。) 2(三步复合应用题 一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5 天，平均每天做75套，剩下的3天做完，平均每天做多少套,(由两道每份数、份数、总数关系简单应用题和一道部分数、部分数、总数关系简单应用题复合而成。) 由此可见，教学好这四类基本的简单应用题，可以更有效地去解决复杂的应用题，使我们的学生学得更加轻松、愉快。 (本文于2001年上半年荣获义乌市教委教研室小学数学论文评比三等奖) 改革数学应用题内容的实践与思考 诸暨市实验小学 葛伟新 数学应用题是研究数量关系，培养学生灵活运用知识解决数学问题、生活问题的有益材料。 一(数学应用题内容改革的思路 本实验研究的主要思路是: ?实验的设计。完成实验的前期申报、方案设计，明确方向、目标、任务。 ?实验的开展。包括了以下一些方面工作: 教师专业的发展。争取形成一个如下培训网络，使实验教师群体逐渐向实验指导教师发展。 实验指导教师 61 实验协作教师 实验教师群体 学生的分析研究。 教材的内容改革。从孩子的角度、从时代的高度、从育人的精度去探索研究应用题内容的改革。 教学模式的摸索。 实验及教师反思。 实验资料的积累。 ?实验的总结。完成实验报告及其附件(数学应用题问题集、教案集、案例集、病历集、影象资料集。) 二(数学应用题内容改革的实践 数学应用题内容的改革必须以现代教育理念为指导，根据对主要发达国家学校数学课程标准和国家数学新课程标准的研究，认为小学数学应用题内容的改革主要体现在:?人人学有价值的数学;?人人都能获得必要的数学;?不同的人在数学上得到不同的发展;?关注学生的情感、态度、价值观。 ?改革小学数学应用题内容的选择、重组以及编写。 除了简单的增加、删除部分内容外，我们还重点进行了以下研究。 , 积极创设问题情境，发展数据处理、解决能力 如，教学“时刻”一课中，我拿出一张火车时刻表，让学生能看懂某次车的始发和到达的时刻，学会数据处理，并进行各种计算，有意识地发展学生数据处理、解决的能力。 , 全面引入数学开放题，实施数学个性化教学 教学中全面引入开放题，有利于发展孩子的数学解题策略和发散思维。 如，在学习了“8，几”及相应的减法后，设计一个开放题:小明带了11元钱到文具店去买东西，已知笔记本4元/本，文具盒8元/个，自动笔3元/支。用这11元钱，可以买回哪些物品, , 关注学生个别差异，实行区别化分层教学 62 区别化分层教学更关注学生在个性、兴趣、能力各方面的差异，不但兼顾了“慢生”和“优秀生”，注重全体、全面发展。如，可将上题问题改为: A(必做)(只买了其中的一样，还余下多少元钱, B(选做)(如果要用完这11元钱，可以买回哪些物品, C(选做)(想同时买回这三种物品，可能吗, 学生的解答是:A、C(略。B(大家说可买回8元和3元的。但也有7个同学说可买回两个4元和一个3元的物品。出乎意料的回答，激起了大家强烈的思维欲望，同样也激起了大部分“慢生”的积极参与，促进了共同发展。 , 把“身边数学”引进课堂，实现大众化数学教学 我们倡导“身边数学”进入课堂，实现大众化数学教学，发展数学素养，实现知识和能力的完美融合。 如，我设计了“求平均数应用题”的能力题——某电视歌手大赛，7个评 ，8.5，7.5，7.4，8.5，9.5，9.3，歌手张燕平均得分委给张燕的得分是9.5 是多少,结果有47人的答案是:(9.5，8.5，7.5，7.4，8.5，9.5，9.3)?7=8.6(分)，只有1人的答案为:(8.5，7.5，8.5，9.5，9.3)?5=8.66(分)。问题出来了，在争论中大家明白了是自己忽视了“某些大赛总要去掉一个最高分，一个最低分”的活生生的数学事实。 , 挖掘数学知识的实用性，从小培养数学应用意识 学习最终目标是为了应用，教师要对数学知识和应用题进行深加工，挖掘出数学知识的实用价值，从小培养学生的“数学应用意识”。 , 加大实践探究力度，重过程而不仅仅是结果 更多地参与推想、探究、操作推理等探究训练，培养学生创新能力。如:5.25时织布44.1米，照这样的速度，79.8米布要织多少时,79.8时能织布多少米,针对容易混淆的特点，让学生想你会用方程解吗,经过讨论计算，学生根据“速度相等”列出了44.1?5.25=79.8?x、44.1?5.25=x?79.8。学生举一反三还列出了5.25?44.1=x?79.8等，觉得蛮简单的，绝对不混淆了。 ?创新小学数学应用题内容的题型结构与呈现方式 应用题每一堂课、每一知识板块的题型结构都应丰富多变，让学生在百变之中求不变，找出基本的解题策略，举一反三，提高学生的思维能力，更好发展学生的数学素养。 63 如简单应用题内容的基本题型结构是:?