建立数学模型

建立数学模型 第一章 建立数学模型 第一节 从观点对象到数学模型 一、教学目的:使学生了解客观世界的原型与数学模型之间的关系，掌握数学模 型的本质内涵。 二、教学方法:通过一些符合直观的模型例子，诸如物理模型，思维模型和符号 模型等引入抽象的数学模型的概念。 三、教学重点与难点:数学模型的本质内涵。 四、教具准备:为了很好地表现数学模型的作用，需要投影仪与多媒体播放设备 来展示一些实际模型的模拟例子。 五、教学步骤: 1. 先介绍模型的分类:形象模型和抽象模型; 2. 引入直观模型、物理模型(属于形象模型)、思维模型、符号模型和数学 模型的概念(属于抽象模型); 3. 数学模型的内涵; 4. 课程的中心内容:建立数学模型; 5. 作业:P 1. 22 第二节 数学建模的重要意义 一、教学目的:了解数学建模的应用领域中的重要意义。 二、教学方法:通过介绍数学模型在工程技术领域，高技术领域以及一些诸如经 济、人口、生态等非物理领域中的应用例子，说明数学建模的重要意义。 三、教学重点与难点:数学建模的具体应用例子。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 介绍数学建模在工程技术领域、高技术领域以及一些新领域中的应用例子; 2. 说明数学模型具体应用的方法域手段。 第三节 数学建模的三个范例 一、教学目的:通过三个数学建模的例子，说明用合理的数学语言与工具表述实 际问题。 二、教学方法:先对三个生活中普通的问题做出合理的假设，而后用数学语言加 以表述，最后求解。 三、教学重点与难点:对三个实际例子做出合理的假设，并且用合适的数学工具 进行描述。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 先对“椅子能否在不平的地面上放稳”问题进行合理的假设; 2. 利用连续给出该例子的数学描述; 3. 求解模型; 4. 按照上述步骤分别利用多步决策方法以及微分方程讨论“商人安全过河” 以及“预报认可增长”的2个例子。 第四节 数学模型的基本方法和步骤 一、教学目的:使学生掌握数学模型的一般方法和步骤。 二、教学方法:按照模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模 型检验以及模型应用等七个步骤解释数学模型的操作过程。 三、教学重点与难点:数学建模的一般步骤。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 介绍数学建模的基本方法:机理分析与测试分析; 2. 数学建模的七个步骤; 3. 数学建模的流程图。 第二章 初等模型 第一节 公平的席位分配问题 一、教学目的:使学生明白对于诸如分配席位等静态问题，用一些初等方法就可 以解决。 二、教学方法:不断改进分配席位的方法，分境况讨论三个系的学生分配席位问 题。 三、教学重点与难点:建立衡量分配不公平程度的数量指标，席位分配。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 按惯例给出三个系的学生席位分配方案，并指出其不合理性; 2. 建立衡量相对不公平度的数量指标; 3. 通过数量指标确定分配方案; 4. 拓展讨论:存在绝对公平的分配方案吗,(尚未找到) 第二节 录像机计数器的用途 一、教学目的:通过录像机计数器问题说明用初等的线性关系解决实际问题。 二、教学方法:先分析计数器的工作原理，支出建立模型时的难点，而后利用待 定方程确定模型。 三、教学重点与难点:由计数器的工作原理得到模型的假设，由假设导出录像机 主动轮的转动半径与录像带转动长度之间的关系。 四、教具准备:录像机左轮盘与右轮盘的模型，投影仪。 五、教学步骤: 1. 先对录像机的计数器工作原理进行分析; 2. 进行模型假设; 3. 通过轮盘上录像带的长度或者右轮盘的面积，分别建立模型; 4. 对模型中的未知参数进行估计(由最小二乘法)。 第三章 简单的优化模型 第一节 存贮模型 一、教学目的:通过工厂处理生产与原料存贮问题说明优化模型。 二、教学方法:先解释优化模型的应用范围，而后分情况讨论工厂处理原料存与 资金占用之间的优化关系模型。 三、教学重点与难点:工厂原料存贮问题的分析与模型假设。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 先分析工厂在允许缺货与不允许缺货时生产流程; 2. 进行模型假设并建立模型; 3. 利用微分方法求解模型; 4. 模型解释与两种情况下的结果分析。 第四章 数学规划模型 第一节 奶制品的生产与销售 一、教学目的:通过奶制品的生产与销售例子，说明如何用线性规划模型解决实 际问题。 