高等数学教案

高等数学 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术;信息管理与信息系统两个专业 的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心 课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”， “常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运 算;同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑 推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼 于提高学生的数学素质，培养学生用数学的去解决实际问的 意识、兴趣和能力。 第一章:函数与极限 教学目的与 18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。 第一节:映射与函数 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称 第- 1 –页 为该集合的元素 表示方法:用A，B，C，D表示集合;用a，b，c，d表示集合中的元素 A,{a,a,a,？？}1) 123 2) A,{xx的性质P} 元素与集合的关系: a,Aa,A 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集;不是有限集的集合称为无限集。 +常见的数集:N，Z，Q，R，N 元素与集合的关系: A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。 A,B 如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作 A,B若作且则称A是B的真子集。 A,BA,B 空集,: ,,A 2、 集合的运算 A,B,{x|x,A或x,B}并集 : A,B A,B,{x|x,A且x,B}交集 : A,B A\B,{x|x,A且x,B} 差集 : A\B CA全集I 、E 补集: 集合的并、交、余运算满足下列法则: 交换律、 A,B,B,AA,B,B,A 第- 2 –页 结合律、 (A,B),C,A,(B,C) (A,B),C,A,(B,C) 分配律 (A,B),C,(A,C),(B,C) (A,B),C,(A,C),(B,C) ccccccA,B),A:B(A,B),A,B对偶律 ( 笛卡儿积A×B,{(x,y)|x,A且y,B} 3、 区间和邻域 开区间 (a,b) ,,a,b闭区间 ，，,,a,ba,b半开半闭区间 有限、无限区间 邻域:U(a) U(a,,),{xa,,,x,a，,} a 邻域的中心 邻域的半径 , , 去心邻域 U(a,,) 左、右邻域 二、映射 1. 映射概念 f定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中 xf的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，y f则称为从X到Y的映射，记作 第- 3 –页 f:X,Y x其中 称为元素的像，并记作，即 f(x)y,f(x)y 注意:1)集合X;集合Y;对应法则 f 2)每个X有唯一的像;每个Y的原像不唯一 3) 单射、满射、双射 2、 映射、复合映射 三、函数 1、 函数的概念: 定义:设数集，则称映射为定义在D上f:D,RD,R 的函数 记为 y,f(x)x,D 自变量、因变量、定义域、值域、函数值 用f、、 g, 函数相等:定义域、对应法则相等 自然定义函数;单值函数;多值函数、单值分枝. 例:,) ,,, 2) ,, x1x,0, ,y,0x,0,3) 符号函数 ,,1x,0, ,,y,x4) 取整函数 (阶梯曲线) ,2x0,x,1y,5) 分段函数 ,1，xx,1, 2、 函数的几种特性 第- 4 –页 1) 函数的有界性 (上界、下界;有界、无界) 有界的充要条件:既有上界又有下界。 注:不同函数、不同定义域，有界性变化。 2) 函数的单调性 (单增、单减)在x、x点比较函数值 12 f(x)与f(x)的大小(注:与区间有关) 12 3) 函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定) f(x)f(,x) 图形特点 (关于原点、Y轴对称) 4)函数的周期性(定义域中成立:) f(x，l),f(x)3、 反函数与复合函数 ,1f(y),x 反函数:函数f:D,f(D)是单射，则有逆映射，称此映 ,1f射为f函数的反函数 函数与反函数的图像关于对称 y,x 复合函数:函数u,g(y)定义域为D，函数y,f(x)在D上有定义、1 f(D),D且。则u,g(f(x)),g,f(x)为复合函数。(注意:构成1 条件) 4、 函数的运算 和、差、积、商(注:只有定义域相同的函数才能运算) 5、 初等函数: axy,xy,a1) 幂函数: 2)指数函数: y,log(x) 3) 对数函数 a 4)三角函数 第- 5 –页 y,sin(x),y,cos(x),y,tan(x),y,cot(x) 5) 反三角函数 y,arcsin(x)y,arccos(x)， y,arctan(x)y,arccot(x) 以上五种函数为基本初等函数 6) 双曲函数 x,xx,xe，ee,echx, shx, 22 x,xshxe,ethx,, x,xchxe，e 注:双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数 sh(x，y),shx,chy，chx,shy sh(x,y),shx,chy,chx,shy ch(x，y),chx,chy，shx,shy ch(x,y),chx,chy,shx,shy y,arshx y,archx反双曲函数: y,arthx 作业: 同步练习册练习一 第二节:数列的极限 一、数列 第- 6 –页 数列就是由数组成的序列。 1)这个序列中的每个数都编了号。 2)序列中有无限多个成员。 aaaa？？a？？一般写成: 1234n ,,u缩写为 n 1,,,,x例 1 数列是这样一个数列，其中 ,,nn,, 1 ， ,n,1,2,3,4,5？？？xnn 也可写为: 1111 1？？？？2345 可发现:这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为 1 lim,0n,,n 1、 极限的定义: ,,N ,,x则称数列的极限,,,0，N,n,Nx,a,,nn a为，记成 limx,an,,n 也可等价表述: ,,,0，N,n,N,(xa),,1) n ,,,0，N,n,Nx,O(a,) 2) n 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没 有关系。 第- 7 –页 二、收敛数列的性质 ,,x定理1:如果数列收敛，那么它的极限是唯一 n ,,,,xx定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界 nn定理3:如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，limx,an,,x x,0(x,0) nn {x}定理4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。 n 第三节:函数的极限 一、极限的定义 x1、在点的极限 0 xx1)可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在有没有定义，00 f(x)以及函数值的大小。只要满足:存在某个,,0使:0 。 (x,,,x),(x,x，,),D0000 xx2)如果自变量趋于时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----0 以某个实数为极限 ，则记为 :limf(x),A。 Ax,x0形式定义为: ,,,0,，,,,x(0,x,x,,)f(x),A,, 0注:左、右极限。单侧极限、极限的关系 x,,2、的极限 第- 8 –页 设:如果当时函数值 有一个总趋势------该y,f(x)x,(,,,，,) ,曲线有一条水平渐近线-----则称函数在无限远点有极限。记为:y,Alimf(x),A x,, , 在无穷远点的左右极限: f(，,),limf(x) x,，, f(,,),limf(x) x,,, 关系为: limf(x),A,limf(x),A,limf(x) x,,x,，,x,,, 二、函数极限的性质 1、 极限的唯一性 2、 函数极限的局部有界性 3、 函数极限的局部保号性 4、 函数极限与数列极限的关系 第四节:无穷小与无穷大 一、无穷小定义 ,,x定义:对一个数列，如果成立如下的命题: n ,,,0,，N,,n,N,x,, 则称它为无穷小量，即nlimx,0 nx,, ,，,注: 1、的意义; ,(0,x),,2、可写成; x,,x,0,,nnn , 3、上述命题可翻译成:对于任意小的正数，存在一个号码 第- 9 –页 nxN，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这n个给定的,还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。 x,x，，定理1 在自变量的同一变化过程(或中，函数fxx,,)0 ,具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。 f(x),A，, 二、无穷大定义 ,,x 一个数列，如果成立: n ,G,0,，N,,n,N,x,G那么称它为无穷大量。记成:n limx,,。 