看听口算题。?关系分析题。? 1反叙表述题。“小华家养鸭24只，鹅的只数相当于它的，鹅有几只?”，反叙3 1为“小华家养鸭24只，它的相当于鹅的只数，鹅有几只?”?可逆联想题。如，3 “正方形边长5米，周长是 米,”?“正方形周长20米，边长是 米,”?由因导果题。如，条件“大米重8斤，小米重4斤”，问题 。?执果索因题。给出应用题的“问题”或“数据”，让学生执果索因，以培养学生用分析法思考的习惯。?组合应用题。给出一些杂乱的条件和问题，学生重组出应用题，培养学生的搭配和辨别能力。?条件呈现多余或不够。如，“同学们做了8朵红花，7朵黄花。送给幼儿园3个班，一共送了10朵，还剩多少朵?”?实践操作题。?应用题接龙等。 应用题内容的呈现方式多变，有利于学生更好地思考解决问题，发展学生的数学素养。现列举几种应用题内容的呈现方式: ?传统手段呈现 线段图呈现、文字呈现、图文呈现、图片呈现、表演呈现等。 ?现代多媒体呈现。 实物投影呈现、PowerPoint呈现、FrontPage呈现、Internet呈现、计算机辅助教学、远程教学等。 三(数学应用题内容改革的思考 1(改革数学应用题内容，培养小学生数学素养 通过数学应用题内容的改革实验，努力探索出小学生数学素养培养的途径和规律，为培养小学生具有现代“创新意识与创新力、实践能力、收集和处理信息、合作交流”的素养服务，为实施素质教育服务，为数学教材的改革提供一些生动的科学的第一线的现实素材。但在应用题改革实践中也存在如:应用题素材缺乏，科研型教师改革的意识、思路、规律等向其他教师的传输等问题。在今后的改革实践中将更注意此方面问题。 2(数学应用题内容改革与问题解决的模式探讨 64 改革后的数学应用题内容，必定伴随它的教学实践。怎样使教学模式与应用题内容紧密联系也成了我们思考的问题。我们设想的教学模式基本程序是五步法:“材料——问题——假设——检验——应用”。 ——材料从学生中来 ——问题由学生发现 ——假设由学生提出 ——检验让学生操作 ——应用让学生参与 这也有待于探索和实践，在实践中检验、逐步建立可行的现代教学模式，为应用题内容改革服务，发展学生的数学素养。 参考文献: 1、《发达国家中小学数学教学大纲(一)》 人民教育出版社 94年版 2、《美国学校数学课程与评价标准》 人民教育出版社 94年版 3、《小学数学教育改革文集,,曹飞羽》 人民教育出版社 96年版 4、《小学数学教学改革的实践与探索》 中国科技出版社 2000年版 5、《小学数学教育研究》学习参考资料第二、三辑 中国科学院心理研究所 65 我国小学数学教学大纲中有关应用题内容的阐述 在我国小学数学教学大纲中出现有关应用问题的相关阐述，可以追朔到光绪二十八年(1902年)的《钦业小学堂章程》:“算学(授度量衡及时刻之计算)”，相继问世的几个大纲，教学目标很低:“以识字之民日多为成效”，“知日用之计算”，“为将来自谋生计之基本”，“以便将来寻常实业之用”，虽然有“以启人生应有之知识”这样的文字，但受当时社会条件的限制，所选择的内容也只是“自谋生计必需之知识”“宜择生活上所需者教授之”。论述简单，从略。 一、1923年《新学制课程标准纲要?小学算术课程纲要》 1922年我国仿效美国制定了新学制，1923年颁布了《新学制课程标准纲要?小学算术课程纲要》，对小学算术课程的目的和教学方法给出了详细的规定，对知识的应用有相当多的阐述: 1(小学算术课程的目的 66 1.在日常的游戏和作业里,得到数量方面的经验; 2.能解决自己生活状况里的问题, 3.能自己寻求问题的解决方法.” 2(教学方法 “宜注意从学生生活里使学生发生需要工具的动机.„家里或学校里,学生遇着的数量问题,帮他解决;并且乘机培养他的数量的基本观念;或„使学生在游戏的生活里,觉得数量级的需要,因此学习工具”，“问题以切合学生生活的为主.成人的事务,非学生所能想像的,虽是实用,也不相宜.”“方法原理的教学宜用归纳的建造,不宜用演绎的推广.” 这个大纲在学习方式上，考虑到了学生的可接受性和学习动机的激发;在学习目的上，重视实用和解决问题的方法的寻求。虽然没有出现“实际问题”或“应用问题”的称谓，但其实用性已很明确——“能解决自己生活状况里的问题”. 二、1929年《小学课程暂行标准?小学算术》 本大纲比前者有所变化，从目标上看对日常生活里的问题作了限定，是其中的“数量问题”，教学方法上仍然强调“用归纳”“切忌用演绎法”，明显的变化是对选取的教学内容分学年提出了建议。实用性更强，且选择范围由学生的日常衣食逐渐拓展。 (一)教学目标:“养成儿童解决日常生活里数量问题的实力.” (二)教学内容:在教学方法要点中“取材:第一二学年以日常衣、食,用品 67 等问题为范围;第三四学年以衣、食、住、行和学校作业,家庭经济等问题为范围;第五六学年以衣、食、住、行和学校,家庭,社会,国际等经济问题为范围;特别注重买卖找钱折扣等的练习.但须就本地情形,儿童兴趣,而随时活用.” (三)教学方法:“新的方法原理,应从实在的需要出发,先使儿童明白方法的功用,用归纳法一步一步的进行,切忌用演绎法推求.”“解决问题的计算法,不必多用伦理的分析,而须诉诸儿童的经验和常识.” 三、1952年的《小学算术教学大纲(草案)》 提出应用题及应用题类型名称，是在1952年的这个《草案》中。这份《(草案)》，是根据“对苏联大纲的内容和体系一般不做大的改动，„先搬过来，后中国化”的指导思想，采用当时苏联教材的体系编译的。教学时数“应以算术课及其课外作业的全部时间的一半左右来解答应用题.”使应用题教学得以空前加强。教学目标是“儿童在小学算术课程中应该获得„„解各种整数应用题的技能”，应用题的取材“突破”了日常生活需要的范围，加入了“必须用特殊算法来解答的应用题”。为什么如此重视应用题的教学，本大纲对应用题的作用及功能也作了明示:“解答应用题,可以帮助儿童清楚地了解四则算法及其各种应用的情况,使它们获得分析研究解答实际问题的初步技能.” 在《(草案)》最后的附注中列出的典型应用题达11种。在大纲中出现应用题类型名称的作法，应当说是学习的前苏联的作法.这种作法，对我国的应用题教学形成很大的影响。 四、1956年《小学算术教学大纲(修订草案)》 1956年的这个《修订草案》是在1952年的《草案》的基础上修订的。应用题教学的课时数没有变化;教学目标的定位仍然是解答应用题的技能。在56 68 年的大纲中,仍然将应用题与相关知识点一起排列，并列出了类型名称。 明显的变化有以下几个方面: (一)选材上有所拓展:“尽可能地反映人们的劳动生产以及我们祖国各方面的建设,但这些内容必须是儿童所能理解的.” (二)发展了应用题功能与作用:“解答应用题有很大的教育意义,通过解答应用题,可以发展儿童的思维和语言,发展他们的机智,以及培养他们确定数量间的相依关系和作出正确判断的能力.解答应用题,还可以帮助儿童清楚了解四则运算的实际意义和应用的情况,并且逐渐培养他们分析与综合方法的习惯.” (三)规定了内容的呈现形式:“解答应用题都应当跟算术四则运算的学习结合进行.” (四)教学建议更具体:“除了让儿童解答上述课本里的应用题,还应当直接从日常的生活里和当地的生产里适当地找一些为儿童所能理解的数学材料编成应用题,让他们解答.”“此外,还必须使儿童逐渐练习自己编一些课堂上解答过的应用题.” 五、1986年《全日制小学数学教学大纲》 1986年的大纲对应用题的阐述有明显的变化，最大的变化是不再列举应用题类型名称。对教学内容作了较多的删减:“传统的算术内容，大部分在日常生活和进一步学习中仍然有广泛的应用。„这些内容应当保留，而且要保证学好。从今后科学技术和生产的日益发展来看，学习过繁的四则运算、繁难应用题、繁杂的复名数化聚等，意义不大。这些内容应予删减。”提出要“要理论联系实际，要有利于学生在掌握基础知识的同时，发展智力，培养能力。”应用题教学的要求仍然是“掌握常见的一些数量关系和解答应用题的方法，能够解决一些 69 简单的问题。”在教学建议中指出:“在小学教学中，必须注意理论联系实际。”“联系实际应该有利于基础知识的教学，注意不要超越学生的接受能力，以致造成教学的困难，加重学生的负担。” 至1994年我国的大纲对应用题教学内容又作过一次调整:五年级正反比例部分只保留基本的应用题.删去其他较难的应用题.百分数的实际应用,只保留比较简单的(发芽率、合格率、利息的计算),删去其他较难的百分数的应用.不再说述。 六、《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》 在1988至2000年十余年间，《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》经过了初审稿(1988年)——试用稿(1992年)——试用修订版(2000年)三个阶段。以下对《试用修订版》(2000年)作简单介绍( 1(教学目的列出了三条，与应用有关的内容是:“能够探索和解决简单的实际问题。”较前比，对问题加了限定( 2(在应用题的选材、呈现形式、难度要求做了具体的规定:“应用题选材要注意联系学生生活实际，呈现形式多样化，除文字叙述外，还可以用表格、图画、对话等方式，适当安排一些有多余条件或开放性的问题。用算术方法解‘反叙’应用题只作为思考题。整数、小数应用题最多不超过三步;分数、百分数应用题不超过两步”,“列方程解应用题，一般直接设未知数”。 