【WORD论文原稿】新的正项级数微分判别法及其完备性和非标准分析

【WORD论文原稿】新的正项级数微分判别法及其完备性和非分析 免费查阅标准与论文地址: 新的正项级数微分判别法及其完备性和非标准分析 张一方 云南大学物理系数学教研室，昆明 (650091) E-mail:yifangch@sina.com.cn ? 摘 要:对正项级数了一种新的微分判别法: 是正项级数，令 f(x) 是相应的f (k ) ? k =1 1 d 正连续函数，且 [] = g x( ) ，则如果 fgx ?1 + α (α > 0) ，级数收敛;如果 fgx ?1 , f ( x)dx 级数发散。这一判别法是简单的，可以广泛应用的。结合非标准分析，在此论述了微分判别 法的完备性。它也是一般的函数项级数和无穷限积分敛散性的判别法。 关键词:正项级数，判别法，微分，非标准分析 1. 正项级数的微分判别法及证明 级数中最基本、最重要的正项级数的敛散性判别法，从基本的比较判别法和 D’Alembert 比值判别法，Cauchy 根值判别法，积分判别法到 Gauss 判别法，Raabe 判别法，Dirichlet 判 别法，Kummer 判别法，Abel-Dini 判别法等，直到 2005 年已经有十多种[1-3]。但它们的应 用范围都非常有限，有些还比较复杂。借鉴于敛散性的积分判别法，我们提出和证明了微分 判别法。并在此基础上，结合非标准分析，把它应用于某些类型的级数，由此论述了微分判 别法的完备性。 ? 正项级数的微分判别法:如果 是正项级数， f(x)是相应的正的连续函数。令f (k ) ? k =1 d 1 [ ] = g x( ) ，则 x 足够大时 fgx ?1 + α (α > 0) 时级数收敛; fgx ?1 时，级数发散。 dx f ( x) df ( x) d 11d 1 证 明:由于 g ( x) = [ ] = ? [ln f ( x)] = ? ， 因此如 果2 dx f ( x) f ( x) dx dx f ( x) d 1 + αf ( x) fg = ? ，则 从 1 积分 到 x 后得 到 ?ln ( x)] ? ? (1 +α ) ln x ，[ln f dx xf (1) 11f (1) d ? ? f ( x)，所以级数 ( x)] ? [ln f ，积分得和{f(k)收敛;如果} fg = ? ? 1+α k ? ?dx x ? 1+α x f (1) f (1) ?和{f(k)}发散。 ? ln x ， f ( x) ? ? ln ，级数 ? 1 ? ? f ( x) x k ? ? 微分判别法在许多情况下可以取极限形式:如果 lim fgx = c ，则当 c>1 时级数收敛; x?? 当 c<1 时级数发散。此时可以结合 L’Hopital 法则。如果 f 是离散函数 a,把微分作为差n ?1 ?1a?a a? aan +1 nn n+1 n g = = ,lim nfg = lim n( ? 1) = c 就是 Raabe 判别法。在微积运算????nn1 aaa n n+1n +1 11 中 g ( x) = p ，而积分判别法是 f ，二者对称，两种方法互补。如果相应函数为 f(x+a)， - 1 - 免费查阅标准与论文地址: f p 则其先化为 f(x)更加方便。 - 2 - 免费查阅标准与论文地址: 2. 微分判别法的完备性和应用 ? 进一步，微分判别法可以推广应用于函数项级数 ，此时连续函数是 f(x,y)，其f ( x) ? n n =1 d 1 中 x 作为参数。这样 g ( x, y) =，由 fgy ?1 + α (α > 0) 或 fgy ?1 决定级数对[ ] dy f ( x, y) x 的收敛域。它还可以用于判别无穷限反常积分的敛散性:如果 fgx ?1 + α (α > 0) 或者 ?? = c > 1 ，则广义积分 ? 1) 收敛;fgx ?1 或者 c<1，则积分 f ( x)dxlim fgx f ( x)dx, (a ??x?? a a 发散。 因为由初等函数组成的任意复合函数都可以进行微分运算，而且运算简单，所以微分判 别法具有显而易见的优点。但是它在取极限形式时，如果 c=1 则级数的敛散性无法判断，这 揭示出取极限时略去了一个无穷小量α 。然而在微分判别法的一般形式中，计算结果只能 是α >0 或者α ?0 ，因此微分判别法应该是完备的。此时临界区域是 fgx = 1 + α ,α >0 则 级数收敛;α ?0 则级数发散。当 x 足够大时，α 一定是零或者正、负无穷小量，后者就是 非标准分析中零区域的超实数。所以在此情况下，为判断正项级数的敛散性必须应用、结合超实数和非标准分析[4,5]，必须考虑微分中标准部分之外的非标准部分，由此就可以完备地 解决α >0 或者α ?0 的问题。 