nx,, ,G,0,，N,,n,N,x,G 特别地，如果，则称为正无穷大，记n 成limx,，, nx,, ,G,0,，N,,n,N,x,,G特别地，如果，则称为负无穷大，n limx,,,记成 nx,, 注:无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系 1f(x)定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则f(x) 1f(x)f(x),0为无穷小;反之，如果为无穷小，且则为无穷大 f(x) x,0即:非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系:当时:有 n 1lim0lim,,,, x,,x,,xn 第- 10 –页 1lim,,,lim,0 x,,x,,xn 注意是在自变量的同一个变化过程中 第五节:极限运算法则 1、无穷小的性质 ,,,,xy设和是无穷小量于是: nn (1)两个无穷小量的和差也是无穷小量: limx,0limy,0,lim(x,y),0 nnnnx,,x,,x,, ,,c,x (2)对于任意常数C，数列也是无穷小量: n limx,0,lim(c,x),0 nnx,,x,, ,,x,y(3)也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小nn 量。 limx,0limy,0,lim(x,y),0 nnnnx,,x,,x,, (4)也是无穷小量: ,,xn limx,0,limx,0 nnx,xx,x00 (5)无穷小与有界函数的积为无穷小。 2、函数极限的四则运算 xf1、 若函数和在点有极限，则 g0 lim(f(x)，g(x)),limf(x)，limg(x) x,xx,xx,x000 xaf2、 函数在点有极限，则对任何常数成立 0 lim(a,f(x)),a,limf(x) x,xx,x00 第- 11 –页 x3、若函数和在点有极限，则 fg0 lim(f(x),g(x)),limf(x),limg(x) x,xx,xx,x000 limg(x),,,0x3、 若函数和在点有极限，并且，fg0x,x0 则 limf(x),,,f(x)x,x0,,lim,, ,,x,x0g(x)limg(x),,,x,x0 x极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限 fg0例:求下述极限 2x,3x,3lim lim22x,1x,3x,5x，4x,9 232323x,2x,13x，4x，2 2x,x，5limlimsinx3232limx,,x,,7x，5x,32x,x，5lim2x,,x,,3x,2x,1x 4、 复 合函数的极限运算法则 y,f[g(x)}y,f(u)u,g(x)定理6 设函数是由函数与复合而成， xf[g(x)]在点的 某去心邻域内有定义，若limg(x),u， 00x,x0 0 ,,0limf(u),A，且存在，当时，有 x,u(x,,)000u,u0 g(x),u，则 0 limf[g(x)],limf(u),Ax,xu,u00 第- 12 –页 第六节:极限存在准则 两个重要极限 ,,,,,,zxy 定理1 夹逼定理 :三数列、和，如果从某个号码起成nnn ,,,,x,y,zzx立:1)，并且已知和收敛， nnnnn limx,a,limz2)，则有结论: nn,,,,xx limy,a n,,x 定理2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛;单调减少有下界的数列一定收 敛。 xsinlim,1例:证明: x,0x tanx1,cosxlimlim例: 2x,0x,0xx xarcsinlim x,0x 11xxlim(1，)lim(1,)证明:有界。求 的极限 ,,,,xxxx 第- 13 –页 第七节:无穷小的比较 定义:若,,,为无穷小 , lim,0, ,lim,,, ,且 lim,,0c, ,lim,,0cK, ,lim,1, ,,高阶、低阶、同阶、 k阶、等价, 第- 14 –页 1、 若为等价无穷小则 ,,,,,,，,(,) 1,11,,2、 若, 、,且存在， ,,lim1, 1,,lim,lim1,则: , tan2xsinxlim例: lim 3x,0x,0sin5xx，3x 123(1，x),1lim x,0cosx,1 第八节:函数的连续性与间断点 一、 函数在一点的连续性 xf(x)函数f在点连续，当且仅当该点的函数值 、左极限00f(x,0)f(x，0)与右极限三者相等: 00 f(x,0),f(x),f(x，0) 000 xf或者:当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。 0 limf(x),f(x) 其形式定义如下: 0x,x0 ,,,0，,,x(x,x,,)f(x),f(x),,00 函数在区间(a,b)连续指:区间中每一点都连续。 第- 15 –页 函数在区间,a,b,连续时装意端点。 注:左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 二、间断点 f(x,0),f(x),f(x，0) 若:中有某一个等式不成立，就间断，000 分为: 1、 第一类间断点: f(x，0),f(x,0) 00 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 f(x,0)f(x，0)x2 、第二类间断点:左极限与右极限两者000 之中至少有一个不存在 例:见教材 第九节:连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 limf(x),f(x)limg(x),g(x)1.且， 00x,xx,x00 ,,lim,,f(x)，,,g(x),,,f(x)，,,g(x) ,00x,x0 limf(x),f(x)limg(x),g(x)2且， 00x,xx,x00 ,,limf(x),g(x),f(x),g(x) ,00x,x0 limf(x),f(x)3. 且， limg(x),g(x),000x,xx,x00 第- 16 –页 f(x)f(x)0,lim ,x,x0g(x)g(x)0 f:y,f(x)x,D 反函数连续定理:如果函数是严格单调增加f ,1,1f(减少)并且连续的，则存在它的反函数:并x,f(y)y,Df ,1f且也是严格单调增加(减少)并且连续的。 注: 1)反函数的定义域就是原来的值域。 2)通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成 ,1y,f(x)x,D ,1f 复合函数的连续性定理: ,,D 设函数f和满足复合条件，若函数在点x连续;gg0gf g(x),uxu，又若f函数在点连续，则复合函数f,g在点连续。 0000 注:复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换: limf(g(x)),f(limg(x)) x,xx,x00 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且:初等函数在其定义区间内连续。 第十节:闭区间上连续函数的性质 一、 最大、最小值 y,f(x),x,D设函数:在上有界，现在问在值域 ,,D,yy,f(x),x,D 1 x,D中是否有一个最大的实数,如果存在，譬如说它是某个点的函数0 第- 17 –页 y,f(x)值 ，则记叫做函数在D上的最大值。 ,,y,maxf(x)000x,D Dx,D 类似地，如果 中有一个最小实数，譬如说它是某个点的f2f ,,y,minf(x)y,f(x)函数值，则记称为函数在上的最小222x,Df 值 。 二、有界性 ,,,,有界性定理:如果函数在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有f 界。 三、零点、介值定理 ,,a,b最大值和最小值定理:如果函数 f在闭区间上连续则它在,,a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得 ,, ,,f(,),f(x),f(,),x,a,b 亦即 ,,f(,),maxf(x),,f(,),minf(x) ,,x,a,bx,,,a,b f(x),0 若x使，则称x为函数的零点 000 零点定理: ,,,,a,ba,bff如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点 f(a)*f(b),0,,(a,b)f(,),0异号:则至少有一个零点，使 中值定理: ,,,,a,ba,bff如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大 第- 18 –页 值 和最小 值 之间的任何一个中间值。 作业:见课后各章节练习。 第二章 导数与微分 教学目的与要求 22学时 1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会 求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义， 会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间 的的关系。 2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练 掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和 一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会 求反函数的导数。 0一、导数概念() 0 第- 19 –页 ,y/1、定义 f(x),lim0,x,x,0 f(x，,x),f(x)00,lim ,x,x,0 f(x),f(x)0,limx,xx,x00 f(x，,x),f(x)/ f(x),lim,x,x,0 左导数 ，,,,f(xx)f(x)f(x)f(x)/000 ,,f(x)limlim-,-,xx-x,,,xxx000右导数 f(xx)f(x)f(x)f(x)，,,,/000 f(x)limlim,,，，，xx-x,,xx,,x000 ///? f(x),A,f(x),f(x),A0-0，0可以证明: 可导?连续。即可导是连续的充分条件。 连续是可导的必要条件。 左右导数(注:与左右极限关系) 2、导数的几何意义 ，，，，y,fxx,y曲线 在点处切线: 00 / ，，，，y,y,fxx,x000 1,例1:讨论xsinx,0在x=0处可导性 ,f(x),x,0 x,0,, 1解:? limf(x),limxsin,0,f(0)x,0x,0x f(x) 在x = 0连续 f(x)-f(0)1f(x) 不存在 ? 