2015年西安建筑科技大学数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了2015年西安建筑科技大学数学建模竞赛的规则。
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛
有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们接受相应处理结果。
我们允许西安建筑科技大学数学建模协会公布论文,以供同学之间学习交流,西安建筑科技大学数学建模协会以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
参赛队号:223队
选题题号:B
参赛队员 :
队员1:
队员2:
队员3:
参赛队号: 223 选题题号: B
埃博拉病毒的预测与研究
摘要
埃博拉病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒包括马尔堡病毒属, 属和埃博拉病毒属,其中埃博拉病毒属有五个不同的病毒种。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒。埃博拉病毒有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,当前主流的认知是,埃博拉病毒主要通过接触传播,而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性。但是,埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播!
根据病毒的传播速度,种群中相互感染的规律,隔离治疗人群后的治愈率,以及各种疫情控制措施的严格执行和用药效果等。利用线性回归方程,线性相关性正态性的分析及线性回归方程的控制以及SIR模型等方法,优化了病毒传播规律,种群中相互传染规律及隔离治疗人群后的治愈率以及各种疫情控制措施的严格执行和用药效果等问题。
关键词:埃博拉病毒 传染病 接触传播 线性回归 SIR模型
1、问题的重述
埃博拉病毒(又译作伊波拉病毒)能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒,其生物安全等级为4级(艾滋病为3级,SARS为3级,级数越大防护越严格)。它具有有传染性,主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感,经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染,病毒的潜伏期通常只有5天至10天,感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。发病后1~4天直至死亡,血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率(在50%至90%之间),致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。
当前主流的认知是,埃博拉病毒主要通过接触传播,而非通过空气传播;只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段,埃博拉病毒可能不具有高度的传染性,在此期间接触病人甚至可能不会受感染,随着疾病的进展,病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性;存在似乎天生就对埃博拉免疫的人,痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。
假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩,当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒,而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息,研究回答以下问题:
1、根据猩猩的发病数量和死亡数量,建立一个病毒传播模型,动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播,并预测接下来的在猩猩中的疫情变化,并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;
2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型,综合描述人和猩猩疫情的发展,并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况,并以下述格式给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据;
3、 假设在第41周,外界的专家开始介入,并立即严格控制了人类与猩猩的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况,对比第2问的预测结果说明其作用和影响,给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据,数据格式同问题2;
4、 请依据前述数学模型,分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。
2、问题的分析
本题中关于埃博拉病毒的传播,潜伏的周期,发病数,死亡数,隔离数以及人与猩猩相互感染后的相关性等几个方面开展讨论和研究。
模型一[1]中根据题中提供的猩猩的发病数量和死亡数量,利用SPSS建立出了所需要的各个数量随周期变化的散点图,再根据散点图的分布情况拟合出接下来疫情在猩猩中的发展趋势图形,再根据图形求出所画线的线性回归方程。由发展趋势图形观察出病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播规律并且由线性回归方程预测出接下来的在猩猩中的疫情变化的方程。
