n维空间

n维空间 n2.1 维空间 n1R,{x,(x,x,？,x):x,R,i,1,2,？,n}xn维空间，其中n是维数，是x的nii12 第个坐标，点称为坐标原点，记为 (0,0,？,0),i 1( 区间 na,b,R,a,b,i,1,2,？,n定义1 设，称集合 iiii I,{x,(x,x,？,x):a,x,b,i,1,2,？,n} (1) 12niii (a,b;a,b;？;a,b)为开区间，记为。按定义，空集也是开区间。 1122nn a,x,b[a,b;a,b;？;a,b]若(1)中的不等式都换为，则称为闭区间，记为 Iiii1122nn a,x,b若(1)中的不等式都换为，则称为左开右闭区间，记为 Iiii (a,b;a,b;？;a,b];同样可以定义左闭右开区间，统称为区间 1122nn 定义2 对任意区间，称 I n I,(b,a)， ,ii,1i 为区间的体积。 I 当然还有无限区间，但以后我们所指的区间都指按定义1给出的区间 2( 距离 x,(x,x,？,x),y,(y,y,？,y)定义3 设，称 12n12n 1n2，，2(x,y) ,ii,,i,1，，x,(x,y)为和的距离，简称为Euclid距离，记为 y nx,y,z,R距离有如下的性质() ,(x,y),0,,(x,y),0,x,y(i) 非负性 且 ,(x,y),,(y,x),(ii) 对称性 ,(x,y),,(x,z)，,(z,y)(iii) 三角不等式 (iii)的证明方法 先证明(有限和) 222，，，，ab,，，ab ,,,iiii 这只需考虑如下的一元二次方程 2222，，，，，，，，ax，2abx，b,ax，b,0 ,,,,iiiiii 的判别式即可 从而 22xyxzzy,,,，,，，,,iiiiii 22xzxzzyzy,,，2(,,)，,,,,iiiiiiii 112222 22xz，，xzzy，，zy,,，2,,，,,,,,iiiiiiii 211,,2222，，，，xzzy,,,,，,,,iiii,,,, 也就证明了(iii) 也很容易得到 (iv) ,(x,y),,(x,z),,(z,y) 因为它等价于 ,(x,y),,(x,z),,(z,y),,,(x,y) 由(iii)，上述不等式是成立的 3( 收敛 n,,x,x,R(m,1,2,？),(x,x),0(m,,),xx定义4 设，若则称点列收敛于，mmm ,,xx记为，称为收敛点列，为点列的极限。 limx,x或x,x(m,,)mmm,,m 用描述如下: ,,N ,,,(x,x),,xx,,,0,，N称收敛到点是指，对，使得当时，。 n,Nmm 我们有如下的连续性定理 x,x且y,y,(x,y),,(x,y),x,x定理1 若，则 特别的, 若， 则 mmmmm,(x,y),,(x,y)(m,,). m 证明:注意到不等式(iv), 我们得到 ,,,,,,(x,y),(x,y),(x,y),(x,y)，(x,y),(x,y)mmmmmm ,,(x,x)，,(y,y)(,0当m,,)mm 4( 邻域 nn,,x,R,,,0x,R:,(x,x),,x定义5 设，称集合为以为心，为半径的邻域，,000 n,,，，x,R:,(x,x),,xOx,,x或称为的邻域，简称为邻域，记为。称为以为心，,0000 为半径的闭邻域，简称为闭邻域，记为。 ，，,Ox,,0 邻域有如下的简单性质 ，，，，，，x,Ox,,Ox,,,Ox,,(i) 若，则，,,,，使得。 101101 0,,,,,,(x,x)，，实际上取即可，因为此时对任意的x,Ox,,，有 10111 ,(x,x),,(x,x)，,(x,x),,，,(x,x),, 0110110 (ii) 在邻域概念之下，点列的收敛性有如下的等价定义 ,,,0,，N,当n,N时, 有x,O(x,,)x,x,对 nm 5( 有界集 nn定义6 设，若存在和，使得，则称是有界集。 A,RA,O(x,,)x,RA,,0 由邻域的性质知道这个定义等价于集合包含在以零点为心某个常数为半径的邻域中。 sup,(x,y)称为集合的直径，记为 diamAx,y,A 关于有界点列，在数学分析中我们已经知道如下的结论 n定理2 (Bolzano-Weierstrass theorem) R中任何有界点列都存在收敛的子列