排列组合问题

排列组合问题 1(有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有( ) A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 解: 根据乘法原理，分两步: 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1,120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120?5,24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2,32种 综合两步，就有24×32,768种。 2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) B 36种 C 59种 D 48种 A 119种 解: 5全排列5*4*3*2*1=120 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59 3、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟 ... 分析:从5个元素中取3个的排列:P(5、3)=5×4×3=60 4、一个正方体，用6种颜色涂面，面与面之间颜色不同，问有多少种涂法,如果改为相邻面 ... 这里有详细的答案思考过程。 第一问:首先要明确什么叫正方体面相同。因为任何一个都有可能为底面，确定底面，确定顶面再确定侧面是解这题的关键 先选一个颜色定一个底面，比如用色1， 5种颜色选一个在顶面 5中情况 4种颜色排成一圈是(4-1)～ 6种情况 5*6 =30 第二问 6种颜色都用:这个就与第一问相同了，完全是等价的问题，所以是30种。 只用5种颜色:先选定5种颜色C(5,6)，然后只用5种颜色意味着有两面的颜色相同，那么这两面必然是相对着的，我们优先考虑这两面。那么相同的这两面的颜色共有5种选法。然后剩下4个面，注意此时这4个面不再是6种颜色都用的情况下的3～了，因为前面说了 ～/2=3种。所以一共C(5,6)*5*3=90种。 有两面颜色一样，这样种数变成3 只用4种颜色:先选4种颜色:C(4,6)=15种，然后必须有两对面是相同的，C(2,4)=6种，那么剩下两个面就确定了，而且本来剩下两个面应该是有两种情况，但由于对称，导致情况唯一，所以一共15*6=90种。 只用3种颜色:先选3种颜色:C(3,6)=20种，然后必然是3对面颜色相同，所以情况唯一。因此是20种。 综上:30+90+90+20=230种。 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派的有几种( 解答:6×5×4×3=360(种) 小升初专题系列之排列组合 来源:本站原创 文章作者:匿名 2009-08-17 14:49:02 [标签:排列组合 小升初]奥数精华资讯 免费订阅 解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法;当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法;这两种方法又称作直接法( 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解;另外，排列中"相邻"问题可 以用"捆绑法";"分离"问题可能用"插空法"等( 解排列问题和组合问题，一定要防止"重复"与"遗漏"( 互斥分类--分类法 先后有序--位置法 反面明了--排除法 相邻排列--捆绑法 分离排列--插空法 课后习题: 1.用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，求符合要求的九位数的个数, 2. 9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种, 3. 今欲从 1，2，3，8，9，10，12诸数中选取两数，使其和为偶数，问共有几种选法, 4. 小明去商店买球，足球有3种不同的牌子，排球有4种牌子篮球有5种牌子，羽毛球有6种牌子，如果小明买3种球，每种一个，一共有多少 种不同的选择方式, 5. 一个四面体的顶点和各棱的中点共10个点，取其中4个点，则 四个点不共面的取法有多少种, 1.解:9×9×8×7×6×5×4×3×2,3265920个。 2.解:9人围坐成一圈，每个人既是起点，又是终点，所以有 9×8×7×6×5×4×3×2?9,40320种坐法。 3.解:在1，3，9中任选两段:1，3;1，9;3，9有3个组合. ??在2，8，10，12中任选两数:2，8;2，10;2，12;8，10;8，12;10，12.有6个组合. ??根据分类计数原理，3，6,9. ??所以共有9种选法. 4.解:如买足球、排球、篮球共有3×4×*5=60种， 如买足球、排球、羽毛球共有3×4×6=72种， 如买足球、篮球、羽毛球共有3×5×6=90种， 如买排球、篮球、羽毛球共有4×5×6=120种， 合起来共有60+72+90+120=342种。 5.解:10个点中取4个点的取法为C(10)(4)=210种 ; 共面的分三种情况: 1、四个点都在四面体的某一个面上，每个面6个点，有6×5?2=15种，四个面共有4×15=60种情况。 2、其中三点共线，另一个点与此三点不在四面体的某一个面上，而在与此三点所在直线异面的那条直线的中点，显然只有6种情况(因为四面体只有6条边)。 3、其中两点所在直线与另两点所在直线平行，且这四个点也不在四面体的某一个面上，画图可得出只有3种情况。 