模型二[2]中假设在理想条件下首先利用线性相关性及变量的正态性后再结合相互感染的媒介传染病模型根据人与猩猩的疫情发展,建立出各个变量之间相关性的散点图。并由此分析出相互感染的QQ图。利用双变量和偏变量画图的方法,判断出人与猩猩的相关性并建立出人与猩猩疫情发展的模型,预测出接下来疫情在两个群体中的发展规律。并求出所需数据。
模型三中先算出用特殊药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%后的人群治愈率,在利用线性回归方程计算出此时人与猩猩的相关性。结合第二题所用的方法和数据预测出了接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况。
模型四中根据前面三道题所用到的模型及方法,在利用SIR模型列出方程式,得出结果,证明出各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物,检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用。
3、模型的假设
3.1 一般线性回归方程的假设
Y=0+1X+
Yi=0+1Xi+i i=1.2.3...n
回归分析的目的是要通过样本回归函数(模型)尽可能准确的估计总体回归函数(模型)。为保证参数估计量具有良好的性质,要对模型提出若干假设。
(一)、对模型设定的假设
假设1:回归模型是正确设定的。
包括选择正确的变量;选择正确的函数形式。
(二)、对解释变量的假设
假设2:解释变量X是确定性变量,不是随机变量,再重复抽样中取固定值。
假设3:解释变量X在所抽取的样本中具有变异性,而且随着样本容量的无线增加,解释变量X的样本方差区域一个非零的有限常数。
(三)、对假设干扰项的假设
假设4:随机干扰项具有给定X条件下的零均值、同方差和序列不相关性。
假设5:随机干扰项与解释变量X之间不相关。
以上假设也称为线性回归模型的假设,满足该假设的线性回归模型,也称为经典线性回归模型。但这些假设都是针对普通最小二乘法的在违背这基本假设的情况下,普通最小二乘法估计量就不再是最佳线性无偏估计量,因此使用普通最小二乘法进行估计已无多大意义。
3.2 SIR模型的假设
对于埃博拉病毒的数学模型研究,在1996年,就用SIR模型模拟过两个时段埃博拉病毒的爆发。由此他们得到:基本再生率R满足范围1.72<=R<=8.60时,意味着埃博拉病毒的传播性不如以前那么厉害,可以使他们减少潜在的死亡。
近年来,也有一些文献对埃博拉病毒做了研究,现在在这些文献的基础上建立埃博拉病毒感染数量的数学模型。
假设:把研究对象当成理想人群,总人数保持在固定水平N,无迁入迁出及其他原因引起的死亡现象,假设患病之后,治好的人都具有长期免疫力,同时设传染病的潜伏期很短,可以忽略不计,即任何人患病后立即成为传染者。
在这种情况下,把居民分成易感者(S),传染者(I),及移出者(R)三类,分别记为S(t),I(t),R(t).三者之和保持常数之和N即S(t)+I(t)+R(t)=N,病人的日接触率为,日治愈率为,传染期接触数为。
4、符号说明
符号
说明
Y
被解释变量
X
解释变量
0、1
待估参数
随机干扰项
N
总人数
S
易感者
I
传染者
R
移出者
接触率
日治愈率
传染期接触数
5、模型的建立与求解及结果的分析与检测
5.1第一题
“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果(单位:只)
潜伏群体
处于发病状态
累计自愈
累计因病死亡
第80周
第120周
第200周
利用SPSS画出如图所示的散点图,建立回归方程模型,利用回归方程预测所需数据,解出答案。
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的处于发病
45.90
11.740
40
周数
20.50
11.690
40
分析:1、动物的处于发病状态的图
Correlations
猩猩的处于发病
周数
Pearson Correlation
猩猩的处于发病
1.000
-.473
周数
-.473
1.000
Sig. (1-tailed)
猩猩的处于发病
.
.001
周数
.001
.
N
猩猩的处于发病
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.473a
.224
.203
10.480
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
1201.869
1
1201.869
10.942
.002a
Residual
4173.731
38
109.835
Total
5375.600
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
55.635
3.377
16.473
.000
周数
-.475
.144
-.473
-3.308
.002
a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
得出 Sxy=10.480 可求出回归方程表达式为:y=55.635-0.475X 由于sig=0.002<0.01,所以具有相关性
X=80时,y=17.635。X=78,y=18.585。当x>=117时,y <=0。
动物的累计因病死亡的模型
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的死亡
196.88
109.440
40
周数
20.50
11.690
40
Correlations
猩猩的死亡
周数
Pearson Correlation
猩猩的死亡
1.000
.998
周数
.998
1.000
Sig. (1-tailed)
猩猩的死亡
.
.000
周数
.000
.