1 例如，用积分判别 法可以判别的正项 级数 [6] ， (n>1). f (n) =p n(ln n) 1 p p p ?1 。此时用极限形式则 fgx=1 f ( x) =，g ( x) = (ln x) + p(ln x) ，fgx = 1 +p ln x x(ln x) 无法判断，所以必须用一般形式，并结合非标准分析 ?1?1( x + ?x) ? f 1 f p p = {( x + ?x)[ln(x + ?x)] ?x (ln x) } ，g ( x) = ?x?x ?x 1 p p 令 ln(1 + ) = ε ，则 g ( x) = [( x + ?x)(ln x + ε ) ?x (ln x) ] 。因为按照 L’Hopital 法 ?xx x ?x 则 ln(1 + ) = 1 ，所以略去高阶无穷小量后 ?x x p p ?1 p ? 2 ，g ( x) ? (ln x) + p(ln x) + p(ln x) [ln x + ( p ? 1)]ε p ? 1) p( p . ε fgx = 1 +(1 + ε ) +2 ln x ln x 因为 p<1 及 p=1 时 fgx 的作为无穷小量的最后一项，它是负及零，按照微分判别法 fgx ?1 时， 级数发散。而 p>1 时 fgx 的最后一项为正，所以 fgx ?1 + α (α > 0) ，级数收敛。 3. 结论 对各种类型的正项级数的敛散性[1-3,6]进行判断，计算结果表明微分判别法不仅是简单 的，而且毫无例外都可以适用。特别是结合非标准分析时，更具体说明微分判别法的完备性。 同时，它也是一般的函数项级数和无穷限积分敛散性的判别法。 - 3 - 免费查阅标准与论文地址: 参考文献 1. 菲赫金哥尔茨,数学分析原理.第二卷第一分册.北京:人民教育出版社.1962.6-20. 2. G.H.Hardy, A Course of Pure Mathematics, Tenth Edition. Cambridge Mathematical Library. 1993. 3. T.J.I’A.Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series. AMS Chelsea Publishing. 2005. 4. A.罗宾逊,非标准分析.申又棖,王世强,张锦文译.北京:科学出版社.1980. 5. H.Jerome Keisler, Elementary Calculus. Prindle: Weber Schmidt, Incorporated. 1976. 6. B.N.吉米多维奇,数学分析习题集.北京:人民教育出版社.1958. New Differential Test for A Series of Positive Terms, Its Completeness and Nonstandard Analysis Zhang Yifang Department of Physics，Yunnan University，Kunming (650091) Abstract? be a series of positive A new differential test for series of positive terms is proved. Let f (k )? k =1 d 1 terms, f(x) is a corresponding positive continuous function, and ] = g x( ) . Then, if[ dx f ( x) fgx ?1 + α (α > 0) , the series converges; iffgx ?1 , the series diverges. This test is simple, andcan be applied widely. Combining the nonstandard analysis, the completeness of the differential test is discussed. It is also the test of the general series of functions and the infinite integral, whose convergence or divergence may be determined by the differential of the functions. Keywords:positive terms，rest，differential，nonstandard analysis 作者简介:张一方，云南大学物理系教授，长期从事物理系数学教学。1976 年至今已在国 内外发表物理、数学等方面的学术论文 204 篇。 - 4 -