在limlimsin,x-0xx,0x,0 x = 0不可导 第- 20 –页 /例2:已知存在 f(x)0 /f(x，2h)-f(x)00则 2f(x),lim0h0,h /f(x,5h)-f(x)00 ,5f(x)lim,0,h0h fxhfxh(，3),(,)00 limh,0h f(x3h)-f(x)f(xh)-f(x)，,0000= lim,h,0hh / ,4f(x)0 f(x)例3:设函数可微， 22/f(xx)-f(x)，, 则 2f(x)f(x)lim,,,x0x, 例4: 2,xx,x0, 设 f(x),,ax，bx,0,, f(x)为使在x = x 处可导，应如何选取常数a、b 0 f(x)解:首先必须在x连续 0 22 limf(x),limx,x0--,,xxxx00 limf(x),limax，b,ax，b0，，,,xxxx00 2? ax，b,x ? 0 22f(x)f(x)xx,,/00 f(x)limlim,,-,,x-xx-x,,xxxx0000 ,limx，x,2x00,,xx0 第- 21 –页 2f(x),f(x)ax，b-x/00f(x),lim,lim，，，x-xx-x x,xx,x0000 ax-ax0　　,lim,a，x-x,xx00(由?得) /? 存在 f(x)0 2 a,2x? 从而 b,,x00 /，，f0,f(x)例5: = x (x-1)(x-2)„„(x-9) , 则 ,9! f(x)-f(0)/? f(0)lim,x-0x,0 ,lim(x,1)(x,2)？？(x,9),,9!x,0 f(x)f(x)例6:设在x = 0 领域内连续，， lim,2x,01，x,1 / 则 1f(0), ? (分母?0) f(0),limf(x),0x,0 f(x)-f(0)f(x)/? f(0)limlim,,x-0xx,0x,0 f(x)1，x,11 ,lim,,2,,1x,0x21，x-1 例7:设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， / 且 (a , b ?0)， f(0),b / 问 存在否? f(1) ，,,f(1x)-f(1)af(x)-af(0)/解: ,,f(1)limlimc,,,x,0,x,0xx f(,x)-f(0)/ ,lima,,af(0),ab,,,xx0 第- 22 –页 二、导数的求法 1、显函数导数 求一个显函数的导数需解决: ?基本初等函数导数(P); 64 ?导数四则运算法则(P); 65 ?复合函数与反函数求导法则(P)。 66 定理: dydu，，，，y,fuu,,x在X有导数，在对应点u有导数， dudx ,,，，y,f,x则复合函数在X处也有导数， dydydu//。 ,,,f，，，，u,,xdxdudx /2例1: 求 y，，y,xsin2x，1 /22解: ，，，，y,sin2x，1，x,4xcos2x，1 /2例2: 求 yy,ln1，x 1212xx/解: ，，y,ln1，xy,,,22221，x1，x /例3: 求y y,arctgx 11/解: y ,,1x，2x 1arctg/xy例4: 求 y,a 解: 11arctgarctg 11lna,,/xxy,alna,,,,,a,,222,,x1，x1,,1，,,x,, /3y例5: 求 ，，y,ln2x，1 2/2解: ，，y,3ln2x，1,2x，1 第- 23 –页 /y,x，x，x例6: 求 y ，，111,,解: /y,1，,1，,,,,2x,,,,2x，x，，2x，x，x sinx/例7: 求 y,xy sinx,lnxsinx,,/sinx解: y,ey,x，cosx,lnx,,x,, xbabax/y,a，x，b例8: 求 y xba/bxba,1xa,1解: y,alna,blnb，ax，blnb,ax 2x/e例9: 求 yy,ln2xe，1 112x2x2x解: ,,，，，，y,lne,lne，1,x,lne，122 2x12e1/ y,1-,,2x2x2e，11，e 高阶导数、二阶: //2f，，，，x，,x,fxdy00 ,lim2x,x,x,,x0dx0 //fx,fx，，，，0 ,limx,xxx,00 dy/2x例10: ， 求 ，，，，fx,lnxy,fe dx 2x2x，，dydfede解: ,,2xdxdxde /2x2x ，，,fe,2e 2x2x2x ,lne,2e,4xe 第- 24 –页 先讲微分(后页) 2、隐函数导数参数方程导数 如方程F(x，y)=0确定了y=y(x)，只需方程两边对x求导，注意y=y(x) 例10:求下列隐函数的导数 /，，ysinx,cosx,y,0(1)设 求 y解: 方程两边对x求导， // ，，，，ysinx，ycosx，sinx,y,1,y,0 ycosx，sinx,y，，/ y,，，sinx,y,sinx yxy(2)设是由方程所确定的隐函数， ，，y,yxe，ln,0x，1 / 求 ，，y0 1解: 由原方程知当x=0时，， y, e 方程两边对x求导。 /1y1xy/ ，将x=0，代入得:y,，，ey，xy，,,0ey1，x 11,,1// ? ，，y0,1,，，，ey0,1,0,,eee,, y，，y,yx(3) 是由方程e，xy,e所确定的隐函数, /// 试求,。 ，，，，y0y0 解: 方程两边对x求导: y// ? ey，y，xy,0 方程两边再对x求导: 2y//y//// ? ，，ey，ey，2y，xy,0 1/y,1由原方程知，当时，，代入?得 x,0y(0),,e 第- 25 –页 1/y,1再将，，代入?式， x,0y(0),,e 1//得 y(0),2e 22tdydy,x,e,1 (4) 设 求 ,23dx,dxy,t，1, dy2dy3t3解: 2,2tdt,,,te2tdxdx22e dt dy,,d,,dy,,dx,,d,,2dy31dx ,,2t22t,,dt,,,(2te,2te),22tdxdx2dx2e dt 3,4t ,t(1,t)e2 2,x,t,2t,3dy (5) 设y,y(x)是由方程组所确定的函数，求:。 ,ydxy,esint,1,0, 解: dx,2t,2dt ydydydyecostyy,ecost,esint,0,ydtdtdt1,esint dyydyecost dt,,ydxdx2(t,1)(1,esint) dt 3、分段函数的导数 22,xa，1,,x,0,1) 设 aaf(x),(a,0,a,1),,sinx,,x,0,x /求: f(x) 第- 26 –页 2/xx,0,f(x),lna,aa解:当 xcosx,sinx/x,0,f(x),2x 22xa11，,,f(x)f(0),/aa f(0),lim,lim_,,x0x,,,x0x0 2x(a,1)2a ,lim,lna,xa,x0 sinx1,f(x)f(0),/x f(0)limlim,,，，，xxx,0x,0 sinx,xcosx,1 ,lim,lim,02，，2xxx,0x,0 // f(0),f(0),， ,/x,0,/? 不存在，故 f(0)f(x),,x,0,, 高阶导数(n阶)略， 23 例 y,x(2x,1)(x，3) (6) 4，6! y, f(0),0f(x)2) 设,,,，,在()上具有二阶连续导数，且，对函 x,0f(x), ,x数 ,g(x),, ,ax,0,, ag(x),,,，,(1) 确定的值，使在()上连续 第- 27 –页 a(2) 对(1)中确定的，证明在()上 g(x),,,，, 一阶导数连续 解: f(x)f(x),f(0)/ ? a,limg(x),lim,lim,f(0)xxx0x0x0,,, /y(x) 即当 在连续， a,f(0),x,0 也就是在()连续 ,,,，, f(x)/f(0),g(x)g(0),/x ? g(0)limlim,,xx,,x0x0 /////f(x)f(x)f(0) limlim,,,2x22,,x0x0 /xf(x),f(x)/ 而 limg(x),lim2x,0x,0x //////xf(x)，f(x),f(x)f(0)/ ，，,lim,lim,g0,,x0x02x2 /，，,,,，,在连续,即在连续 x,0，，gx 三、 微分 y,f(x) //dy,f(x),x,f(x)dx y,f(u) 一阶微分形式不变 /u dy,f(u)du (自变量) y,f(u)u,,(x) 如 //u (中间变量) dy,f(u),(x)dx,f(u)du 2222xxx2xy,e例: ， ， dy,2xedxdy,edx,2xedx 第- 28 –页 可导 可微 第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3( 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、 铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4( 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5( 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6( 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式(放入泰勒级数中讲) 1(罗尔定理 ，，fx如满足: ,,a,b(1)在连续. 第- 29 –页 ，，a,b(2)在可导. ，，，，fa,fb,,，，a,b(3) 则至少存在一点 / 使 ，，f,,0 例 设，则 ，，，，，，，，gx,xx，12x，13x,1 / 在区间(-1，0)内，方程 ，，gx,0 // 有2个实根;在(-1，1)内有2个根 ，，gx,0 ，，，，，，fxf0,f1,0例 设在[0，1]可导，且， /，，,,0,1 证明存在，使。 ，，，，f,，,f,,0，，，，，，，，Fx,xfxF0,F1证: 设在[a,b]可导， //，，,,0,1? 存在使 即 ，，，，，，F,,0f,，,f,,0，，，，，，fxf0,f1,0例 设在[0，1]可导，且, /，，，，F,，F,,0 证明存在 。 , x，，，，F0,F1解: 设，且 由罗尔定理 ，，，，Fx,efx /,,/ 存在 使 即， ，，，，，，F,,0ef,，ef,,0, / 亦即，，，， f,，f,,0 例 习题6 ，，gx 设(复合函数求导) ，，，，Fx,fxe 2、 拉格朗日中值定理 ，，fx如满足:?在[a,b]连续;?在(a,b)连续， ，，,,a,b则存在 /使。 ，，，，，，，，fb,fa,f,b,a 第- 30 –页 /，，fx,c推论:? 如果在区间I上，则 ，，fx,0 / ? 如果在区间I上， ，，fx,0(,0) ，，fx 在，单增(减) 例 对任意满足的x， x,1 1,x1, 都有 arctg，arcsinx,1，x24 1,x1设 f，，x,arctg，arcsinx1，x2 11,211? /，，fx,,,，,021,x221,x，，1，x1,x1，21，x1，x 11，x1，x21 ,,,,,，,0222221，x1,x21,x，，fx,c? ,? ，，f0,4 ,? ，，fx,4 x，，x,0例 设，证明 ，，,ln1，x,x1，x 求导证明 作业:见各章节课后习题。 二、洛必达法则 未定形: 如下的函数极限都是未定形。 x,sinx0lim 1、型: 如:型: x,0tanx,x0 第- 31 –页 lnx,lima,02、型: 如: a,，,x,x a3、型: 如: limx,lnxa,00,,x,，, 11,,,lim(,)4、型:如: x,0xxsin arctanx0limx5、 型: 如: 0,，x0 10lnx6、 型: 如: ,lim(ctgx),，x0 1sinx2,xlim()7、 型: 如: 10x,x 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则， 且它们只表示类型，没有具体意义。 ,0x,ax,, 1、 ()型的洛必达法则(同理) 0, 定理:对函数和，如果: limf(x),0limg(x),0(1), x,ax,a(x,,)(x,,) N(a,,)(2)在某个邻域内(后)有导数 x,Xf'g'g'(x),0和，且; f'(x)lim(3)存在(或无穷)，则成立: x,ag'(x)(x,,) f'(x)f(x)limlim= x,ax,ag'(x)g(x)(x,,)(x,,) sinaxlim例:1) x,0sinbx 第- 32 –页 x,sinxlim2) 3x,0x 3x,3x，2lim3) 32x,1x,x,x，1 ,,arctanx2lim例: 1) 1,，,xx lnxlim2) n,，,xx nxlim3) (>0) ,,x,，,xe 3、其它类型 0,0,,,,1) 11,0 110,0,,,,,,2) 000，0 0y,0,lny,0，ln0(0,,型)3) ,0y,1,y,, 4) 解法同3) nlimxlnx(n,0)例 : 1) ，x,0 lim(secx,tanx)2) ,x,2 xlimx3) ，,0x tanxx,lim4) 2x,0xsinx 第- 33 –页 三、泰勒公式 一、多项式: n2P(x),a，a(x,x)，a(x,x)，？，a(x,x) n010200 在点的各阶导数: P(x),a 00 P'(x),a 01 P''(x),2a 02 ？？？ (n)P(x),n!,a 0n 1()na,f(x) 得: 0nn! f''(x)20P(x),a，f'(x)(x,x，)(x,x)，？， 00002! n()f(x)n0(x,x) 0n! 二、泰勒中值定理: xf(x)(a,b)(n，1)如果函数在含有的某个开区间有直到阶的0 x,(a,b)导数，则对任一有: 1、(N阶泰勒公式) f''(x)20f(x),f(x，)f'(x)(x,x，)(x,x)，？， 00002! 第- 34 –页 n()f(x)n0(x,x)，R(x) 0nn! R(x)称为余项。 n (n，1)f(),n，1R(x),(x,x)xx(1)( 在与之间) ,n00(n，1)! 拉格朗日型余项 nR(x),o[(x,x)](2) 皮亚诺余项。 n0 x,02、当得麦克劳林公式: 0 f''(0)2,，，，？，f(x)f(0)f'(0)xx 2! ()nf(0)nx，R(x) nn! 三、常见函数的泰勒展开 xy,e1) 2n,x,xxexn，1,1，，，，，ex？x 2!!(，1)!nn x,R(0,,,1) y,sinx2) 352,1mxxx,1msinx,x,，,，(？1,)，R(x)x,R n3!5!(2m,1)!y,cosx3) ay,(1，x) 第- 35 –页 四、函数的性态 1、极值 ，，，，，，，，，，xfx,fxfx,fx1)定义:如在邻域内，恒有， ，000 ，，fx，，fx则称为函数的一个极大(小)值。 0 //可能极值点， 不存在的点与的点。(驻点) ，，，，fxfx,0驻点 ?极值点 2)判别方法 ?、导数变号。 f(x),0,极小值 //0?、， ，，fx,0,f(x),00,极大值 ///例1、 设满足关系式，且, ，，y,fx，，fx,0y,2y，4y,0 /x ，则在点处 A ，，fx，，fx,000 A、取得极大值 B、取得最小值 xx C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减 00 2///,xx，，fx例2(已知函数对一切满足 ，，，，,,xfx，3xfx,1,e / 如，，则 A ，，x,0，，fx,000 ，，A、 是fx的极小值 ，，fx0 B、是的极大值 ，，fx，，fx0 C、是曲线的拐点 ，，，，x、fx00 ，，fx，，fxD、不是的极值，也不是曲线 ，，，，x、fx000 ，，y,fx 的拐点。 第- 36 –页 /，，fx例3( 设函数在的某邻域内可导，， x,0，，f0,0 /f(x)1，，，，f0fx，则是的极 大 值。 ,,limx0,sinx2 2、函数的最大值与最小值 ,,a，b(1)求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的(小)为最大(小)值。 ，，a，b(2)在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值;如是极大值则为最大值。 ,(3)如分别为最小, 最大值。 f,0(,0),f(a)f(b) (4)实际问题据题意可不判别。 2例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，y,4,x 使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 ，，Px，y解:设切点为，切线方程为 2 ，，，，Y,4,x,,2xX,x XY即 ，,122x，4x，4 2x ? 三角形面积: 22 1(x，4)1163S(x),,,(x，8x，),0,x,222x4x 第- 37 –页 116 ， /2S(x),(3x，8-)24x2/ S(x)0x,,3 28x,,y, 33 2//令 (唯一) S(),0 3 28 ? 故 为所求点 (，)33 3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 ，，fx 在I上可导 //，，y,fx 如则曲线是凹(凸)的, ，，，，fx,0,0 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 ////，，，，fx,0fx 可能的拐点 和 不存在的点 3x，，,1，，fx,，，fx例1、 设，试讨论的性态。 2x 2(x-1)(x，2)6(x-1)///f(x),,f(x), 34xx ///f(x),0x,1,x,-2,f(x),0,x,1 第- 38 –页 x (-?,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ?) ’y + 0 - 间 + 0 + ’’断 y - - - - 0 + y 单调增 极大值 单减 单增拐 单增 ，，f,2,上凸 上凸 上凸 点 下凸 (1, 270) ,4 limf(x),a渐近线 如 则称y,a为水平渐近线 x,, limf(x),,x,x 如 则称为垂直渐近线 0x,x0 渐近线可能没有，或多条。 2x,1y,例2、 求 渐近线 (斜渐近线不讨论) 2(x,1) 解: x2,1? lim,02x,,x(,1) y,0 ? 为水平渐近线 2x,1? ,,lim2x,1(x,1) ? x,1垂直渐近线 第- 39 –页 xx y,例2、 曲线的渐近线有 4 条 (x,1)(x，2) 4 证明不等式 (1)利用中值定理(R，L); (2)利用函数单调性; (3)利用最值; (4)引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式; (5)利用函数凹凸性; (6)利用泰勒公式。 b,abb,a例1、 当，试 0,a,b,ln, baa即证: 1lnb,lna1 ,,bb,aa y,lnx(a,b)[a,b]证: 设 ，在连续，可导， 由拉格朗日中值定理 1lnb,lna,(b,a) , lnln1b,a 即 ,a,,,bb,a, 1lnb,lna1? ,, bb,aa 第- 40 –页 x,ln(1，x),x例2、设，证明 x,01，x f(x),x,ln(1，x)证: 设 1x/ f(x),1,,1，x1，x f(x),f(0),0f(x)单增，当 x,0 x,ln(1，x)? x设 f(x),ln(1，x),1，x 112，x/ f(x),，,,0221，x(1，x)(1，x) f(x),f(0),0f(x)单增，当 x,0 xln(1，x),? 1，x 2x，1,lnx例3、当 证明 x,0 2 证: 令 f(x),x，1,lnx(x,0) 22x1,/ f(x),x 1/x, 令得 f(x),02 驻点唯一， 1//f(x),x，,0 ? 2x 1f() ? 极小 2 第- 41 –页 1f() ? 为最小值 2 131,,即 x,0f(x),f,，ln2,0,,222,, p,1例4、 当 0,x,1 p,1pp 证明 ，，2,x，1,x,1 证: pp 设 0,x,1，，，，fx,x，1,x p,1/p,1 ，，，，fx,px,p1,x/令 , ，，fx,0 1x, 驻点唯一 2 ，，，，f0,f1,1 11,,1,pf,,2,, p,122,, 1,,，，p,1fx0,1当 , ? 