因此，取四个不共面的点的不同取法共有:210-60-6-3=141 小升初奥数专题讲解:排列与组合 来源:重庆奥数网整理 文章作者:奥数网编辑 2011-08-18 16:12:41 [标签:小升初 奥数 专题讲解 练习题]奥数精华资讯 免费订阅 问题:小明所在的班级要选出4名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也可以写自己的名字。 结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象:就是任意取出2张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。 请问:小明所在的班级共有多少人, 总体逻辑思路:首先，假设题目所说的情况存在。然后，得出班级人数。最后，构造出一个例子，说明确实存在这种情况。 我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。 思路简介:我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。由于平均每人被选了4次，既然没有人被选了4次以上，肯定也不存在被选了4次以下的人。所以，可以得到每个人恰好被选了4次。 首先证明没有人被选了4次以上，我们用反证法。 假设有一个人被选了4次以上(由于很容易证明这个班的人数肯定不少于7人，所以我们可以假设有一个人被选了4次以上)，我们设这个人为A同学。接下来我们来证明这种情况不存在。 把所有选择A同学的选票集中到一起，有5张或5张以上。方便起见，我们把这些选票编号，记为A1选票，A2选票，A3选票，A4选票，A5选票，„。意思就是选择A同学的第1张选票，选择A同学的第2张选票，„。 这些选票都选择了A同学。由于任意2张选票有且只有1个人相同，所以这些选票上除了A同学外，其他都是不同的人。 我们还可以证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。 既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票，我们再拿一张没有选择A同学的选票。方便起见，称之为B选票。 根据任意2张选票有且只有1个人相同，A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。 同样道理，第A2、A3、A4、A5、„上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。 由于B选票上只有4个不同的人，而A1、A2、„，的数量大于4.所以，A1、A2、A3、„选票中至少有2张选票，除了A同学外还有一个共同的候选人。根据任意2张选票有且只有1个人相同，我们知道这是不可以的。 所以，没有人被选了4次以上。 由于平均每人被选4次，既然没有人被选4次以上，当然也就不可能有人被选4次以下。 所以，每个人恰好被选了4次～ 证明了每个人都恰好被选了4次后，下面我们用两种方法来求出班级的人数。 方法一:解方程设这一班有n个人，从n张选票里面任选2张有C(n，2)=n(n-1)/2种情况。 由于任意2张选票都有且只有1个人相同，所以每一种情况都代了一种2张选票重复选择了同一个人的情况。(这句话不太好理解，暂时没有想到好的表述) 每一个人都被选了4次，则2张选票重复选择了同一个人的情况又等于nC(4，2)=6n 所以n(n-1)/2=6n解得n=13. 方法二:分析论证，计算我们从所有选票中拿出一张，这张选票上有四个人，方便起见记为甲、乙、丙、丁四个人。 除了我们拿出的这张选票外，所有选甲的选票组成集合[甲].所有选乙的选票组成集合[乙].所有选丙的选票组成集合[丙].所有选丁的选票组成集合[丁]. 由于每个人都恰好被选了4次，所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四个集合中都有3个元素。而且这四个集合没有交集。 每个集合有3张选票，再加上我们拿出的这张选票，一共有4×3+1=13张选票，即13个人。 下面我们证明选票数不能多于13张。还是用反证法。 假设选票数多于13张，我们从中取14张。从这14张选票中我们拿出一张称为C选票。除了C选票外还有13张选票，C选票上有4个不同的人，这13张选票中的每一张都有一个 人和C选票上的一个人是相同的。这样13张选票中至少有4张选择了C选票上的同一个人，这样再加上C选票，就有5个人选择了同一个人。 根据前面的结论，没有人被选了4次以上，所以选票数不能多于13张。而且只能是13张。 所以只有13张选票，即只有13个人。 下面说明这种情况确实存在。 给出一种投票结果即可。 (1，2，3，4) (1，5，6，7) (1，8，9，10) (1，11，12，13) (2，5，8，11) (2，6，9，12) (2，7，10，13) (3，5，9，13) (3，6，10，11) (3，7，8，12) (4，5，10，12) (4，6，8，13) (4，7，9，11) 方法三:网上搜到得一种方法，设班级有x个人，那么x张票中总共有4x(有重复)个名字，也就是说班级里每个人的名字平均出现4次，(1) 如果有一个人的名字在所有票中都出现，那么x张票应该有不重复的名字3x+1个，这与班级有x个人矛盾，(2)如果一个人的名字在5张票中都出现过，那么假设为(1，2，3，4)(1，5，6，7)(1，8，9，1 0)(1，11，12，13)(1，14，15，16)那么你无法构造一个不包含1，但与前面5张票都有一个同名的票，所以一个人的名字在所有票中最多出现4次，并且每个人的名字在所有票中平均出现4次，那也就是说每个人的名字在所有票中出现4次假设包含1的票为(1，2，3，4)(1，5，6，7)(1，8，9，10)(1，11，12，13)其中2出现了1次，之后构造其他包含名字2的3张票为(2，5，8，11)(2，6，9，12)(2，7，10，13) 之后构造分别包含名字3，4的各3张票。