初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典方法
息县六中 陈岳
因式分解是初中一个重点,它牵涉到分式方程,一元二次方程,
所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方
法,希望对大家的学习能有所帮助。
【1】提取公因式
这种方法比较常规、简单,必须掌握。
常用的公式有,完全平方公式、平方差公式等
22x例一,-3x=0
解,x(2x-3)=0
xx =0,=3/2 12
这是一类利用因式分解的方程。
,要发现一个规律就是,当一个方程有一个解x=a时,该式分解
后必有一个(x-a)因式
这对我们后面的学习有帮助。
【2】公式法
将式子利用公式来分解,也是比较简单的方法。 常用的公式有,完全平方公式、平方差公式等 注意,使用公式法前,建议先提取公因式。
1
2例二,-4分解因式 x
2 2 2
,此题较为简单,可以看出4=2,适用平方差公式a -b
2 =(a+b)(a-b)
解,原式=(x+2)(x-2)
【3】十字相乘法
是做竞赛题的基本方法,做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意,它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积a.a12a.ac.c1212c.c,把常数项c分解成两个因数的积,并使ac,ac121221正好是一次项b,那么可以直接写成结果
22x 例三, 把-7x+3分解因式.
分析,先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数),
2,1×2,2×1,
分解常数项,
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法
示下列四种情况,
2
1 1
?
2 3
1×3+2×1 =5
1 3
?
2 1
1×1+2×3 =7
1 -1
?
2 -3
1×(-3)+2×(-1) =-5
1 -3
?
2 -1
1×(-1)+2×(-3) =-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项
代数和恰等于一次项系数,7.
解 原式=(x-3)(2x-1).
3
2总结,对于二次三项式+bx+c(a?0),如果二次项系数a可以分ax
a.a12解成两个因数之积,即a=,常数项c可以分解成两个因数之
c.c12积,即c=,把,排列如下, a,a,c,c1212
c1 a1
?
ac22
ac,ac1221
按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次ac,ac1221
2ax三项式+bx+c的一次项系数b,即=b,那么二次三项ac,ac1221
ax,c22式就可以分解为两个因式x+c1与之积,即 a1
2ax +bx+c=(x+)(x+). acac1122
这种方法要多实验,多做,多练。它可以包括前两者方法。
【4】分组分解法
也是比较常规的方法。
一般是把式子里的各个部分分开分解,再合起来 需要可持续性,
4
22例四, x,4x,4,y
可以看出,前面三项可以组成平方,结合后面的负平方,可
以用平方差公式
22解,原式= (x,2),y
=(x+2+y)(x+2-y)
总结,分组分解法需要前面的方法作基础,可见前面方法的
重要性。
【5】换元法
整体代入,免去繁琐的麻烦,亦是建立的之前的基础上
2 例五,分解因式 (x,y),2(x,y),1
考虑到x+y是以整体出现,展开是十分繁琐的,用a代替x+y
2a那么原式=-2a+1
2 = (a,1)
回代
2原式=(x,y,1)
5
【6】主元法
这种方法要难一些,多练即可
即把一个字母作为主要的未知数,另一个作为常数
2224例六, 16y,2x(y,1),(y,1)x
分析,本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元
会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大
降低了。
2422 原式=---------------------【主元法】 (y,1)x,2(y,1)x,16y
22222 =---------------------【十字相乘(xy,2xy,x,8y)(x,2)
法】
可见,十字相乘十分重要。
【7】双十字相乘法
6
难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如
22的二次六项式 ax,bxy,cy,dx,ey,f
在草稿纸上,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq,np,b,pk,qj,e,mk,nj,d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式,,mx,py,j,,nx,qy,k,
要诀,把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
2ab,b,a,b,2 例七,分解因式
22ab 解,原式,0×1×,ab,,a,b,2
,,0×a,b,1,,a,b,2,
,,b,1,,a,b,2,
【8】待定系数法
将式子看成方程,将方程的解代入
这时就要用到【1】中提到的知识点了
当一个方程有一个解x=a时,该式分解后必有一个(x-a)因式
7
2例八,+x-2 x
该题可以用十字相乘来做,这里介绍一种待定系数法
2我们可以把它当方程做,+x-2=0 x
一眼看出,该方程有一根为x=1
那么必有一因式为(x-1)
结合多项式展开原理,另一因式的常数必为2,因为乘-1要为-2,
一次项系数必为1,因为与1相乘要为1, 所以另一因式为,x+2,
分解为(x-1)(x+2)
【9】列竖式
让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。 要建立在待定系数法的方程法上
不足的项要用0补
除的时候,一定要让第一项抵消
8
32例九,分解因式 3x,5x,2
提示,x=-1可以使该式=0,有因式,x+1,
23x那么该式分解为,x+1,(+2x-2)
因式分解还有许多方法,只是不太常见,就不在此列举了。
考虑到每种方法只有一个例题,下面提供一些题目,供大家练习。
22 (ab,b),(a,b)
9
2222 (a,x),4ax(x,a)
3222223 3abc,6abc,9abc
xy,6,2x,3y
22 (3a,b),4(3a,b)(a,3b),4(a,3b)
(x,2)(x,3),(x,2)(x,4)
12x^2,29x,15
x(y,2),x,y,1
22 4x,4xy,y,4x,2y,3
4322x,13x,20x,11x,2
22 2x,7xy,22y,5x,35y,3
224m,8mn,3n
10
2 4n,4n,15
5ax+5bx+3ay+3by
212ab(x,y),4ab(y,x)
2(x,1)(3x,2),(2,3x)
2x,11x,24 2y,12y,28
2x,4x,5 432y,3y,28y
蚊子与牛一样重
从前有一只骄傲的蚊子,总认为自己的体重和牛是一样重。有一天,它找到了牛,并说出了体重一样的理由。它认为,可以设自己的体重为a,牛的体重为b,则有,
2222a,2ab,b=b,2ab,a
22左右两边分别因式分解为,(a,b)=(b,a)
从而就有,a,b=b,a
移项,得,2a=2b,
即a=b
蚊子骄傲地把自己的理由说完,牛睁大了眼睛,听傻了,
?请同学们想一想,牛和蚊子的体重真的会一样吗,若不一样,
11
那么蚊子的证明究竟错在哪里呢,
?讲这个例子的目的何在,
12