在上 ,1p,12 1,p21最大值为 ,最小值为 2p,1pp，，2,x，1,,,1? ,,,,,,e例5、 设，证明 ,,, 第- 42 –页 ,,lnln,证明:即 证 ,, lnx，，fx,设 x 1,lnx/ ， ，，fx,,0x,e2x ,,lnln，，fx时 ? 单减 当 ,,,x,e,,, ,, 即 ,,, /,,，，，，fx0,cf0,0例6、 设在上可导，且单调减， ，，fx ，，，，，，fa，b,fa，fb证明: ，。 0,a,b,a，b ，，，，，，，，Fx,fx，a,fx,fa 证: 令 /// ，，，，，，Fx,fx，a,fx / ? 单调减 ，，fx // ， ， a,0x，a,x，，，，fx，a,fx /，，Fx ? ，即单调减 ，，Fa,0 ,,，，，，fx,0　,bFb,F0,0 ， ，，，，，， 即 fa，b,fa，fb 作业:见课后习题 第四章不定积分 教学目的与要求 1(理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。 第- 43 –页 2( 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中 值定理，掌握换元积分法与分部积分法。 3( 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 1、原函数、不定积分 /，，，，Fx,fx，，fxF，，xF，，x 在区间?上，如，称为的导函数，称 ，，fx为的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。 如为的一个原函数，则为的全体原函数。 ，，fx，，，，Fx，，fxFx，C ，，Fx，Cf(x)dxf(x)dx记为，即= ,, 不定积积分性质 /，，(f(x)dx),f(x)df(x)dx,fxdx(1) 或 ,, /F(x)dx,F(x)，C(2) , k f(x)dx,k f(x)dx(3) ,, ( f(x),g(x))dx, f(x)dx,g(x)dx(4) ,,, ?原函数与导函数有互逆关系, ?由导数表可得积分表。 lnxF，，x例、 已知是的一个原函数， x 求: ，，dFsinx lnx/解: ,F(x)x dF(sinx)lnsinx dF(sin x),dsinx,cosxdxdsinxsinx 第- 44 –页 ，，，，fxfx例、的导函数是 ，则的原函数 sinx ,sinx，cx，ccc，(、为任意常数) 1212 例、在下列等式中，正确的结果是 C /，， f(x)dx,fx df(x),f(x) A、 B、 ,, dC、d f (x)dx,f(x) D、 f (x)dx,f(x),,dx 111124例、 xx(1,)dx,x,x(1,)dx,,22xx 35,44,(x-x)dx , 71,444 ,x，4x，C7 2、计算方法 01 换元法 第一类换元法(凑微分法) 常用凑微分形式 ，，dx，c,dx dkx,kdx 1xxdx,dlnxedx,de x 11,,dxd cosx,dsinx2xx 第- 45 –页 12 secxdx,dtanxdx,dx 2x 1x2 dx,d arc sin xdx,d1，x221-x1，x 2-x2 sin2xdx,dsinx dx,d1,x21-x 2,sin2xdx,,dcosx 例: 11111、 dx,,d(3,2x),,ln3,2x，c,,3,2x23,2x2 3ln x222、 dx,lnxd ln x,(lnx)，c,,x3 13343、 cos x sin xdx,sin x d sin x,sin x，c,,4x1224、 d x,,d1-x,1,x，c,,221-x 333112-x-x3-x5、 xedx,,ed(-x),,e，c,,33111x1x,,6、 dx,d,arctan，c,,2,,22a，xaaaax,,,,1，,,a,, 11112x7、 d x,d2x,arctan，c,,2229，4x23，(2x)6a 118、 d x,d(x，1)c,,22x，2x，5(x，1)，4 第- 46 –页 1x，1 ,arctan，c221x9、 d x,arcsin，c,22aa-x dxdx10、 ,,,221，12x-9x5,(2,3x) 12,3x ,,arcsin，c352sec x111、 ,d(tanx，1),2tanx，1，c,,tan x，1tan x，1 42212、 tanxdx,tanx(secx,1)dx,, 22 ,tanxdtanx,(secx,1)dx,, 13 ,tanx,tanx，x，C3 4arcsinx413、 dx,arcsinxdarcsinx,,21,x 15 ,arcsinx，C5 xxxx14、 esin(e，1)dx,sin(e，1)d(e，1),, x ,,cos(e，1)，Ccosx15、 ds,2cosxdx,,x ,2sinx，C arctanxarctanx16、 dx,2dx,,1，x，(1x)x ,2arctanxdarctanx, 第- 47 –页 2,arctanx，C xx，,11ee17、 ,dxdx,,xx，，1e1e xe ,1,dx,x1，e xd1，e，， ,x,,x1，e x ，，,x,ln1，e，C xxxe,1dede18、 dx,,,,,2x2xx2xe，4e，4e(e，4) xx1e11e,,x arctande,,,,,,x2x224ee，4,, x1ex12x ,arctan,，ln(e，4)，C 2248 22x，cosx13x，3cosx19、 dx,dx,,33x，3sinx3x，3sinx 31d，，x，3sinx13 ,,lnx，3sinx，C,33x，3sinx3 xxlnx，，，，x1，lnxdx,edxlnx解: ,, xlnxx,e，C,x，C lnsinx20、解: dx,lnsinxdtanx,,2cosx cosx ,tanxlnsinx,tanxdx,sinx ,tanxlnsinx,x，C 第- 48 –页 sinx,tanx,tanx 21、edx,tanxedtanx,,3cosx ,tanx ,,tanxde, ,tanx,tanx ,,tanxe，edtanx, ,tanx,tanx,,tanxe,e，C 22、设，则 ，，xfxdx,arcsinx，C, 3dx12 ，，,,1,x，C,，，fx3 二(第二换元法 定理2 除了凑微分法外其它常用变量代换 (1)被积函数中含有二次根式 22，令 x,asinta,x 22，令 a，xx,atant 22，令 x,ax,asect 2如是配方 ax，bx，C 222222,u，a,u,a,a,u 111 21x,x,sint,dx,costdt例1、 令 dx,2x cost 解:原式 ,,costdt,21 sintx t 22 ,cottdt,(csct,1)dt,, 21,x ,,cott,t，C 第- 49 –页 21,x ,,,arcsinx，Cx 1例2、 二种解法 dx,22,xx4 x,2sect x,4cosx (2)被积函数中含一般根式 dx 例3、 ,31，x，2 323x，2,tx,t,2dx,3tdt解:令 23t1原式 ,dt,3(t,1，)dt,,1，t1，t 33332 ，，,x，2,3x，2，3ln1，x，2，C2 651x,tdx,6tdt例4、 令 dx,23x，x 526tt1原式 ,dt,6dt,6(t,1，)dt,,,34t，t1，t1，t 2t,, ,6,t，ln1，t，C,,2,, 366,3x,6x，6ln1，x，C xe，1dx例5、 , 第- 50 –页 xx2e，1,te,t,1解:令 2t2 ,,,xln(t1)dxdt2,t1 2t1,,原式 ,t,dt,21，dt,,,,22t,1t,1,, t,1 ,2t，ln，Ct，1 xxx ,2e，1，ln(e，1,1),ln(e，1，1)，C 02分部积分 ，，，，uxvx<定理> 如、均具有连续的导函数，则 u dv,uv,vdu ,, xcos x dx,xdsin x例1、 ,, ,x sin x-sin x dx , ,x sin x，cos x ， c ,x,xxedx,,xde例2、 ,, ,x,x,,xe，edx , ,x,x,,xe,e，C 例3、 2(arcsinx)dx , 12，，,x arc sinx ,x 2arc sin x , dx,,21-x 第- 51 –页 22 ，，,xarc sinx，2arc sinxd1-x, 1，，222，，xarc sinx21xarc sinx-1-xdx,，,,,,,21,x，， 22 ，，,xarc sinx，21,xarc sinx-2x，C ln x1,,例4、 dx,,ln x d,,,,2xx,, lnx1 ,,， dx,2xx lnx1 ,,- ， cxx ln lnx例5、 dx,ln ln x d ln x,,x 11 ,ln x , ln ln x-ln x,,dx,ln xx ,ln x ln ln x-ln x ，c 22例6、 xtanxdx,x(secx,1)dx,, 2x ,xdtanx,,2 2x xtanxtan x dx,,,,2 2x ,x tan x，ln cos x- ，c2 22xarctanxx，1,1例7、 dx,arctanxdx,,221，x1，x arctanx ,(arctanx,)dx,21，x ,arctanxdx,arctanxdarctanx,, 第- 52 –页 x12 ,xarctanx,dx,(arctanx),21，x2 1122 ,xarctanx,ln(1，x),(arctanx)，c22 例8、 dx22 ln(x，1，x)dx,xln(x，1，x),，c,,21，x 22 ,xln(x，1，x),1，x，c 2xxxx例9、 ecosedx,edsine,, xxxx ,esine,sinede, xxx ,esine，cose，c 1222例10、 xsinxdx,x(1,cos2x)dx,,23x12 ,,xdsin2x,64 3x112 ,,xsin2x，xsin 2x dx,642 32xx1 ,,sin2x,xdcos2x,644 3x1112 ,,xsin2x,xcos2x，sin2x，c6448 xarcsinx2例11、 dx,,arcsinxd1,x,,21,x 第- 53 –页 2 ,,1,xarcsinx，x，c 03有理函数的积分 ，，Rxdx, 有理函数的积分 ,AAAP(x)12,,,，，，？