N
猩猩的死亡
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 猩猩的死亡
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.998a
.996
.995
7.360
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
465046.075
1
465046.075
8585.607
.000a
Residual
2058.300
38
54.166
Total
467104.375
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 猩猩的死亡
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
5.388
2.372
2.272
.029
周数
9.341
.101
.998
92.659
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的死亡
得出Sxy=7.360 回归方程:y=5.388+9.341x sig=0.000<0.01 所以有相关性
X=80时,y=752.668。X=120时,y=1126.308。X=200,y=1873.588
X=78时,y=733.986。X=118时,y=1107.626。X=198,y=1854.906
动物的自愈的模型
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的自愈
98.43
54.690
40
周数
20.50
11.690
40
Correlations
猩猩的自愈
周数
Pearson Correlation
猩猩的自愈
1.000
.998
周数
.998
1.000
Sig. (1-tailed)
猩猩的自愈
.
.000
周数
.000
.
N
猩猩的自愈
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 猩猩的自愈
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.998a
.996
.995
3.713
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
116123.783
1
116123.783
8421.315
.000a
Residual
523.992
38
13.789
Total
116647.775
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 猩猩的自愈
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
2.738
1.197
2.288
.028
周数
4.668
.051
.998
91.768
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的自愈
得出Sxy=3.713 的回归方程y=2.738+4.668x sig=0.000<0.01 所以有相关性
X=80时,y=376.178。X=120,y=562.898。X=200,y=936.338
X=78时,y=366.842。X=118,y=553.562。X=198,y=927.002
“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果(单位:只)
潜伏群体
处于发病状态
累计自愈
累计因病死亡
第80周
1
18
753
376
第120周
0
0
1126
563
第200周
0
0
1874
936
5.2第二题:
在一定条件下人和猩猩会相互感染,基于第一题的条件,本题不仅要考虑人和人之间的传播,猩猩和猩猩之间的传播,而且还有人和猩猩之间的传播。在一定条件下各种传播方式相互影响。要控制疾病在人群中的流行,最根本的是要控制疾病在猩猩之间的传播。假设猩猩和人之间传播相互不影响。根据线性相关性及变量的正态性,各个变量之间相关性的散点图、QQ图,再利用双变量和偏变量画图的方法建立回归方程,如图所示
“虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)
潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第80周
第120周
第200周
人的发病与猩猩的发病之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的处于发病
45.90
11.740
40
人的处于发病
40.25
14.832
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
50.235
5.449
9.219
.000
人的处于发病
-.108
.127
-.136
-.847
.403
a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
得出回归方程y=50.235-0.108x sig=0.403>0.01 所以相关性不大
人的发病状态与星星的自愈之间的关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的自愈
98.43
54.690
40
人的处于发病
40.25
14.832
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
5.705
20.005
.285
.777
人的处于发病
2.304
.467
.625
4.932
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的自愈
得出回归方程y=5.705+2.304x sig=0.777>0.01所以相关性不大
人的发病状态与猩猩的死亡之间的关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的死亡
196.88
109.440
40
人的处于发病
40.25
14.832
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
11.333
40.032
.283
.779
人的处于发病
4.610
.935
.625
4.932
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的死亡
得出回归方程y=11.333+4.610x sig=0.779>0.01 所以相关性不大
人的治愈和猩猩的发病状态之间的关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的处于发病
45.90
11.740
40
人的治愈
303.10
226.894
40
efficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
53.711
2.744
19.577
.000
人的治愈
-.026
.007
-.498
-3.540
.001
a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
得出回归方程y=53.711-0.026x sig=0.001<0.01 所以有相关性
人的治愈和猩猩的自愈之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的自愈
98.43
54.690
40
人的治愈
303.10
226.894
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
26.068
2.037
12.798
.000
人的治愈
.239
.005
.990
44.174
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的自愈
得出回归方程y=26.068+0.239x sig=0.000<0.01 所以有相关性
人的治愈和猩猩死亡之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的死亡
196.88
109.440
40
人的治愈
303.10
226.894
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
52.074
4.066
12.807
.000
人的治愈
.478
.011
.990
44.285
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的死亡
