的左右焦点分别为与,点P在直线l：上. 当取最大值时,比的...

的左右焦点分别为与,点P在直线l：上. 当取最大值时,比的... 欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com 2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题 一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，共64分. 21,x21(已知A={x|x,4x+3<0，x?R}，B={x|2+a?0，x,2(a+7)x+5?0，x?R} 若A,B，则实数a的取值范围是 ( 22xy2(已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l:，,1FFxy,，，,3823012164 PF1上. 当取最大值时，比的值为 . ，FPF12PF2 44 3(设，则的值域是 。 f(x)f(x),sinx,sinxcosx，cosx 4(一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________. 25(函数的值域为____________. y,x，x,3x，2 6(已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________. 2 7(用[x]表示不大于实数x的最大整数， 方程lgx,[lgx],2=0的实根个数是 ( 8(各项均为实数的等比数列{a }前n项之和记为S ,若S10 = 10, S30 = 70, 则S40等于nn __________. 二、解答题:本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9((本题满分16分)如图，有一列曲线P, P, P, ……，已知P所围成的图形是面积为1的0120 等边三角形，P是对P进行如下操作得到的:将P的每条边三等分，以每边中间部分的线段为k+1kk 边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记S为曲线P所围成图形面积。 nk limS?求数列{S}的通项公式;?求。 nn,,n P0 PP2 1 《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》 欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com 210((本题满分20分)如题10图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆BC,Pyx,2y 22内切于，求面积的最小值, ,PBC,PBC(1)1xy,，, [解] 设，不妨设, bc,PxyBbCc(,),(0,),(0,)00 yb,0直线的方程:， PBybx,,x0 化简得 , ()0ybxxyxb,,，,000 又圆心到的距离为1， (1,0)PB ybxb,，00 ， …5分 ,122()ybx,，00 22222故， ()()2()ybxybxbybxb,，,,，,，000000 2易知，上式化简得， x,2(2)20xbybx,，,,0000 2同理有, …10分 (2)20xcycx,，,,000 22,x,2y448xyx，,200000所以，，则, bc,bc，,()bc,,2x,2x,2(2)x,000 2是抛物线上的点，有，则 因Pxy(,)yx,20000 22x4x200，, …15分 bc,,()bc,,2x,2(2)x,00 x140所以, ,，,2448,,,,,,,，，Sbcxxx()(2)4,PBC000,,222xx00 2当时，上式取等号，此时, (2)4x,,xy,,,4,22000 因此S的最小值为8, …20分 ,PBC 1nn,1211((本题满分20分)设 . 记，，fxfx()(),fxffx()(()),，n,2,3,？fxxa(),， nManf,,,R (0)2对所有正整数 ，. ,, 1，，证明:. M,,2, ,,4，， 《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》 欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com 一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1、【解】A=(1，3); 2+51x,1x又，a?,2?(,1，,)，当x?(1，3)时，a? ,7?(5,7，,4)( 42x ? ,4?a?,1( 2、【解】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线，FPFFF,1212 l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，，,，APFAFP,,APFAFP (823,0),,1212PFAP21APAFAF,,即(1)，又由圆幂定理，(2)，而，，F(23,0),F(23,0),1212PFAF22 A，从而有，。代入(1)，(2)得AF,8AF,，843(823,0),,12 PFAF811。 ,,,,,,42331PFAF843，22 11442tx,sin2。令，则 3、【解】fxxxxxxx()sinsincoscos1sin2sin2,,，,,,22 1191191922gtg,,,, 。因此min()(1)0, fxgtttt()()1(),,,,,,，,,,11t82422822 19199gtg,,,,, 0(),,fxmax()()0。 即得。 ,,,11t82828 h 4、【解】设球半径为R，其内接圆锥的底半径为r，高为h，作轴截面， r2则r=h(2R,h)( 31πππ4R84,,223,, V=πrh=h(2R,h)=h?h(4R,2h)?=?πR( 锥,,33663273 ? 所求比为8?27( 1313135、【解】 等价于或( ，2,，,,22，,log2xlogx2log2x111222 1117即或( ,,,,logx2logx21122 2logx,,2logx,0此时或或( ,,logx,01112227 272?解为x >4或0