,1Q(x)(x,a)(x,a)(x,a) ,BBB12，，，？，,,,1(x,b)(x,b)(x,b) Mx，NMx，NMx，N331122，，，，？,,22,12(x，px，q)(x，px，q)(x，px，q) Rx，SRx，SRx，S,,1122？，，，，22,12,,(x，rx，s)(x，rx，s)(x，rx，s)方法: ?真分式?部分分式 部分分式: 11Mx，NMx，N ,,,nn22ax，bx，px，q，，ax，b，，x，px，q 2 其中: p,4q,0 确定常数的值;再积分。 x，3dx例: 1) 2,x,5x，6 ,2x2) dx 2,，2，3xx 1dx3) ,x(x,1) 第- 54 –页 14) dx 2,(1，2)(1，)xx x，1 5) dx,2x,x,12 x，1x，1解: ,2，，，，x,x,12x,4x，3 AB ,，x,4x，3 Ax，3，Bx,4，，，， ,，，，，x,4x，3 A，，，，x，3，Bx,4,x，1 5令 x,4A,,7 2 令 x,,3B,7 x，1152,,? dx,，dx,,,,2x，3x，57x,4x，3,, 52 ,lnx,4，lnx，3，C77 11x，26) dx,arctan，c,2x，4x，822 112x，4,2 dx,,,22x，4x，82x，4x，82，，1dx，4，81 ，，,,dx，22,,22，，2x，4x，8x，2，2 11x，22 ,lnx，4x，8,arctan，c222 第- 55 –页 0，，4 三角有理式积分Rsinx,cosxdx , 2x1,t2t2dt令 tan,tcosx,sinx,dx,22221，t1，t1，t 1127、 dx,,dt,2,2t2，sinx1，t2，21，t 1 ,dt,2t，t，1 11,,,dt，,,,222,,,,13,,,,t，，,,,,22,,,, 1t，2 2,arctan，C33 2 x2tan，122 ,arctan，C 33 2dxsecx8、 ,dx,,223，cosx3secx，1 11 ,d3tanx,23tanx，43 113tanx ,,arctan，C223 13tanx ,arctan，C223 ，，，，，，fxFxF0,19、设的原函数恒正，且，当，有x,0 第- 56 –页 2，，fx，求 ，，，，fxFx,sin2x ,解: ，，，，Fx,fx 2, ，，，，FxFx,sinx 2, ，，，，FxFxdx,sin2xdx,, 1 ，，，，，，FxdFx,1,cos4xdx,,2 12 ，，Fx,x,sin4x，C4 ，，F0,1 由 得C=1 1? ，，Fx,x,sin4x，14 2? sinxfx,，，1x,sin4x，14 例: 1，sinx1) dx ,sinx(1，cosx) 2xx1tan,2tan22cosx, sinx,22xx1tan，1tan，22 2xu,tan,dxdu 221，u x1,dx 2) ,x x,1,udx,2udu 第- 57 –页 dx 3) ,31，x，2 32x，2,udx,3udu dx 4) ,3(1，x)x 56dx,6tdtx,t 11，xdx 5) ,xx 1，x2tdt,tdx,, 22x(t,1) 作业:见课后习题 第五章 定积分的概念 教学目的与要求: 1( 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨 公式。 2( 解广义积分的概念并会计算广义积分。 3(掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平 第- 58 –页 面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。 一、定义及性质 nb<定义>:，,, λ,max,xf，，，，xdx,limfζ,xi,,iia,,1in,x0,i1 注意(1)积分区间有限，被积函数有界; (2)与“分法”、“取法”无关; (3)定积分的值与积分变量的选取无关 bb,,; ，，，，fxdx,ftdt,,,,aa,, ,,,,，，，，，，fxa,bfxa,bfx (4)在有界是在可积的必要条件，在 ,,,,，，a,bfxa,b连续是在可积的充分条件。 b，，，，y,fxfxdxy,0<几何意义>:在几何上表示介于，，,a ，之间各部分面积的代数和。 x,bx,a aba补充规定 ，，fxdx,0，，，，fxdx,,fxdx,,,aab<性质> 性质(1)—(9)(1---7省略) ,,a,b，，m,fx,M其中(8)为估计定理:在，，则 b ，，，，，，mb,a,fxdx,Mb,a,a ,,,,，，fxa,b，ζ,a,b (9)中值定理:如在连续，，使 b ，，，，，，fxdx,fζb,a,a 第- 59 –页 1,2例1(利用定积分几何意义，求定积分值 ,,1xdx,04 2上式表示介于, , y,0, 之间面积 x,1x,0y,1,x 12dx1例2、(估计积分值) 证明 ,,,02322xx，, 证: 2991,,2在 上最大值为，最小值为2 ,,0,12，x,x,,x,,,442,, 211? ,,2322xx，, 1211? ,,,02322xx，, 二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式 0 1变上限积分 ,,a,bx，，fx基本定理:设在连续，为上任意一点， ，，a,b x,则是可导函数，且 ，，，，Φx,fx，，，，Φx,ftdt,a xxd，，fx 即 说明为的一个原函数。 ，，ftdt，，，，ftdt,fx,,aadx 2222xx1,t,t,t例3、已知,, ，，Fx,edt，，Fx,edtF,e2,1,3,00cosx 2sinxx,t , , ，，Fx,edt，，，，Fx,tftdt,45,0cosx xx ， ，，，，，，Fx,x,tftdt，，，，Fx,xftdt,67,00 ,, 求: ,，，？？Fxi,1,2,,9,,i,, 第- 60 –页 解: 242,x,x,cosx,,,，，，，，，Fx,eFx,2xeFx,sinxe 123 22,,sinxcosx,,，，，，，，Fx,cosxe，sinxeFx,xfx 45 x,，，，，，，Fx,ftdt，xfx 6,0 'xxx/,,，，，，，，，，Fx,xftdt,tftdt,ftdt ,,7,,,000,, 1tlntdtcosxlncosx,sinx,cosx例4、 lim,lim43x,0x,0x4x 1sinxlncosx ,,,limcosxlimlim2x,0x,0x,04xx 11,sinx ,,,limx,0842x,cosx 22xt例5、有极大值的点为 D ，，y,t,1edt,0 A. B. C. D. x,1x,,1x,,1x,0 1x11x例6、如 ,则 B x,0F，，x,,，，，Fxdtdt,,2200，，1t1t ,1A. B. C. D. 02e 23 第- 61 –页 ，，fx例7、 设在上连续，且 ，，,,,，, x, ，，，，，，Fx,x,2tftdt,0 证明:若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。 证: t,,u,xx ，，，，，，，，，，，，F,x,,x,2tftdt,x，2uf,td,t,,00 x ，，，，,,x,2tftdt,0 ，，,Fx 02 定积分计算 ?牛顿莱伯尼兹公式 ,,a,b,,a,b，，，，，，FxFxFx<定理>设在连续。为在上的任意一个原 函数，则有 bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a) ,aa ?定积分换元法与分部积分法 03 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质 ，，fx(1) 在连续， a,0,,,a,a aa，，fx当为偶数，则 f(x)dx,2f(x)dx,,-a0 a，，fx当为奇函数，则 f(x)dx,0,-a 第- 62 –页 a，TT，，fx(2) ，以T为周期 f(x)dx,f(x)dx,,a0 说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。 142001x-x例9、 ，,x(1x)(e-e)dx,-1e 1x-x2,x(e-e)dx原式 ,0 1x-x2,xd(e-e) ,0 1xx, ,,,2x(e，e)0 4, e πcos xπcos x2例10、 dxdx,π,,2220,cosx，2sinx1，sinx2 ππ1π22,,,dsin x2arctansinx ,2001，sinx2 ππ24xcosxcos,xdx,xcosxsinxdx例11、 ,,00 π,2 ,xcosxsinxdx,xcosxsinxdx,,,0 2 ππ112,xdsin2x,x dsin 2x ,,0π222 第- 63 –页 π, 2 2,1，xx,03,例12、设 则 f(x-2)dx,f(x),,,x1ex,0,, 1,113A、 B、 C、 D、 e，2ee 3331 f(x-2)dx x,2,tf(t)dt ,,1-1 012x,(1，x) dx，edx ,,,10 2222xxdxdx,例13、 ,,00222x,x1-(x,1)x-1,sin t法一 设 2ππ(1，sin t)3222cos t dt,2(1，sint)dt,π ,,0πcost2,2 2法二 设 x,2sint 原式 π3!!π342 ,8sin t dt,8,,,π,04!!22 π，，，，fxfx例14、设为连续函数，且 求 f(x),sinx，f(x) dx,0 第- 64 –页 π，，fx,sinx，A解: 设 则 f(x) dx,A,0 两边积分 ππ f(x) dx,(sinx，A)dx ,,00 ππA,,cosx，Ax 00 2 A,1,π 2 ? f(x),sinx，1,π ,,0,2，，，，gxfx例15、(、在连续，且 22f(x),3x，g(x)dx ,0 232g(x),x,3x，f(x)dx ,0，，，，gxfx求、的表达式。 