得出回归方程y=52.074+0.478x sig=0.000<0.01 所以有相关性
人的死亡和猩猩的处于发病状态之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的处于发病
45.90
11.740
40
人的死亡
816.35
576.571
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
54.093
2.860
18.911
.000
人的死亡
-.010
.003
-.493
-3.492
.001
a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
得出回归方程y=54.093-0.10x sig=0.001<0.01 所以有相关性
人的死亡和猩猩的自愈之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的自愈
98.43
54.690
40
人的死亡
816.35
576.571
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
21.444
1.654
12.965
.000
人的死亡
.094
.002
.994
56.742
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的自愈
得出回归方程y=21.444+0.094x sig=0.000<0.01 所以有相关性
人的死亡和猩猩死亡之间的关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的死亡
196.88
109.440
40
人的死亡
816.35
576.571
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
42.821
3.295
12.995
.000
人的死亡
.189
.003
.994
56.996
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的死亡
得出回归方程y=42.821+0.189x sig=0.000<0.01 所以有相关性
人的隔离和猩猩的处于发病状态之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的处于发病
45.90
11.740
40
人的隔离
29.45
10.432
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
48.622
5.677
8.565
.000
人的隔离
-.092
.182
-.082
-.508
.614
a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病
得出回归方程y=48.622-0.092x sig=0.614 所以相关性不大
人的隔离和猩猩的自愈之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的自愈
98.43
54.690
40
人的隔离
29.45
10.432
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
13.485
22.158
.609
.546
人的隔离
2.884
.710
.550
4.061
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的自愈
得出回归方程y=13.485+2.884x sig=0.546>0.01所以相关性不大
人的隔离和猩猩死亡之间关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
猩猩的死亡
196.88
109.440
40
人的隔离
29.45
10.432
40
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
26.859
44.336
.606
.548
人的隔离
5.773
1.421
.550
4.063
.000
a. Dependent Variable: 猩猩的死亡
得出回归方程y=26.859+5.773x sig=0.548>0.01 所以相关性不大
人的处于发病状态与周数关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
人的处于发病
40.25
14.832
40
周数
20.50
11.690
40
Correlations
人的处于发病
周数
Pearson Correlation
人的处于发病
1.000
.579
周数
.579
1.000
Sig. (1-tailed)
人的处于发病
.
.000
周数
.000
.
N
人的处于发病
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 人的处于发病
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.579a
.336
.318
12.247
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
2880.061
1
2880.061
19.202
.000a
Residual
5699.439
38
149.985
Total
8579.500
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 人的处于发病
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
25.181
3.947
6.380
.000
周数
.735
.168
.579
4.382
.000
a. Dependent Variable: 人的处于发病
得出回归方程y=25.181+0.735x
X=80,y=83.981。X=120,y=113.381。X=200,y=319.181。
X=78,y=82.511。X=118,y=229.911。X=198,y=170.711。
X=45时,y=58.256。X=50时,y=61.931。X=55时,y=65.606。
X=43时,y=56.786。X=48时,y=60.461。X=53时,y=64.136。
人的治愈与周数关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
人的治愈
303.10
226.894
40
周数
20.50
11.690
40
Correlations
人的治愈
周数
Pearson Correlation
人的治愈
1.000
.996
周数
.996
1.000
Sig. (1-tailed)
人的治愈
.
.000
周数
.000
.
N
人的治愈
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 人的治愈
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.996a
.992
.992
20.247
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
1992171.112
1
1992171.112
4859.425
.000a
Residual
15578.488
38
409.960
Total
2007749.600
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 人的治愈
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
-93.227
6.525
-14.288
.000
周数
19.333
.277
.996
69.710
.000
a. Dependent Variable: 人的治愈
得出回归方程y=-93.227+19.333x
X=80,y=1453.413。X=120,y=2226.733。X=200,y=3773.373。
X=45时,y=776.758。X=50时,y=873.423。X=55时,y=970.088。
人的死亡与周数关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
人的死亡
816.35
576.571
40
周数
20.50
11.690
40
Correlations
人的死亡
周数
Pearson Correlation
人的死亡
1.000
.998
周数
.998
1.000
Sig. (1-tailed)
人的死亡
.
