《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查23 解三角形应用举例

www.ks5u.com 开卷速查(二十三)　解三角形应用举例 A级　基础巩固练 1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(  ) A．10 海里          B．10 海里 C．20 海里        D.20 海里 解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 ＝ ，解得BC＝10 (海里)，故选A. ：A 2．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进300 m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为(  ) A．300 m        　    B.450 m C．300 m        　D.600 m 解析：如图所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，AD＝300 m，由正弦定理，得 ＝ ，解得cos2α＝ ，则sin2α＝ ，sin4α＝ ，所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300 sin4α＝300 × ＝450(m)． 答案：B 3．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是(  ) A．100 m        　B.400 m C．200 m        　D.500 m 解析：由意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝ h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)． 答案：D 4．如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于(  ) A.       B. C.       D. 解析：由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π. 由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝ ，所以sinα＝ ，所以tanα＝ ＝ . 答案：A 5．[2015·辽宁丹东模拟]如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于(  ) A.         　    B.2－ C. －1      D. 解析：在△ABC中，由正弦定理可知， BC＝ ＝ ＝50( － )． 在△BCD中，sin∠BDC＝ ＝ ＝ －1. 由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝ －1. 答案：C 6．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(  ) A．30°        　B.45° C．60°        　D.75° 解析：依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝ ＝ ＝ ＝ ，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案：B 7．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为__________千米． 解析：由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理，得 ＝ ，即 ＝ ，解得AC＝ (千米)． 答案： 8．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是__________n mile/h. 解析：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝ v，BS＝8 n mile，∠BSA＝45°， 由正弦定理，得 ＝ ，∴v＝32  n mile/h. 答案：32 9．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为__________m. 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ ＝ ＝500( ＋ )(m) 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500( ＋1)(m)． 答案：500( ＋1) 10．已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ 解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5海里，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°， 所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝ ＝ ＝ ， 所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船． B级　能力提升练 11．某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请理由． 解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10cosC，① 在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.② 由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得cosC＝ . ∵∠C为三角形的内角，∴∠C＝60°. 又∠C＝∠D，AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， 故AB＝14，即A、B两点的距离为14. (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下： S△ABD＝ AD·BDsinD， S△ABC＝ AC·BCsinC. ∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC， ∴S△ABD＞S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低． 12．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA＝ ，cosC＝ .