2答案: ，，fx,3x,4 3 ) ，，gx,,x xln t例16、设 ，，， fx,dtx,0,11，t 1,,，，fx，f求 ,,x,, ,,1x1ln tlnt，，，，,,x解: ，，fxfdtdt，,，,,,,,,,,11x1t1t，，,,，，，， 第- 65 –页 1lnlnx1,,x ,，,,,,211xx，,,1， x lnxlnxlnx ,，,，，1，xxx，1x 1lnx1,,2 ，，fx，f,dx,lnx，c,,,xx2,, 令 x,1c,0 ，，f1,0 (?) 11,,2? ，， fx，f,lnx,,x2,, xπsint,例17、设 求 f(x)dtf(x)dx,,00,πt解: ππ f(x)dx,f(x)d(x,π) ,,00 ππ ,(x,π)f(x),(x,π)df(x) ,00 ππsinx ,(x-π),dx,sinxdx,2,,00π-x ,，，，，，，fxf2,1f2,0例18、已知在上二阶可导，且，及,,0,2 2 f(x)dx,4,0 12,,求 xf(2x)dx,0 第- 66 –页 解:原式 11111122 ,,, ,xdf(2x),xf(2x),2xf(2x)dx,,002220 111111 ,,xdf(2x),,xf(2x)，f(2x)dx,,002220 21111,,，,,，,f(t)d t1 ,02422 ，，，，fx,,,，,例19、设在连续 xxu，，证明: ,f(u)(x-u)d uf(x)dxdu,,,000,,，， xuxu证:右边 = uf(x)dx,,udf(x)dx,,,0000 xx,xf(x)dx,uf(u)du ,,00 xx,xf(u)du,uf(u)du,,00 x,(x-u)f(u)du,0 1x例20、设 a,1I(a),x,aedx,,1 ,I(a)求 a1xxI(a),(a-x)edx，(x-a)edx解: ,,,1a aa11xxxx,aedx,xedx，xedx,aedx ,,,,,1-1aaa1xaaaxa,I(a),edx，ae,ae,ae,edx，ae ,,1a, 第- 67 –页 a1xxedxedx,,,1a,, 1a1xxaee2ee,,,,,,1ae f(x)1lim,A，，fx例21、设连续，，且 ,(x),f(xt)d t,x,00x ,,求，并讨论在处连续性 ,(x),(x)x,0 f(x)？lim,A解: x,0x ？f(0),linf(x),0 x,0 ，，,0,0得 x1令 x,0xt,u,(x),f(u)d u,0x 1,x,f(u)d ux0,, 0？,,(x)x, 0x,0,, ,,(x)-(0),,(x)lim, x,0x-0 x f(u)duf(x)A,0,,,limlim 2x,0x,02x2x x,,xf(x)f(u)du,,0,x0,,?2 ,,(x)x, A,,x0,,2 第- 68 –页 x ,xf(x)f(u)du,/0,,lim(x)lim 2x0x0,,x x f(u)duf(x),0,lim(,)2,x0xx AA/,A-,,,(0) 22 ,? 在连续 ,(x)x,0 ,，，,,,，,即在连续 ,(x) ππxx1，，2例22、试证方程 在内有且,sintdt，dt,0,,2ππ,,sint102，，102 仅有一实根 ππxx1，，2证:设 在连续 ,F(x),sintdt,dtππ,,2,,sint102102，， 且: ππ1,,10F,,dt,0 ,,π2,10sint,,2 ππ,,22F,,sintdt,0,, ,π2,,10 ππ,,由介值定理 ，使 F(ζ)=0 ，ζ,,,,102,, 即F(x)=0有根 12又? ， ,F(x),sinx，,02sinx 第- 69 –页 ，，Fx单增 ?根唯一 1,x，，fx例23、设在，连续 ，，,,0,1f(0),2efxdx1,2 ,试证:内至少一点，使 f(ζ),f(ζ),,0,1，ζ ,xf证:设 ，，，，Fx,efx ，，Fx则在可导 ,,0,1 1-x F(0),f(0),2ef(x)dx中值 1,2 1,cef(c),F(c),c,1 2 ，，Fx 在上满足罗尔定理条件 ,,0,1 ,，，F,,0?至少存在一点ζ，使 ,ζ-ζ-ef(ζ)，ef(ζ),0即 ,，，，，f,,f,亦即 2y2,3t3例24、 x,edt，y，4,0,0 42,y,,3x,2yye，3yy,0 23x ,y,4,y22ye,3y 第- 70 –页 例25: ,f(x),0f(x)(a,b)设在连续，可导，且，[a,b] x1,F(x),0(a,b)证明在内，有 ,F(x)f(t)dt,a,xa x(x,a)f(x),f(t)dt,a证: ,F(x),2(x,a) (x,a)f(x),(x,a)f(,) ,a,,,x,b2(x,a) f(x),f(,) ,x,a ,(a,b),,x在单调减， ？f(x),0？f(x) ,F(x),0,f(,),f(x) 故 作业:各章节课后习题。 第六章 定积分应用 1平面图形面积 第- 71 –页 (?)直角坐标: b,,s,f(x),f(x)dxa,bf(x),f(x) 2112,a d,,,,(y),,(y)dyc,d,(y),,(y) 2112,c 例1: 2(0,,3)(3,0)求抛物线及其点和处的切线所y,,x，4x,3围成图形的面积 ,K,y,,2x，4解: K,4(0,,3)y,4x,3在点处，，切线方程 1 (3,0)K,,2y,,2x，6在点处，，切线方程 2 y,4x,33,,, 得交点 ,3,,,y,,2x，62,,, 3 22,,S,4x,3,(,x，4x,3)dx ,0 32,,，,2x，6,(,x，4x,3)dx 3,2 33222,xdx，(x,6x，9)dx 3,,02 999 ,，,884 (ii)极坐标 第- 72 –页 ,122,,,,,,,S,(),()d21,,2 ,1,,22,[,(),(,)]d,,,,,21,,2,, 2例2、求由曲线所围图形公共部分的,,2sin,,,,cos2, 面积 ,,,,2,25,解:两曲线的交点 ,,,,,,,,,,,2626,,,, ,,，，211 64,，，,,，,,S22sindcos2d,,,,,022,,6，， ,,64,+ (1,cos2,)d,cos2,d,,,0, 6 ,,641131,,，， sin2sin2,,,,，,,,,,,22620，，6 2旋转体体积 y,0,y,f(x),x,a,x,bx由所围平面图形绕轴旋转一 周所生成的立体体积， b2 V,,f(x)dx,xa 由所围平面图形绕旋转yx,l(y),x,0,y,c,y,d一周所得旋转体体积 第- 73 –页 d2 V,,,(y)dyy,c P(1,0)例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物y,x,2 xx线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积 y,x,2 解:设切点为 (x,x,2)00 1切线方程 y,(x,1) 2x,20 ？ 切点在切线上， 1? x,2,(x,1)00(3,1) 2x,20 ， 0 1 2 3 1?切线方程: y,(x,1)2 133,2 V(x1)dx(x2)dx,,,,,,,x,,1246 y ,,2sin, ,,,,4,,6 x 02,,cos2, 第- 74 –页 03平面曲线弧长 ，，(1) 曲线: y,fxa,x,b b2，，s,1，fxdx ,a ，，x,xt,(2) ,,,t,,，，y,yt, ,22,，，，， s,xt，ytdt ,, ，，r,r,(3) ,,,,, ,22,，，，， sr,r,d,,，,, 例 求下类平面曲线的弧长 12，，y,ln1,x1. 曲线相应于的一段 0,x,2 ，，，，r,a1，cos,a,02. 心形线的全长 x,1,cost,3. 摆线 的一拱 0,t,2,,y,t,sint, 2,2x1，x2,y,,1，y,解:1. 221,x1,x12，1x2,sdx ,20,1x 111,,21dx,,，，,, ,0，,1x1x,, 第- 75 –页 1 211，x,,，ln 21,x0 1,,，ln3 2 ,，，r,,,asin,2. 22,，，，，r,，r, 222222,a，2acos,，acos,，asin,d, ,,2a1，cos,,2acos 22,,S,2acosd, ,02 ,2,,,,2acosd,,cosd, ,,0,22 ,2,，，,,,,2a2sin2sin,, ,8a22,,0,，， 2,22,,，，，，S,xt，ytdt3. ,0 2,22，，，，,sint，1,costdt ,0 2,t,2sindt ,02 第- 76 –页 2,t,2sindt ,02 2,t,,,4,cos,,,8 2,,0 04向变力沿直线作功,液体的水压力 作业见课后练习 第七章 空间解析几何 教学目的与要求 14学时 1( 解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2( 握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向 量垂直和平行的条件。 3( 解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐 第- 77 –页 标表达式进行向量运算的方法。 4( 掌握平面方程和直线方程及其求法。 5( 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平 面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 6( 会求点到直线以及点到平面的距离。 7( 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐 标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8( 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的 投影，并会求其方程 01向量及其线性运算 向量:有大小、方向的量。 向量相等:大小、方向 单位向量、零向量 向量的坐标表达式及其运算 1) 向量的加法、减法 满足:交换律、结合律。平行四边形、三角形法。 2) 向量的数乘 满足:结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件: b,,a 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算 1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。 