.000
周数
.000
.
N
人的死亡
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 人的死亡
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.998a
.996
.996
35.854
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
1.292E7
1
1.292E7
10047.548
.000a
Residual
48848.863
38
1285.496
Total
1.296E7
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 人的死亡
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
-192.800
11.554
-16.687
.000
周数
49.227
.491
.998
100.237
.000
a. Dependent Variable: 人的死亡
得出回归方程y=-192.8000+49.227x
X=80,y=3745.36。X=120,y=5714.44。X=200,y=9652.6
X=45时,y=2022.415。X=50时,y=2268.55。X=55时,y=2514.685。
人的隔离与周数关系
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
人的隔离
29.45
10.432
40
周数
20.50
11.690
40
Correlations
人的隔离
周数
Pearson Correlation
人的隔离
1.000
.505
周数
.505
1.000
Sig. (1-tailed)
人的隔离
.
.000
周数
.000
.
N
人的隔离
40
40
周数
40
40
Variables Entered/Removedb
Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
周数a
.
Enter
a. All requested variables entered.
b. Dependent Variable: 人的隔离
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.505a
.255
.235
9.124
a. Predictors: (Constant), 周数
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
1080.675
1
1080.675
12.982
.001a
Residual
3163.225
38
83.243
Total
4243.900
39
a. Predictors: (Constant), 周数
b. Dependent Variable: 人的隔离
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
20.219
2.940
6.877
.000
周数
.450
.125
.505
3.603
.001
a. Dependent Variable: 人的隔离
得出回归方程y=20.219+0.450X
X=80时,y=56.219。X=120,y=74.219。X=200,y=110.219
X=45时,y=40.469。X=50时,y=42.719。X=55时,y=44.969。
QQ图
看出个随机变量都符合正态分布
双变量
人与猩猩各种因素之间的相关性
Correlations
人的处于发病
人的治愈
人的死亡
人的隔离
猩猩的处于发病
猩猩的自愈
猩猩的死亡
人的处于发病
Pearson Correlation
1
.517**
.544**
.989**
-.136
.625**
.625**
Sig. (2-tailed)
.001
.000
.000
.403
.000
.000
N
40
40
40
40
40
40
40
人的治愈
Pearson Correlation
.517**
1
.999**
.436**
-.498**
.990**
.990**
Sig. (2-tailed)
.001
.000
.005
.001
.000
.000
N
40
40
40
40
40
40
40
人的死亡
Pearson Correlation
.544**
.999**
1
.465**
-.493**
.994**
.994**
Sig. (2-tailed)
.000
.000
.002
.001
.000
.000
N
40
40
40
40
40
40
40
人的隔离
Pearson Correlation
.989**
.436**
.465**
1
-.082
.550**
.550**
Sig. (2-tailed)
.000
.005
.002
.614
.000
.000
N
40
40
40
40
40
40
40
猩猩的处于发病
Pearson Correlation
-.136
-.498**
-.493**
-.082
1
-.461**
-.461**
Sig. (2-tailed)
.403
.001
.001
.614
.003
.003
N
40
40
40
40
40
40
40
猩猩的自愈
Pearson Correlation
.625**
.990**
.994**
.550**
-.461**
1
1.000**
Sig. (2-tailed)
.000
.000
.000
.000
.003
.000
N
40
40
40
40
40
40
40
猩猩的死亡
Pearson Correlation
.625**
.990**
.994**
.550**
-.461**
1.000**
1
Sig. (2-tailed)
.000
.000
.000
.000
.003
.000
N
40
40
40
40
40
40
40
**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).
偏变量
Correlations
Control Variables
人的处于发病
人的治愈
人的死亡
人的隔离
猩猩的处于发病 & 猩猩的自愈 & 猩猩的死亡
人的处于发病
Correlation
1.000
-.951
-.922
.990
Significance (2-tailed)
.