二、教学方法:先分析奶制品生产利润的构成及各种制品的销售价格策略，而后 建立相应的线性规划模型。 三、教学重点与难点:奶制品生产与销售过程中的经济原理。 四、教具准备:Lindo规划软件与投影仪 五、教学步骤: 1. 分析奶制品加工的生产与销售过程以及相应的数学描述; 2. 确定决策变量、目标函数、约束条件; 3. 利用Lindo软件进行求解; 4. 将结果进行解释(用经济学中的原理)。 第二节 汽车生产 一、教学目的:介绍另一种规划模型:整数规划。 二、教学方法:通过分析汽车生产问题建立汽车生产的规划模型。 三、教学重点与难点:模型的求解。 四、教具准备:Lindo软件与投影仪 五、教学步骤: 1. 合理假设变量，直接建立模型; 2. 对上述整体规划模型进行求解与分析; 3. 拓展:当整数规划模型中整数变量取值很大时，常作为连续变量用显形 规划处理。 第五章 微分方程模型 一、教学目的:以传染病的传播为例说明随时间演化的连续变量通常可以用微分 方程来描述。 二、教学方法:采用图例与模型讲解相结合。 三、教学重点与难点:模型的改进以不断符合实际情况。 四、教具准备:Matlab软件与投影仪 五、教学步骤: 1. 先建立最简单的指数增长模型; 2. 建立SI模型(将有效接触人群进行分类); 3. 修正病人可以治愈并退出传染系统的假设，建立SIS与SIR模型; 4. 通过模型的示例图并进行分析; 5. 进行数值验证。 第六章 稳定性模型 第一节 微分方程稳定性理论简介 一、教学目的:掌握一阶与二阶简单微分方程的稳定与不稳定判别方法。 二、教学方法:理论推导与图解说明相结合。 三、教学重点与难点:解的稳定性判别依据。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 先推导一阶微分方程解的稳定性条件; 2. 给出二阶微分方程解的渐近稳定(不渐近稳定)的概念; 3. 给出二阶方程解的稳定性判别依据; 4. 拓展:介绍局部稳定与全局稳定的概念。 第二节 军备竞赛模型 一、教学目的:描述军备竞赛的二阶微分方程。 二、教学方法:理论推演与软件演示相结合。 三、教学重点与难点:模型与参数的检验。 四、教具准备:Matlab软件与投影仪 五、教学步骤: 1. 军备竞赛的解释与模型假设; 2. 建立微分方程模型; 3.模型结论的定性解释; 4. 模型参数的估计; 5. 模型检验。 第七章 差分方程模型 第一节 差分方程简介 一、教学目的:介绍差分方程的性质与求解。 二、教学方法:理论推导与讲解。 三、教学重点与难点:差分方程的求解。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 介绍查分厂分稳定性概念; 2. 介绍差分方程解的稳定判别依据。 第二节 市场经济中的蛛网模型 一、教学目的:了解市场经济中蛛网模型的建立与解释。 二、教学方法:图解说明与理论推导相结合。 三、教学重点与难点:蛛网模型的解释与推广。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 给出市场经济中的蛛网模型; 2. 推导模型的稳定性条件; 3. 对模型的结论进行经济学解释; 4. 修正关于管理者的模型假设，得到推广的市场经济模型。 第八章 离散模型 第一节 层次分析模型 一、教学目的:介绍层次分析方法的一般步骤。 二、教学方法:理论推导与讲解。 三、教学重点与难点:层次分析方法中的成对比较矩阵与权向量的确定。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 介绍层次分析方法的工作原理; 2. 确定成对比较矩阵与权向量; 3. 进行一般性检验; 4. 对组合权向量进行一致性检验; 5. 层次分析法在实际问题中的应用。 第二节 循环比赛的名次 一、教学目的:利用层次分析法确定循环比赛的名次。 二、教学方法:理论推导讲解为主。 三、教学重点与难点:邻接矩阵的最大特征根的确定。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 循环竞赛图及其性质; 2. 确定邻接矩阵及其最大特征根; 3. 解释结论并确定名次。 补充材料:三维图象重建模型 一、教学目的:介绍三维图象重建的一般步骤，理解从离散到连续的思想。 二、教学方法:案例教学方法。 三、教学重点与难点:图象的几何曲面表示。 四、教具准备:投影仪 五、教学步骤: 1. 介绍图象重建的工作原理; 2. 图象的矩阵表示; 3. 图象的曲面重构; 4. 讲解一个实际例子; 5. 图象重建方法在实际问题中的应用。