例:书上例题。 6) 向量的模、方向角投影 1)的模与两点间的距离公式。 第- 78 –页 222r,OM,op，oQ，oR 222AB,(x,x)，(y,y)，(z,z) 212121例4: 1) 方向角与方向余弦 xx cos,,,oMr y cos,,r z cos,,r 222cos，cos，cos,1,,, 例: 例7、8 2) 向量在轴上的投影 ，，a,acos,1) u (a，b),(a)，(b) 2) uuu (,a),,((a) 3) uu 02向量的数量积的向量积 ,,,,,,a,ai，aj，ak,a,a,a xyzxyz ,,,, ,,b,bi，bj，bk,b,b,b xyzxyz1)向量积 第- 79 –页 ,,,,,,,,,,,,,ababcosa,b ,,,, ,,,,,,，，，，abba,, ba ,222a,a，a，a xyz性质: ,, a,b,ab，ab，ab xxyyzz ,,,,,,,a,b,,,a,b,arccos,,应用:(i) ,,ab,, ,,,,2a,a,a,a(ii) ,,,, a,b,a,b,0(iii) 例1、习题4，1选择题(1)(2)(3) 2 填空题(3)(4)(5) ,,,,,,π,,,例2、 ,,a,5,b,2,a,b,,则2a,3b,219,,3,,解: ,,,2,,,，，，，2a3b2a3b2a3b,,,,, ,,,,22,4a,2a,b，9b,76 ,,2a,3b,219? 第- 80 –页 ,,, a，b,c(2)向量积 ,,,,,,,,，，c,a，b,a　bsina,b ,,,,,,,,,,c,a,c,b即a，b,a,a，b,b, 右手定则 ,,,,,,，，，，a，b,a,0,a，b,b,0即 ,,,, a，b,,b，a注意 ,,, ijk,,a，b,aaaxyz bbbxyz 1S,AB，AC应用(i) ΔABC2 ,,,,a//b,a，b,0(ii) ,,,,,,,，，a,c,b,c,则c//a，b(iii)如 即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。 例3、习题4，5，2(4) ,,,,,,,,a,b,3,a，b,1,,1,1a,b例3、 设知量满足， 第- 81 –页 ,,,,π,,,a,b,则 ,,6,, ,,,a，b,,,3,,,,tana,b,,解: ,,,a,b3,, ,,π, ? ，，a,b,6 03平面及其方程 ,,,已知平面过点M(x、y、z)，n,A,B,C为的法矢量。 0000 1> 点法式:A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0 0002> 一般式:Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。 yxc3> 截距式:，a，b，分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截，，,1abz 距。 ,,,ππnn? ? 1212 ,,,ππnn? ? 1212 点M(x、y、z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 0000 Ax，By，Cz，D000d, 222A，B，C 例1、 求通过点P(2,-1,-1)，Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面 方程。 第- 82 –页 ,,,ijk,,,,解 QPn13427i3j9k，,,,,,，1 235, ,,QP,1,,3,,4: ， ,,,n,2,3,,5已知平面的法矢量 1 ,,,n,,9,,1,3取 所求平面为:9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即:9x-y+3z-16=0 例2、 解:(1)解法一:设平面方程:x+By+D=0 将点M(2,-1,0)，M(3,0,5)分别代入得 12 ,2,B，D,0,B,,1,, 3，D,0,D,,3,, ?平面方程为:x–y–3=0 ,,,n,MMn,k解法二:， 12 ,,,ijk,,, kMM001ij，,,,，12 115 ,,, 取 n,,1,1 -(x–2)+(y+1)=0 得平面方程:x–y–3=0 第- 83 –页 yz，,1(2)设平面方程为y+Cz+D=0 即 D,D,C ,D,5,, D,,,2,C, 5C,　? 得 2 D,,5 5y，z,5,0 ? 2 2y，5z-10,0 04直线及其方程 <1> 空间直线的一般方程 Ax，By，Cz，D,0,1111L: ,Ax，By，Cz，D,02222, <2> 点向式(对称式) ,,,s,m,n,p直线过点M(x、y、z)，为L方向向量 0000 xxyyzz,,,000,,则 L: mnp x,x，mt,0,y,y，nt<3>参数式L: t为参数 ,0 ,z,x，pt0, 第- 84 –页 ,,,sL?L ? s1212 ,,,sL?L ? s1212 05直线与平面关系 ,,,,s,n,0,s<1> L?π ? 即 n ABC,,,,,s<2> L?π ? nmnp ,,,<3> 点P到直线L的距离，L的方向向量s,m,n,p，M为L上一点 0 ,MPs，0 d, ,s 例3、 习题4 2、(7)、(8) x,2y，4z，1,,解(7) 直线 即所求平面法向量,131 ,,,n,-1,3,1 由点法式 -(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0 即 x–3y–z+3=0 x，By，Cz,0(8)设平面方程为， ,,,,,,n,1,B,C,n,4,,1,2 1 第- 85 –页 ,,n,n,04,B，2C,0B,1 得 1 (6,,3,2)6,3B，2C,0点代入平面，得: 3 C,,2 2x，2y,3z,0所求平面 <4>平面束方程 ，，，,0AxByCzD,1111,直线L: ，，，,0AxByCzD2222, Ax，,By，Cz，D，(Ax，By，Cz，D),0则 11112222 Ax，By，Cz，D,0为过直线L的除平面外的平面束方程 2222 3x，4y,2z，5,0, z例 一平面过直线L:，且在轴有截距，,3,x,2y，z，7,0, 求它的方程 解:过直线L的平面束方程为: 3x，,4y,2z，5，(x,2y，z，7),0 (,，,3)x，(4,2,)y，(,,2)z，7，5,0即 7，511,,3,,,据题意 ,24, 第- 86 –页 11 ,,,代入平面束方程，得: 4 x，38y,19z,57,0 习题4 , 2 ,(9) x,1y,2z,3L:,,例 已知两直线方程 110,1 21x，y,zL,,，则过且平行的平面方程是LL2:12211 x,3y，z，2,0 ，,4,0xz,,,,s,1,0,,1L,解: 1:,2,0y, x，,z,4，(y,2),0L过的平面束方程: 1 ,,,x,，y，z,4,2,,0n,1,,,1即 ,, ,,,3s,n,0L由平行 ? 得 2 x,3y，z，2,0所求方程为: 2x,y,2,0,,:y，2z,2,0L:例 已知平面 直线 ,3y,2z，2,0, ,(1)直线和平面是否平行, L 第- 87 –页 ,,(2)如直线与平面平行，则求直线与平面的距离，如不平行，LL ,则求与的交点。 L ,(3)求过直线且与平面垂直的平面方程 L ,,,n,0,1,2,解:法矢量 ,,, ijk,,,,2,10,2i，4j，6k的方向向量?, s 03,2 ,,,s,1,2,3 取 ,,n,s,0? ? 不平行 L与, y，2z,2,0, ,2x,y,2,0解一、 得 交点(1，0，1) , ,3y,2z，2,0, xy，2z，2,,解二、将化为点向式，(在中令LL123 x,0， (0,,2,,2)为Ly,,2,z,,2得，即上的一点)， 化为参式 第- 88 –页 ,得8t,8t,1,得交点(1,0,1)代入 x,t, ,y,2t,2,过直线的平面束方程: L ,z,3t,2, 2x,,y,2，(3y,2z，2),0 2x，,(3,,1)y,2,z，2,2,0即 3,,,1,4,,0,,1,? ? ,1 x,2y，z,2,0所求平面: 06曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 : ，，Px,y,z，，Px,y,z设是球心，R是半径，是球面上任一点，则0000 PP,R，即 0 2222，，，，，，x,x，y,y，z,z,R 000 2222x，y，z,R 第- 89 –页 2、椭球面 222xyz ，，,1 222abc 3、旋转曲面 fx,z,0，，,设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所 ,y,0, (0,0,z)0 (x,y,z)(x,y,0)得旋转曲面:00 22，，f,x，y,z,0 22222 ，，x,x，y，z,z,x，y,z,z000 22，，x,,x，yz,z代入方程fx,z,0 00 22，，f,x，y,z,0得 z y例1、0 x 2222，，z,x，y,z,ax，y 称为旋转抛物面 222x，yz,,1旋转双曲面:，(单) 22ac 222x，yzz,,， 22ac 第- 90 –页 22z,ax，byab,04、椭圆抛物面 222xyz，,,15、单叶双曲面 222abc 222xyz,,，,16、双叶双曲面 222abc 222xyz，,,07、二次锥面 222abc 222222z,x，yz,ax，by圆锥面 2，，y,axa,08、柱面 抛物柱面 22xy 椭圆柱面 ，,122ab 222x，y,R 圆柱面 06空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程 一般式 x,xt，，, Fx,y,z,0，，,,1y,yt，，参数式,,，，Fx,y,z,02,,曲线 在三坐标面上投，，z,ztFx,y,z,0，，,,1,，，Fx,y,z,02,影方程 第- 91 –页 Fx,y,z,0，，,1在x0y面上投影曲线方程:在 中消去z，再与,，，Fx,y,z,02, z=0联立。 其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。 第- 92 –页 第- 93 –页