.000
.000
.000
df
0
35
35
35
人的治愈
Correlation
-.951
1.000
.996
-.948
Significance (2-tailed)
.000
.
.000
.000
df
35
0
35
35
人的死亡
Correlation
-.922
.996
1.000
-.915
Significance (2-tailed)
.000
.000
.
.000
df
35
35
0
35
人的隔离
Correlation
.990
-.948
-.915
1.000
Significance (2-tailed)
.000
.000
.000
.
df
35
35
35
0
“虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)
潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第80周
2
84
56
1453
3745
第120周
0
114
74
2227
5715
第200周
149
319
110
3773
9653
5.3第三题:
“虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)
潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第45周
第50周
第55周
见第二题中的图表通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。
“虚拟人类种群”群体数量预测结果(单位:个)
潜伏人群
处于发病状态
隔离治疗
累计治愈
累计因病死亡
第45周
2
58
50
777
2022
第50周
2
62
54
873
2269
第55周
2
66
56
970
2515
5.4第四题:
建立SIR模型
SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住,感病者可以被治愈,并会产生免疫力,变为移除者。人员流动图为:S-I-R。
大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以冰域的人即非易感者,也非感病者,因此他们将被移除传染系统,我们称之为移除者,记为R类
假设:
1 总人数为常数,且i(t)+s(t)+r(t)=n;
2 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比,比例系数为k(传染强度)。
3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比,比例系数l。称为恢复系数。
可得方程:
模型的分析
由以上方程组的:=p/s-1 p=l/k, 所以i=plns/-s+n.容易看出当t无限大时 i(t)=0;而当p时,i(t)单调下将趋于零;上批示,i(t)先单调上升的最高峰,然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象:p是一个门槛。从p的意义可知,应该降低传染率,提高回复率,即提高卫生医疗水平。
令t→∞可得: ―=2* (―p)/p
所以:δp s0=p+δ,当时,s≈2δ,这也就解释了本文开头的问题,即统一地区一种传染病每次流行时,被传染的人数大致不变。
由前述数学模型可以分析出各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情有很的作用:
1.控制各种疫情的措施的严格执行使得埃博拉病毒的传播率及感染力明显提高。整洁卫生以及健康的生活方式使得病毒的产生大幅度减少;通过进行隔离,中断了埃博拉病毒的传播途径,使得人与猩猩之间的相互感染的个数也明显减少;
2.利用药物治疗病毒,更好的预防,检疫和治疗了埃博拉病毒患者,从根本上解决了埃博拉病毒打病毒对给人们的困难,使得更多的患者恢复健康。
3.药物效果的不断提高可以破坏病毒对药物产生的适时抗体,使病毒来不及产生新的抗体,从而被消灭。
4.疫情控制的严格执行可以使病毒侵入的没有可趁之机,从而争取更多的时间去研究疫苗,拯救生命。
6、模型的优点与不足
优点:1.用简单的数学模型的形式将复杂的病毒传播趋势用图标和方程形式显现出来,更有数学说服力,方便观察;
2.论文中大量结合图表,使论文更加简单化;
3.假设理想化条件下模型成立,方便调查结果的研究。
缺点:
1.题中假设在理想条件下不考虑迁入迁出,出生死亡率及其他非自然因素才能建立所需要的模型,与现实生活存在偏差;
2.文中用线性回归方程计算的人与猩猩之间的相关性存在误差;
3.文字描述少,论文的表达有些许欠缺。
7、参考文献
[1]雷功炎.数学模型讲义[M].2版.北京大学出版社,2009.
[2]张发,李璐,宣慧玉. 传染病传播模型综述[J]. 系统
理论与实践. 2011(09)
[3] 闫萍.具潜伏期的无免疫型传染病动力学模型解的适定性[J].生物数学学报,2008;23(2):245-256.
[4]冯守平,石泽,邹瑾. 一元线性回归模型中参数估计的几种方法比较[J]. 统计与决策. 2008(24)
[5]陈艳国. 回归预测模型的稳健性分析[J]. 西部探矿工程. 2006(02)