2006年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数 学
本试卷分选择
和非选择题两部分..共4页,满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型(B)涂黑。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在
卷上.
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
第一部分 选择题(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
的
1、函数
的定义域是
A.
B.
C.
D.
2、若复数
满足方程
,则
A.
B.
C.
D.
3、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.
B.
C.
D.
4、如图1所示,
是
的边
上的中点,则向量
A.
B.
C.
D.
5、给出以下四个命题:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
7、函数
的反函数
的图像与
轴交于点
(如图2所示),则方程
在
上的根是
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、已知双曲线
,则双曲线右支上的点
到右焦点的距离与点
到右准线的距离之比等于
A.
B.
C. 2 D. 4
9、在约束条件
下,当
时,目标函数
的最大值的变化范围是
A.
B.
C.
D.
10、对于任意的两个实数对
和
,规定:
,
当且仅当
;运算“
”为:
;运算“
”为:
,设
,若
,则
A.
B.
C.
D.
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.
11、
________.
12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的
面积为______.
13、在
的展开式中,
的系数为________.
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第
堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第
堆第
层就放一个乒乓球,以
表示第
堆的乒乓球总数,则
;
(答案用
表示).
三解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本题14分)已知函数
.
(
)求
的最小正周期;
(
)求
的的最大值和最小值;
(
)若
,求
的值.
16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数
的分布如下:
7
8
9
10
0
现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为
.
(
)求该运动员两次都命中7环的概率
(
)求
的分布列
(
) 求
的数学期望
.
17、(本题14分)如图5所示,
、
分别世
、
的直径,
与两圆所在的平面均垂直,
.
是
的直径,
,
.
(
)求二面角
的大小;
(
)求直线
与
所成的角.
18、(本题14分)设函数
分别在
处取得极小值、极大值.
平面上点
的坐标分别为
、
,该平面上动点
满足
,点
是点
关于直线
的对称点.求
(
)求点
的坐标;
(
)求动点
的轨迹方程.
19、(本题14分)已知公比为
的无穷等比数列
各项的和为9,无穷等比数列
各项的和为
.
(
)求数列
的首项
和公比
;
(
)对给定的
,设
是首项为
,公差为
的等差数列,求
的前10项之和;
(
)设
为数列
的第
项,
,求
,并求正整数
,使得
存在且不等于零.
(注:无穷等比数列各项的和即当
时该无穷等比数列前
项和的极限)
20、(本题12分)
是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合:
对任意的
,都有
;
存在常数
,使得对任意的
,都有
.
(
)设
,证明:
(
)设
,如果存在
,使得
,那么这样的
是唯一的;
(
) 设
,任取
,令
,
,证明:给定正整数
,对任意的正整数
,成立不等式
2006年高考数学参考答案广东卷(B)
第一部分 选择题(50分)
1、解:由
,故选B.
2、由
,故选D.
3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
4、
,故选A.
5、①②④正确,故选B.
6、
,故选C.
7、
的根是
2,故选C
8、依题意可知
,
,故选C.
9、由
交点为
,
(1) 当
时可行域是四边形OABC,此时,
(2) 当
时可行域是△OA
此时,
故选D.
10、由
得
,
所以
,故选B.
第二部分 非选择题(100分)
二、填空题
11、
12、
13、
所以
的系数为
14、
10,
三、解答题
15解:
(Ⅰ)
的最小正周期为
;
(Ⅱ)
的最大值为
和最小值
;
(Ⅲ)因为
,即
,即
16解:(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为
;
(Ⅱ)
的可能取值为7、8、9、10
分布列为
7
8
9
10
P
0.04
0.21
0.39
0.36
(Ⅲ)
的数学希望为
.
17、解:(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角,
依题意可知,ABCD是正方形,所以∠BAD=450.
即二面角B—AD—F的大小为450;
(Ⅱ)以O为原点,BC、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,
,0),B(
,0,0),D(0,
,8),E(0,0,8),F(0,
,0)
所以,
设异面直线BD与EF所成角为
,则
直线BD与EF所成的角为
18解: (Ⅰ)令
解得
当
时,
, 当
时,
,当
时,
所以,函数在
处取得极小值,在
取得极大值,故
,
所以, 点A、B的坐标为
.
(Ⅱ) 设
,
,
,所以
,又PQ的中点在
上,所以
消去
得
19解: (Ⅰ)依题意可知,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
,所以数列
的的首项为
,公差
,
,即数列
的前10项之和为155.
(Ⅲ)
=
=
=
,
,
=
当m=2时,
=-
,当m>2时,
=0,所以m=2
20、解:对任意
,
,
,
,所以
对任意的
,
,
,所以0<
,令
=
,
,
所以
反证法:设存在两个
使得
,
则
由
,得
,所以
,矛盾,故结论成立。
,所以
+…
2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答
一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
=
A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1} C.{x|-1<x<1} D.{x |x≥-1}
【解析】
,故
,选(C).
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=
A.-2 B.
C.
D.2
【解析】
,依题意
, 选(D).
3.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数
【解析】函数
单调递减且为奇函数,选(B).
4.若向量
满足
,
与
的夹角为
,则
A.
B.
C.
D.2
【解析】
,选(B).
5.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达 丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是
【解析】依题意的关键字眼“以80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C).
6.若
是互不相同的空间直线,
是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是
【解析】逐一判除,易得答案(D).
7.图l是某县参加2007年高考的学 生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为4,、A:、…、A,。(如A:表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法
图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6
【解析】身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数为
,算法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).
8.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
【解析】随机取出2个小球得到的结果数有
种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为
共3种,故所求答案为(A).
9.已知简谐运动
的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相
分别为
【解析】依题意
,结合
可得
,易得
,故选(A).
10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给
A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将
A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,
但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少
的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为
A.18 B.17 C.16 D.15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设
的件数为
(规定:当
时,则B调整了
件给A,下同!),
的件数为
,
的件数为
,
的件数为
,依题意可得
,
,
,
,从而
,
,
,故调动件次
,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值为16,故选(C).
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