已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰上

已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰上 ????? ????? 已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰 上，MN的中点S作等腰三角形的底边的平行线，交两腰于点K和 L．证明：线段MN在三角形底边上的正投影等于线段KL． 【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克三试题2． 【证】 设M、N在直线KL上的射影分别为D、E，由于MS=SN，所以MD=NE．由于AB=AC，KL?BC，所以?DKM=?AKL=?ALK，又?MDK=?NEL=90?，所以?MDK??NEL，DK=EL，从而DE=KL，即MN在BC上的正投影等于KL． 设四边形ABCD内接于圆O，其对边AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD延长线于点M，自M引MT切圆O于T点，则MT=ME． 【题说】 1957年南京市赛初赛5．利用切割线定理和相似三 角形． 【证】 四边形ABCD内接于圆O，故?1=?2．由ME?AC，得?2=?4，又?1=?3，所以?3=?4，又?EMB=?DME，所以?EMB??DME．从而有 2即 ME=MB?MD 22所以 MT=MB?MD=ME 即 MT=ME 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明这直角三角形为等腰直角三角形． 【题说】 1957年北京市赛高二题4． 【证】 设直角?ABC的斜边长为c，两直角边长为a、b．易知 R=c/2 所以 a=b． 任意四边形ABCD的对角线AC与BD相交于P，而BD与AC的中点是M与N，设Q是P关于直线MN的对称点，过P作MN的平行线，分别交AB、CD于X、Y，又过Q作MN的平行线，顺次交AB、BD、AC、CD于E、F、G、H．试证： 1．EF=GH； 【题说】 1963年成都市赛高二二试题4．同本届高三二试题 4． 【证】 1．P、Q关于MN对称，所以MN平分PQ，又FG?MN，所以MP=MF，从而BF=PD，BP=FD． 同理，有AP=CG，AG=PC． 比较（1）、（2）得EF=GH． ，a，…，a依次 在内角都相等的凸n边形中，设a12n为边的长度，而且满足不等式 a?a?…?a． 12n 证明：必有a=a=…=a． 12n 【题说】 第五届（1963年）国际数学奥林匹克题3．本题由匈牙利提供． 【证】 当n为奇数时，设n=2k+1（k为正整数），?AAA21n的平分线AB交AA于点B（如图）． 1k+1k+2 由于已知n边形的各角都相等，所以AB?AA，因此折线1k+1k+2AA…A与折线AA…A在这条角平分线上的射影都等于AB．另一12k+11nk+21方面，AA?AA，并且它们与AB的交角相等，所以AA的射影?121n112AA的射影．同理AA的射影?AA的射影…．所以上述各式中等1n23nn－1 号均应成立，即a=a=…=a． 12n 当n为偶数时，作AA的中垂线L．考虑各边在L上的射影，12 同样可得a=a=…=a． 12n 在平面上取四点A、B、C、D，已知对任何点P都满足不等式PA+PD?PB+PC．证明；点B和C在线段AD上，并且AB=CD． 【题说】 1966年全俄数学奥林匹克九年级题2． 【证】 由于点P是任意的．可以取P=D，则应有AD?BD+DC；若取P=A，则有AD?AB+AC．将二式相加，得 2AD?AB+AC+BD+CD （1） 然而另一方面，总有AD?AC+CD及AD?AB+BD．因此又得 2AD?AB+AC+BD+CD （2） 由（1）、（2）知 2AD=AB+AC+BD+CD 从而其他4个不等式中皆取等号，亦即B、C两点一定在线段 AD上，而且AB=CD． 凸多边形内一点O同每两个顶点都组成等腰三角 形，证明：该点到多边形的各顶点等距． 【题说】 第六届（1972年）全苏数学奥林匹克九年级题6． 【证】 （1）如果凸多边形是?ABC，则结论显然成立． （2）对n（n＞3）边形，设A、B、C为多边形的任意三个顶 点，则C或在AO、BO的反向延长线组成的夹角内（图a），或C在该角外，即该角与多边形的边DE相交（图b）． 在图a中，点O在?ABC内，由（1），AO=BO=CO． 在图b中，点O在?BDE和?ADE内，故有AO=DO=EO=BO． 设有一圆，它与?O两边相切，切点为A、B．从点A引OB的平行线，交圆于点C，线段OC与圆交于E，直线AE与OB交于K．证明：OK=KB． 【题说】 第七届（1973年）全苏数学奥林匹克九年级题2． 【证】 设圆在点C的切线与?O两边分别相交于P、Q．因为AP=PC，所以?APC和?OPQ皆为等腰三角形，从而AO=CQ=OB=BQ． 又?OAE=?OCA=?COQ，且?AOB=?CQB，从而?OAK??QOC．所以 亦即 OK=KB 圆的内接四边形两条对角线互相垂直，则从对角线 交点到一边中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离． 【题说】 1978年上海市赛二试题6． 【证】 如图，已知ABCD为?O的内接四边形，AC?BD于E，F为AB中点，OG?DC，G为垂足． 因为 AF=FB=EF ?EAB=?AEF 又 ?EAB=90?－?EBA=90?－?GCH=?GHC 所以 ?AEF＝?GHC ， EF?GO 同理可证，EG?FO． 所以EGOF是一个平行四边形， 从而FE=OG． 四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与 四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边 交点连成的线段． 【题说】 1978年全国联赛二试题1． 【证】 设四边形ABCD的对边交点为E、F，并且BD?EF，AC 交BD于H，交EF于G． 由于BD?EF，所以 GF=EG 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。