发现符合题意，所以这个班有13人。 学而思奥数难题以小学4-6年级的杯赛题为来源，试题挑选、答案详解准确性均经学而思奥数名师鉴证;根据对历年杯赛真题的研究、及归纳，结合了赛题中的高频考点、难点、易错点、以及最近几年命题趋势所得;适合志在杯赛中夺取佳绩的学生。 用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数, 老师教你解难题-试题详解 解: 题目:10位客人住入6个有编号的房间，要求空出2间不住人，而其余4间不能空着(至少住有1名客 人)。问有多少种住法, 这实际上是第二斯特林数。定义S(n,k)为n个有编号的元素分到k个无区别的非空房间里的方法数(注 意，和本题目稍有不同，这里房间是不编号的)。 S(n,k)就是第二斯特林数，有递推公式 S(n,k) = S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k) ; 作为递推的基础，显然S(n,1)=1(n?1)，S(n,n)=1。 上面的递推式可以用组合证明:假设将元素1单独拿出来住1个房间，那么方法数是S(n-1,k-1);或者，如果元素1所在的房间不止一个元素，那么可以先将剩下的n-1个元素分配好了房间后，再任选一个房间 把元素1放进去，方法数是k*S(n-1,k);以上两种可能，根据加法原理得证递推公式。 (注意，这和爬楼梯的那道题在递推方面有相似之处，那道题是:爬楼梯可以一步跨1级台阶，也可以一 步跨2级台阶，求跨一个9级台阶的楼梯有几种走法。) A=10人进1房间方法数;B=10人进2个房间(每个房间不能空着)方法数;C=10人进3房间(每个 房间不能空着)方法数;D=10人进4房间(每个房间不能空着)方法数。 c(n，m)代表m个中选n个的组合数。 A=1 B=10人进2个房间方法数(房间可空着)-1个房间空着方法数=2^10-c(1，2)*A=1022; C=10人进3个房间方法数(房间可空着)-1个房间空着方法数-2个房间空着方法数 =3^10-c(1，3)*B-c(2，3)*A=55980; D=10人进4个房间方法数(房间可空着)-1个房间空着方法数-2个房间空着方法数-3个房间空着方法 数 =4^10-c(1，4)*C-c(2，4)*B-c(3，4)*A=818520; 所以10位客人住入6个有编号的房间，要求空出2间的总方法数=c(2，6)*D=12277800。 排列组合应用题解题技巧 文章来源:4221学习网 发布日期:2010-03-23 已被977人浏览 关键词: 数学 排列组合 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的，并且在实际中的解题方法也是比较复杂的，下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧。 1.排列的定义:从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2.组合的定义:从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 3.排列数公式: 4.组合数公式: 5.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。 例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法, 分析:此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。所涉及问题是排列问题。 解:先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。根据乘法原理，共有的不同坐法为种。 结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。 例2 5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法, 分析:此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解:因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。 例3 高二年级8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种, 分析:此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转换为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。 解:此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种。 结论3 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。 例4 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法, 分析:此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来。