暨南大学09-10高数上答案

暨南大学09-10高数上答案 一, 1.C 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B 二, 1. 0 2. 1/2 3. 1 12334. fxxxxox()(),，，，2 100sinx5. ,6. . 4 三, 22nn111,,,，，，,n1.解:由于 ( 2 分) ,,22222,,,,,nnnnnnn，，，，，2,, 22n1n1 且 , , ( 1 分) ,,,,limlim1limlim122,,nn,,,,nn,,,,,，，,n1，，nn12nn 由夹逼定理可知 111,,nlim1，，，, ( 1 分) ,,222n,,,,,nnnn，，，2,, 11tanx,x,,解lim,,lim2. ( 1 分) ,,23x,0x,0xtanxxx,, 22secx1tanx1,limlim ( 3 分) ,,,22x,x,0033x3x 122x,03. 解:由于 () 11，,xx2 x2x2x2exsinexsinexsin11lim2lim2x2x2，,,11xx0x22，,11x,exsinx02 ( 4 分) lim(1sin)，,,,exeee,x0 14. 解:令 , 则 t,x t1x,，ln(1)t1t，，1(1)，,te,,1，tt ( 2 分) lim1limlim(1)，,,,，xet,,,,2,,,,xtt00xtt,,,,，， 11,2，，tt(1)1e =lim ( 1 分) t,0t2 ,11ee =lim,, ( 1 分) 2t,0t2(1)2， ,dyy(t)5. 解: ( 2 分) ,,tsint,,dxx(t) 2,dy(tsint),,sinttant，tsint. ( 2 分) 2,x(t)dx xxarctanee,,xxx,,，darctanxeeedx6. 解: ( 1 分) 2xx,,，ee1 2xe,xx,，,arctan(1) =eedx ( 1 分) 2x,1，e 1,xxx2 = ( 2 分) ,，,，，eeteCarctanln(1)2 7. 解: ,,,,22421sin2d|sincos|d(cossin)d(sincos)d,,,,,，,xxxxxxxxxxx ,,,,,0004 ( 2 分) ,,42 == ( 2 分) 2(21),(sincos)|(cossin)|xxxx，，,,0,4 t1,2x2dxdt,te,,18. 解:令 , 则 , , xt,,,ln(1)21,t2 332ln2t1,x222,,,,，1d(1)exdtdt ( 2 分) 22,,,000,,11tt 32,,,113t = ( 2 分) ,,,,,,tlnln(23),,212t，,,0 四, 2yxa''62,，1. 解:由于 , , 由已知条件可得以下方程组 yxaxb'32,，， 13，，，,abc, , 1240，，,ab, ,620，,a, 解得 a=-3, b=0, c=5. ( 2 分) 2y'0, 由于 , 令 , 解得 x=0, 2 yxx'36,, yx''66,, 由于, 解得 x=1. 列: (,0),,(0,1)(1,2)(2,), x 0 1 2 y’ + 0 0 + ,, y’’ 0 + + ,,, Y 5 3 1 凸 凸 凹 凹 (极大) (拐点) (极小) ( 2 分) 图形略. ( 2 分) 22. 解:设切线过抛物线上的点 , 切线方程是 Maa(,1), 2 ( 1 分) yaaxa,,,,,(1)2() 22a，1A(,0), 它与两坐标轴的交点分别是 ,围成的面积 Ba(0,1)，2a 12222(1)(1)aa，，212Saxx()(1)d,,,,, ( 1 分) aa2243,0 221,Saaa()(1)(31),，,, 则 ( 1 分) 2a4 , 得到在 [0, 1] 上的唯一驻点 ( 1 分) 令Sa()0,,3a,3 3 当 a,,,Sa()0,3 3 当 ( 1 分) ,a,,Sa()0,3 3 且为最小点, 故所求切线方程是 因此是在上的唯一极小点aSa,()[0,1],3 234yx,,， ( 1 分) 33 五, 1. ( 1 分) 设 FxfxxFx()(), () [0,1] 01,,则 在 上连续，在(，)内可导， 11111,,,,,,,,,,,,,分 (1)(1)10,0, (2 ) FfFf,,,,22222,,,, 1,,,,由介值定理，，，使分，,,1()0. (1 ) F11,,2,, 又，由罗尔定理，，使 (0)0 (0,)(0,1)F,，,,,,1 ( 2 分) ,, ()0()1.Ff,,，即 ,, xxax，2. 证: 设 ( 1 分) ,()()()xsfsdsfsds,,,,aa2 xax，1 则 ,'()()()()xxfxfxfsds,,,,a22 xaxa,,,,(,)ax (积分中值定理 ) ( 2 分) fxf()(),,,22 fx(),'()0x,xab,(,) 由于 在 [a, b] 上单调增加, 从而 , , ( 1 分) ,()0a,,()x又由于 , 在 [a, b] 上连续, 则 ,,()()0xa,, , ( 1 分) bbab，,()0b, 特别有 即 ( 1 分) ()()xfxdxfxdx,,,aa2