离散数学课后习题答案左孝凌版

（1） 解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （2） 解： a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d) P→┓Q （3） 解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q  b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。PQ f) 设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a) P:天气炎热。Q:正在下雨。  P∧Q b) P:天气炎热。R:湿度较低。  P∧R c) R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d) A:刘英上山。B:李进上山。  A∧B e) M:老王是革新者。N:小李是革新者。  M∨N f) L:你看电影。M:我看电影。  ┓L→┓M g) P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。  P∧Q∧R h) P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） b) 是合式公式 c) 不是合式公式（括弧不配对） d) 不是合式公式（R和S之间缺少联结词） e) 是合式公式。 （2）解：  a） A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为： A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b） A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c） A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d） A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解： a） ((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b） ((B→A)∨(A→B))。 （4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P→(Q→P)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S. （5）解： a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P  Q b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。  (P∧Q)→R c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q) d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(QR) （6）解： P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主张：(P∧Q∧R) S 后来主张：(P∧QS)∧(S→R) 这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。 （7）解： a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S)) b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P 1-4 （4）解：a) P Q R Q∧R P∧(Q∧R) P∧Q (P∧Q)∧R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F           所以，P∧(Q∧R) (P∧Q)∧R b) P Q R Q∨R P∨(Q∨R) P∨Q (P∨Q)∨R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F 　F　 Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ　 Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ           所以，P∨(Q∨R) (P∨Q)∨R　 ｃ） Ｐ　Ｑ　Ｒ Ｑ∨Ｒ Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ） Ｐ∧Ｑ Ｐ∧Ｒ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ） Ｔ　Ｔ　Ｔ Ｔ　Ｔ　Ｆ Ｔ　Ｆ　Ｔ Ｔ　Ｆ　Ｆ Ｆ　Ｔ　Ｔ Ｆ　Ｔ　Ｆ Ｆ　Ｆ　Ｔ Ｆ　Ｆ　Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ             所以，P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R)　 ｄ） P Q ┓P ┓Q ┓P∨┓Q ┓(P∧Q) ┓P∧┓Q ┓(P∨Q) T T T F F T F F F F T T F T F T F T T T F T T T F F F T F F F T               所以，┓(P∧Q) ┓P∨┓Q,  ┓(P∨Q) ┓P∧┓Q （5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6 T T T T F T T F F T T F F F T F F F T F T T F F T T F T F F F T F T T F F T T T F F T T F F T F T F F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T T                   F1:(Q→P)→R  F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R) F3:(P←→Q)∧(Q∨R) F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R) F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R) F6:┓(P∨Q∨R) (6) P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T T T F F F F F T T T T F F F F T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T                                     解：由上表可得有关公式为 1.F     2.┓(P∨Q)      3.┓(Q→P)       4.┓P 5.┓(P→Q)   6.┓Q    7.┓(PQ)     8.┓(P∧Q) 9.P∧Q     10.PQ     11.Q       12.P→Q 13.P       14.Q→P      15.P∨Q        16.T (7) ： a) A→(B→A) ┐A∨(┐B∨A) A∨(┐A∨┐B) A∨(A→┐B) ┐A→(A→┐B) b) ┐(AB) ┐((A∧B)∨(┐A∧┐B)) ┐((A∧B)∨┐(A∨B)) (A∨B)∧┐(A∧B) 或 ┐(AB) ┐((A→B)∧(B→A)) ┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)) ┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)) ┐((┐A∧┐B)∨(B∧A)) ┐(┐(A∨B))∨(A∧B) (A∨B)∧┐(A∧B) c) ┐(A→B) ┐(┐A∨B)  A∧┐B  d) ┐(AB)┐((A→B)∧(B→A)) ┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)) (A∧┐B)∨(┐A∧B) e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D))) (┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D)) (┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D) (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D ((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D ((C∧(AB))→D) f) A→(B∨C)  ┐A∨(B∨C)  (┐A∨B)∨C   ┐(A∧┐B)∨C    (A∧┐B)→C  g) (A→D)∧(B→D)(┐A∨D)∧(┐B∨D) (┐A∧┐B)∨D ┐(A∨B)∨D (A∨B)→D h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C)) (┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C (┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ((A∨┐D)∧B)→C (B∧(D→A))→C （8）解： a) ((A→B) (┐B→┐A))∧C ((┐A∨B) (B∨┐A))∧C ((┐A∨B) (┐A∨B))∧C T∧C C b) A∨(┐A∨(B∧┐B)) (A∨┐A)∨(B∧┐B) T∨F T c) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C) (A∨┐A) ∧(B∧C) T∧(B∧C) B∧C （9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨CB∨C，但AB不成立。 2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧CB∧C，但AB不成立。 3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。   1-5 （1） 证明： a) (P∧(P→Q))→Q  (P∧(┐P∨Q))→Q   (P∧┐P)∨(P∧Q)→Q   (P∧Q)→Q ┐(P∧Q)∨Q  ┐P∨┐Q∨Q  ┐P∨T T b) ┐P→(P→Q)  P∨(┐P∨Q) (P∨┐P)∨Q  T∨Q T c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) 因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R) 所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。 d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ((a∨c)∧b)∨(c∧a) ((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) (a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a) 所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。 （2） 证明： a)(P→Q)P→(P∧Q)   解法1： 设P→Q为T  （1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T （2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T 命题得证 解法2： 设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。 解法3： (P→Q) →(P→(P∧Q))