但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题。 解:把所有的硬币全部取出来，将得到0.05×23+0.10×10=2.15元，所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。 结论4 剩余法:在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法。 例5 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序, 分析:对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。并且也避免了问题的复杂性。 解:不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。 结论5 对等法:在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。 例6 我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部记至少有一人在内的抽法有多少种, 分析:此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程。 解:43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有种。 结论6 排异法:有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除。 练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种, 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种, 练习3 马路上有编号为1，2，3，……10的十只路灯，为节约电而不影响照明，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉马路两端的灯，问满足条件的关灯方法有多少种, 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边，那么不同的站法有多少种, 练习5 某电路有5个串联的电子元件，求发生故障的不同情形数目, 小结: 解决排列组合应用题的一些解题技巧，具体有插入法，捆绑法，转化法，剩余法，对等法，排异法;对于不同的题目，根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种技巧结合起来应用，便于我们迅速准确地解题。在这些技巧中所涉及到的数学思想方法，例如:分类讨论思想，变换思想，特殊化思想等等，要在应用中注意掌握。 第十三章:干燥 通过本章的学习，应熟练掌握表示湿空气性质的参数，正确应用空气的H–I图确定空气的状态点及其性质参数;熟练应用物料衡算及热量衡算解决干燥过程中的计算问题;了解干燥过程的平衡关系和速率特征及干燥时间的计算;了解干燥器的类型及强化干燥操作的基本方法。 二、本章思考题 1、工业上常用的去湿方法有哪几种, 态参数, 11、当湿空气的总压变化时，湿空气H–I图上的各线将如何变化? 在t、H相同的条件下，提高压力对干燥操作是否有利? 为什么? 12、作为干燥介质的湿空气为什么要先经预热后再送入干燥器, 13、采用一定湿度的热空气干燥湿物料，被除去的水分是结合水还是非结合水,为什么, 14、干燥过程分哪几种阶段,它们有什么特征, 15、什么叫临界含水量和平衡含水量, 16、干燥时间包括几个部分,怎样计算, 17、干燥哪一类物料用部分废气循环,废气的作用是什么, 18、影响干燥操作的主要因素是什么,调节、控制时应注意哪些问题, 三、例题 2o例题13-1:已知湿空气的总压为101.3kN/m ,相对湿度为50%，干球温度为20 C。试用I-H图求解: (a)水蒸汽分压p; (b)湿度,; (c)热焓，; (d)露点t ; d (e)湿球温度tw ; o(f)如将含500kg/h干空气的湿空气预热至117C，求所需热量,。 解 : 2o由已知条件:,,101.3kN/m，Ψ,50%，t=20 C在I-H图上定出湿空气00 的状态点,点。 (a)水蒸汽分压p 过预热器气所获得的热量为 每小时含500kg干空气的湿空气通过预热所获得的热量为 例题13-2:在一连续干燥器中干燥盐类结晶，每小时处理湿物料为1000kg，经干燥后物料的含水量由40%减至5%(均为湿基)，以热空气为干燥介质，初始 -1-1湿度H为0.009kg水•kg绝干气，离开干燥器时湿度H为0.039kg水•kg绝干12气，假定干燥过程中无物料损失，试求: -1(1) 水分蒸发是q (kg水•h); m,W -1(2) 空气消耗q(kg绝干气•h); m,L -1原湿空气消耗量q(kg原空气•h); m,L’ -1(3)干燥产品量q(kg•h)。 m,G2解: q=1000kg/h, w=40?, w=5% mG112H=0.009, H=0.039 12 q=q(1-w)=1000(1-0.4)=600kg/h mGCmG11 x=0.4/0.6=0.67, x=5/95=0.053 12?q=q(x-x)=600(0.67-0.053)=368.6kg/h mwmGC12 ?q(H-H)=q mL21mw q368.6mw q,,,12286.7mLH,H0.039,0.00921 q=q(1+H)=12286.7(1+0.009)=12397.3kg/h mL’mL1 ?q=q(1-w) mGCmG22 q600mGC?q,,,631.6kg/h mG21,w1,0.052