球体体积公式的推导

球体体积公式的推导 1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的 R平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r、r、r、…r 123nn 由相交弦定理得 1RR222 r = ?(2R—) = R(—) , 12nnnn 22，222R2R22r = ?(2R—) = R(—) ,， 22nnnn 222，33R3R22r = ?(2R—) = R(—)， 32nnnn ………………… 22nnnRnR22 r = ?(2R— ) = R ?( — ) n2nnnn 332322，223R1RR2，32 ?V = 兀?(—)+兀?(—)+兀?(—)…… 半球222nnnnnnnnn 322nnR+兀?( — ) 2nnn 32222，22n22nR2，312 =兀?(+++……+ ————……—) 2222nnnnnnnnn 222231，2，3，,,,，n1，2，3，,,,，nR =兀?(2×—) 2nnn 3，，，，Rn2n，1n，11 =兀?〔n + 1—?〕 2n6n ，，，，n，12n，1n，113 =兀R 〔 —?〕 2n6n 24n，3n,13 =兀R ? 26n 1123 =兀R ?(+) ,232n6n 11 当n趋近于?时， = 0， = 0， 22n6n 23所以V = 兀R( + 0 + 0 ) 半球3 23 = 兀R 3 43 V = 兀R。 球体体积3