三角形ABC中三边平方之间的关系八年级数学上册

三角形ABC中三边平方之间的关系 三角形ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若角C=90?,根据勾股定理则a?+b?=c?,若三角形ABC不是直角三角形,请类化勾股定理，a?+b?与c?的关系。 解:若?ABC是锐角三角形，则有a2+b2,c2(1分) 若?ABC是钝角三角形，?C为钝角，则有a2+b2,c2((2分) 当?ABC是锐角三角形时， 证明:过点A作AD?BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x(3分) 根据勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2 即b2-x2=c2-a2+2ax-x2( ?a2+b2=c2+2ax(5分) ?a,0，x,0， ?2ax,0( ?a2+b2,c2((6分) 当?ABC是钝角三角形时， 证明:过B作BD?AC，交AC的延长线于D( 设CD为x，则有BD2=a2-x2(7分) 根据勾股定理，得(b+x)2+a2-x2=c2( 即a2+b2+2bx=c2((9分) ?b,0，x,0， ?2bx,0， ?a2+b2,c2( 解:当?ABC为锐角三角形时，做BC边上的高AD?BC于D，??ADC=?ADB=90?。设CD为x，BD为a-x。在Rt?ACD和Rt?ABD中，?ADC=?ADB=90?。由勾股定理得:AD?=b?-x?=c?-(a-x)?，b?-x?=c?-a?+2ax-x?，a?+b?-2ax=c?。?2ax>0，?a?+b?>c? 当?ABC为钝角三角形时，做BC边上的高AD?BC的延长线于D，??D=90?。设CD为y，BD为a+y。在Rt?ACD和Rt?ABD中，?D=90?，由勾股定理得:AD?=b?-y?=c?-(a+y)?，b?-y?=c?-a?-2ay+y?，a?+b?+2ay=c?，?2ay>0，?a?+b? 222解:若?ABC是锐角三角形,则有a+b,c 222若?ABC是钝角三角形,?C为钝角,则有a+b,c, 当?ABC是锐角三角形时, 证明: 过点A作AD?BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a,x 22222 根据勾股定理,得b,x=AD=c,，a,x， 22222即b,x=c,a+2ax,x, 222?a+b=c+2ax ?a,0,x,0, ?2ax,0, 222?a+b,c, 当?ABC是钝角三角形时, 证明: 222过B作BD?AC,交AC的延长线于D, 设CD为x,则有BD=a,x 2222根据勾股定理,得，b+x，+a,x=c, 222即a+b+2bx=c, ?b,0,x,0, ?2bx,0, 222?a+b,c, 当c为最大边时: 1)若?ABC为锐角三角形，那么就有:c^2,a^2+b^2 2)若?ABC为钝角三角形，那么就有:c^2,a^2+b^2 当然， 3)若?ABC为直角三角形，那么就有:c^2=a^2+b^2 当?ABC为锐角三角形时， 作CD?AB,垂足D,设AD=m,则BD=c-m 根据勾股定理有: b?-m?=CD?，(a-m)?+CD?=c? 即(a-m)?+b?-m?=c? a?-2am+b?=c? a?+b?-c?=2am,0(a,m都是正数) 所以a?+b?,c? 若?ABC为钝角三角形， b?-m?=CD?，(a+m)?+CD?=c? a?+2am+b?=c? c?-(a?+b?)=2am,0 所以c?,a?+b?