3(应用题教学的要求除了“使学生获得„„常见的一些数量关系和解答应用题的方法”，增加了“使学生初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题”。 4(应用题教学的建议:“应用题教学要注意联系学生的生活实际，在实际 70 情境中进行探索，引导学生分析数量关系，掌握解题思路。”“重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学，数学教学要„„结合他们的生活经验和已有知识设计富有情趣和意义的活动，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学。„„数学教学必须注意从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会。使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，对数学产生亲切感。„„数学教学应结合学生生活中实际问题和已有知识，使学生在认识、使用和学习数学知识的过程中，初步体验数学知识之间的联系，进一步感受数学与现实生活的密切联系。” 难度上，本大纲降低了应用题的要求;内容上，不再是限于应用题，是实际问题;教学要求上，要联系学生的生活实际和实际情境;学习方式上，为他们提供数学活动、观察和操作的机会;教学目标上，已有知识与技能、过程与方法、情感与态度“三位一体”的雏形。更为可贵的是把学生的生活经验和已有的知识做为学生学习数学的生长点，诸多亮点为2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的研制奠定了基础。 七、2001年《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》 不再设“应用题”教学单元，不再出现“应用题”这一名称。将“解决问题”作为四个总体目标之一，让数学的应用，从“题”中走出来，突出了数学与生活的联系，对数学的教育目的做了新的定位和阐释。限于篇幅，这里从略。 八、综述 1(在解答应用题的目标定位上，可以分为四个阶段:1952年以前，体现的是我国重实用的传统;1952年至1956年，是培养学生解答应用题的技能;自1986年至2000年，关注了人的发展;2001年新课程实施，重视“数学化”的过程和解决问题的策略多样化，人的综合发展。 71 2(在应用题内容上的具体要求上，1986年不再仅仅是培养学生解答应用题的技能。而是要求学生“掌握常见的一些数量关系和解答应用题的方法，能够解决一些简单的问题。”对数量关系开始关注，解决的问题也不再仅仅就是纯数学背景的“数学题”，直到2000年的大纲才有了明确的提法“能够探索和解决简单的实际问题。”2001年新课程实施以来，综合实践，专题研究，内容更综合，范围更广阔。 3(在选材内容的发展看，也可以分为三个阶段:52年以前，实用的内容，选择范围由学生的日常衣食逐渐拓展的实际问题;1952年是至2000年，联系学生生活实际的应用题。2001年新课程实施，重视问题情境的创设，问题有现实性、有意义、富有挑战性。 4(在内容的呈现上，56年以前，没有这一方面的要求，形式单一;1956年有了表述，至2000年提出了“呈现形式多样化”，表格、图画、对话等，适当安排一些有多余条件或开放性的问题。2001年新课程实施以来，形式更趣多样化，卡通，实物，走出教室，走向社会„。 5.1952年以前，应用题不分类型，1952年的作法，应当说是学习的前苏联的作法.在56年的大纲中,仍然将应用题单列。1986年的大纲有明显的变化。最大的变化是不再列举应用题类型名称。 4.由教学的建议我们可以看出当时的人们对数学学习的认识:1956年的大纲:“除了让儿童解答上述课本里的应用题,还应当直接从日常的生活里和当地的生产里适当地找一些为儿童所能理解的数学材料编成应用题,让他们解答.”由此，教学是单向传输的，儿童是处于被动的地位，儿童就是解答课本里的应用题,即使是生活中的、当地的生产中儿童能够理解的数学材料，也需要经过老师的再加工，加工成应用题，再让学生解答。让学生编题，也是编“一些课堂上解答过的应用题.”停留于模仿层面。2000年的大纲，不再抱着学生走，是“引 72 导学生分析数量关系，掌握解题思路。”“为他们提供观察和操作的机会”。伴随2001年新课程的实施，师生关系有了新的定位，“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”,终于在“最关注人”的教育界确立了“以人为本”的教育理念. 摘自《新世纪小学数学教师》2006年第1期 73