北京市通州区2010高三4月模拟考试--数学(理)

通州区高三年级模拟考试（一） 数学（理科）试卷 2010年4月 第Ⅰ卷（选择  共40分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的标号填涂在答题卡相应的位置上． 1．复数 等于 （A）             （B）             （C）         （D） 2．已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为 （A）             （B）             （C）2                （D）1 3．若函数 ，则下列结论正确的是 （A） ， 是偶函数 （B） ， 是奇函数 （C） ， 在(0,＋∞)上是增函数 （D） ， 在(0,＋∞)上是减函数 7 9         8 4 4 6 4 7 9 3                     4．图1是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选手打出 分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去掉一个最低分， 则所剩数据的平均数和方差分别为 （A）84，4.84        （B）84，1.6 图1 （C）85，4            （D）85，1.6 5．直线 与圆 交于A、B两点，O为坐标原点，若 ，则 的值为 （A）             （B） （C）             （D） 6．执行图2所示的程序，输出的结果为20， 则判断框中应填入的条件为 （A）           （B） （C）             （D） 7．用若干个大小相同，棱长为1的正方体 摆成一个立体模型，其三视图如图3，则 此立体模型的表面积为 （A）24              （B）23 （C）22                （D）21 8．对于集合 、 ，定义 图3 ， ．设 ， ，则 为 （A）                     （B） （C）                     （D） 第Ⅱ卷（非选择题  共110分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．圆的参数方程 （ 为参数）化成普通方程为              ． 10．在 中，若 ， ， ，则         ． 11．设向量 ， ，若 与 垂直，则实数           ．  12．如图4，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点， 割线PCD经过圆心，已知 ， ， PO=12，则⊙O的半径为          ． 图4 13．已知 是R上的 增函数，则 的取值范围是          ． 14．已知数列 满足 ， ，则           ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数 ． （I）求 的最小正周期； （II）若 ，求 的最大值与最小值的和． 16．（本小题满分13分） 如图5，在底面是矩形的四棱锥 中， ， 、 分别是 、 的中点， ， ． （I）求证： ∥平面 ； （II）求证：平面 平面 ； 图5 （III）求二面角 的余弦值． 17．（本小题满分13分） 设不等式组 确定的平面区域为U， 确定的平面区域为V． （I）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U内 任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在 区域V的概率； （II）在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列及其数学期望． 18．（本小题满分13分） 已知函数 ． （I）求 的单调区间； （II）求 在 上的最大值． 19．（本小题满分14分） 已知抛物线 与直线 交于A、B两点，O为坐标原点． （I）当k=1时，求线段AB的长； （II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程； （III）设 是该抛物线的准线．对于任意实数k， 上是否存在点D，使得 ？如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由．  20．（本小题满分14分） 已知数列 的前 项和 ，且 ． （I）求 ； （II）求证：数列 是等差数列； （III）试比较 与 的大小，并说明理由． 通州区2010年高三数学（理）第一次模拟练习 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B Ｃ A D D B C A                   二、9． ，  10．３，  11． ，  12．8，  13． ，  14． ． 三、15．（Ⅰ） 2分 4分 ∴ 的最小正周期 ．                                            6分 （Ⅱ）当 时，                                       8分 当 ，即 时， 取得最大值 ；                  10分 当 ，即 时， 取得最小值 ．      12分 ∴当 时， 最大值与最小值的和为 ．          13分 16．解：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ∴ ， ， ， ， ， ， ， ．                                                              3分 （Ⅰ）∵ ∴ ∥ ，即 ∥ ， 又 平面 ， 平面 ， ∴ ∥平面 ．                                                        6分 （Ⅱ）∵ ， ， ∴ ，即 ． 又 ， ∴ ． ∵ ， ∴平面 ．                                                   9分 （Ⅲ）设平面 的一个法向量 ，则 ∴ ，即 ，解得平面 的一个法向量 ． 而平面 的一个法向量是 ，设二面角 为 ，则 ． 即二面角 的余弦值为 ．                                          13分 17．解：（Ⅰ）由题意，区域Ｕ内共有 个整点，区域Ｖ内共有 个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域Ｖ的概率为 ，则 ．                6分 （Ⅱ）区域U的面积为8，区域V的面积为4， ∴在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为 ．                        8分 X的取值为0，1，2，3．              9分 ， ， ， ．                                              11分 ∴Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ 3           ．                                      13分 18．解：（Ⅰ）                     2分 令 ，∵                                                     3分 ∴ ， 解得 ．                                                            4分 ∴ 在 和 内是减函数，在 内是增函数．                  6分 （Ⅱ）①当 ，即 时， 在 内是减函数． ∴在 上 ；                                              8分 ②当 ，即 时， 在 内是增函数，在 内是减函数． ∴在 上 ；                                        10分 ③当 ，即 时， 在 是增函数． ∴在 上 ．                                            12分 综上所述，当 时， 在 上的最大值为 ；当 时， 在 上的最大值为 ；当 时， 在 上的最大值为 ．                13分 19．解：设点 、 分别为 、 ，由题意得 ， ∴ ，                        　         １分 ∴ ， ．                      　  2分 ∴ ， ．                            　  ３分 （Ⅰ）当 时， ， ， ， ． ∴                           　  4分 ．                　     ６分 （Ⅱ）设线段 中点 的坐标为 ，则当 变化时， ，                　            　 　  7分 消去 ，得 ． 即点 的轨迹方程为 ．                    　  ９分 （Ⅲ）抛物线 的准线 的方程为 ．            10分 假设在 上存在一点 ，使 ，则                11分 ， ．                12分 令 ，            13分 得   　① 将 ， ， ， 代入①式，整理得 ，即 ， ∴ ． ∴对于任意实数 ，在 上存在点 ，使得 ．                14分 20．（Ⅰ）解：∵ ， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ．                                                      3分 （Ⅱ）证明：当 时，                               4分 当 时， ， ∴ ，                                            5分 ∴ ， ∴ ， 即 ．                                                ７分 ∴数列 是首项为１，公差为１的等差数列．                          8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ， ∴ ， 又已知 ， ∴ ， ．                                      10分 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，                                      12分 ∴ 13分 ∵当 时， ，即 ， ∴ ． 即 ．                                    14分