2018年陕西省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ)

2018年陕西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（  ） A．3﹣2i    B．3+2i    C．﹣3﹣2i    D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（  ） A．{3}    B．{5}    C．{3，5}    D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（  ） A．     B．     C．     D． 4．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 ?（2 ）=（  ） A．4    B．3    C．2    D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（  ） A．0.6    B．0.5    C．0.4    D．0.3 6．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（  ） A．y=± x    B．y=± x    C．y=± x    D．y=± x 7．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（  ） A．4     B．     C．     D．2 8．（5分）为计算S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（  ） A．i=i+1    B．i=i+2    C．i=i+3    D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（  ） A．     B．     C．     D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（  ） A．     B．     C．     D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（  ） A．1﹣     B．2﹣     C．     D． ﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（  ） A．﹣50    B．0    C．2    D．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为　  　． 14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为　  　． 15．（5分）已知tan（α﹣ ）= ，则tanα=　  　． 16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　  　． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离． 20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 21．（12分）已知函数f（x）= x3﹣a（x2+x+1）． （1）若a=3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围． 2018年陕西省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（  ） A．3﹣2i    B．3+2i    C．﹣3﹣2i    D．﹣3+2i 【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i． 故选：D． 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（  ） A．{3}    B．{5}    C．{3，5}    D．{1，2，3，4，5，7} 【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}， ∴A∩B={3，5}． 故选：C． 3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（  ） A．     B．     C．     D． 【解答】解：函数f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣ ＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B． 4．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 ?（2 ）=（  ） A．4    B．3    C．2    D．0 【解答】解：向量 ， 满足| |=1， =﹣1，则 ?（2 ）=2 ﹣ =2+1=3， 故选：B． 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（  ） A．0.6    B．0.5    C．0.4    D．0.3 【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C， 则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P= =0.3， 故选：D． 6．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（  ） A．y=± x    B．y=± x    C．y=± x    D．y=± x 【解答】解：∵双曲线的离心率为e= = ， 则 = = = = = ， 即双曲线的渐近线方程为y=± x=± x， 故选：A． 7．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（  ） A．4     B．     C．     D．2 【解答】解：在△ABC中，cos = ，cosC=2× =﹣ ， BC=1，AC=5，则AB= = = =4 ． 故选：A． 8．（5分）为计算S=1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（  ） A．i=i+1    B．i=i+2    C．i=i+3    D．i=i+4 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）； 累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2． 故选：B． 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（  ） A．     B．     C．     D． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2， 则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0）， C（0，2，0）， =（﹣2，2，1）， =（0，﹣2，0）， 设异面直线AE与CD所成角为θ， 则cosθ= = = ， sinθ= = ， ∴tanθ= ． ∴异面直线AE与CD所成角的正切值为 ． 故选：C． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（  ） A．     B．     C．     D．π 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣ sin（x﹣ ）， 由﹣ +2kπ≤x﹣ ≤ +2kπ，k∈Z， 得﹣ +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z， 取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣ ， ]， 由f（x）在[0，a]是减函数， 得a≤ ． 则a的最大值是 ． 故选：C． 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（  ） A．1﹣     B．2﹣     C．     D． ﹣1 【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0）， 所以P（ c， c）．可得： ，可得 ，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e= ． 故选：D． 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（  ） A．﹣50    B．0    C．2    D．50 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为　y=2x﹣2　． 【解答】解：∵y=2lnx， ∴y′= ， 当x=1时，y′=2 ∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2． 故答案为：y=2x﹣2． 14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为　9　． 【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图， 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z， 由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值， 由 ，解得A（5，4）， 目标函数有最大值，为z=9． 故答案为：9． 15．（5分）已知tan（α﹣ ）= ，则tanα=　 　． 【解答】解：∵tan（α﹣ ）= ， ∴tan（α ）= ， 则tanα=tan（α + ）= = = = = ， 故答案为： ． 16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　8π　． 【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得： ，解得SA=4， SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2 ，圆锥的高为：2， 则该圆锥的体积为：V= =8π． 故答案为：8π． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn= = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16． 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①： =﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解答】解：（1）根据模型①： =﹣30.4+13.5t， 计算t=19时， =﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元； 根据模型②： =99+17.5t， 计算t=9时， =99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离． 【解答】（1）证明：∵AB=BC=2 ，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形， 又O为AC的中点，∴OA=OB=OC， ∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°， ∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC； （2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO= ， 在△COM中，OM= = ． S = × × = ， S△COM= = ． 设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM? ， 解得d= ， ∴点C到平面POM的距离为 ． 20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足； 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2= ，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p= +2=8，解得：k2=1，则k=1， ∴直线l的方程y=x﹣，； 方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|= = =8，解得：sin2θ= ， ∴θ= ，则直线的斜率k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； （2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|= （|AA1|+|BB1|） 由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4， 以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D， 由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4， 则D（3，2）， 过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．． 21．（12分）已知函数f（x）= x3﹣a（x2+x+1）． （1）若a=3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点． 【解答】解：（1）当a=3时，f（x）= x3﹣a（x2+x+1）， 所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3 ， 当x∈（﹣∞，3﹣2 ），x∈（3﹣2 ，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数， 当x∈（3﹣2 时，f′（x）＜0，函数是单调递减， 综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2 ），（3﹣2 ，+∞），上是增函数，在（3﹣2 上递减． （2）证明：因为x2+x+1=（x+ ）2+ ， 所以f（x）=0等价于 ， 令 ， 则 ，所以g（x）在R上是增函数； 取x=max{9a，1}，则有 = ， 取x=min{9a，﹣1}，则有 = ， 所以g（x）在（min{9a，﹣1}，max{9a，1}）上有一个零点，由单调性则可知，f（x）只有一个零点． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为 （θ为参数）， 转换为直角坐标方程为： ． 直线l的参数方程为 （t为参数）． 转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到： + =1 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则： ， 由于（1，2）为中点坐标， 所以： ， 则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， 即：直线l的斜率为﹣2． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|= ． 当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1， 当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2， 当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3， 综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]， （2）∵f（x）≤1， ∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1， ∴|x+a|+|x﹣2|≤4， ∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|， ∴|a+2|≤4， 即﹣4≤a+2≤4， 解得﹣6≤a≤2， 故a的取值范围[﹣6，2]．