建立数学模型

建立数学模型 建立数学模型 建立数学模型激发学习兴趣 董梅 (石家庄邮电职业技术学院,河北石家庄050021) [摘要]利用两个教学实例,探讨建立数学模型,激发学生学习数学的兴趣的方法. [关键词]数学模型教学方法学习兴趣 [中图分类号]G427[文献标识码]A[文章编号]1672—3473[2007)01—0088—01 进人大学的一年级新生在学数学时,总会问老师一个问 题:"大学数学有什么用?"也正是因为很多学生有着"数学没 用"这个看法,所以对大学数学的学习也仅仅是为了考试过 关,拿到学分,缺乏对数学学习应有的兴趣与热情.究其原 因,本人认为数学教学中应用问题讲解太少,与实际联系太 少,应是原因之一.在这里本人从学生身边的问题出发,建 立数学模型,让学生体会到数学无处不在,从而调动学生学 习数学的积极性. 问题1:学生食堂应开设多少打饭窗口才合理? (1)提出问题.每个大学都有大食堂,一到开饭时间学 生们总要排队打饭,打饭窗口设立太少,则学生排队时间太 长;而窗口设立太多,则对学校而言不经济,安排多少窗口才 合理呢?(2)合理假设.今假设学校n名学生,都在一个食 堂进餐,食堂设有若干个窗口,每个窗口均出售相同的饭菜. 又假定在每一指定时刻,这n名学生每一个是否去打饭是相 互独立的,没人在食堂打饭的概率都是P,现要求:在开饭时 间段中,任一时刻每个窗口排队人数(包括正在打饭的那个 人)不超过k.这个事件的概率不小于a(a可取0.90或0. 95),则至少需开设多少窗口?(3)模型建立与解答.首先, 设需开设m个窗口. 设事件Ai={在指定时刻恰有i个人在食堂打饭}(I-0, 1,2,…n) 由题设条件可知,此问题属于贝努里概型. 所以:P(A)=P(1一P)" 由于假设有m个打饭口,而每口排队人数小于等于k, 则实际中i最多应取到km,同时,A??Akrn为两两互斥事 件,故: P(每个窗口排队人数都不超过k)=P(u^)=?P(A)..mm Iu10 =CP(1一P)"?a 寻找一个最小的自然数m,使上式成立,这个m即为应 开设窗口数. (4)模型的推广与应用.此模型可以推广到学生宿舍的 水龙头,浴室的喷头设置个数问题,邮局,银行等服务行业营 业窗口的设置数目等问题中去. 问题2:易拉罐的造价问题. (1)提出问题.易拉罐罐装饮料筒为圆柱体,讨论在容 积一定的情况下怎样设计易拉罐,造价才最省?(2)合理假 设.设易拉罐的容积为v,且其上下底的单位面积造价是侧 面单位面积造价的2倍,求造价最省的#设计#?(3)模型 建立与解答.设易拉罐的底半径为r,高为h,则v=,设 其侧面的单位面积造价为a(a为常数),则上,下底的单位面 积造价为2a,总造价为L,则: L:2~rha+27cr2?2a=27ra(v2r2)r×(0+(3o) 这个问题是一个最值问题,利用导数来求解. 求导数得L:27ra(一+4r) 矿 令L=0得r:?'h=羔=4? 由于在(0,+(3o)内函数只有二个驻点,所以当易拉罐的 底直径与高的比为1:2时,总造价最省. (4)模型的推广与应用.可以看出在市场上易拉罐的设 计基本与以上结论相符.而生产实际中的有关用料最省,成 本最低,利润最大等最值问题都可仿此例而行. 以上是我在教学实践中交给学生完成的两道实际应用问 题,通过这些实际问题的求解,激发了学生的学习兴趣,培养了 他们将实际问题转化成数学模型的能力.在教与学的探讨中, 学生们不仅掌握了基本的数学知识,而且由于他们又提出了一 些延伸型的问题,这又培养了他们的探索精神和求知欲. [责任编辑:陈维廉】 [收稿日期】2006—06—20 [作者简介】董梅(1968),女,石家庄邮电职业技术学院,讲师. 一 88—