海伦公式

海伦公式 海伦公式的几种证明方法 已知三角形的三个边求它的面积,有公式, 其中S,p(p,a)(p,b)(p,c)Sa、b、c1。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这p,(a，b，c)2个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。 为何会出现海伦公式,由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解a、b、c 决的，于是他得到了海伦公式。 而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。 一种方法是用解三角形基本的知识解决。 1已知三角形的三边为，设， p,(a，b，c)a、b、c2 求证:三角形的面积. S,p(p,a)(p,b)(p,c) 1112222222证明:由正弦定理可得， S,absinCS,absinC,ab(1,cosC)244 2222222a，b,c(a，b,c)22cosC,(),又由余弦定理，从而有 222ab4ab 222222221a，b,c1()(a，b,c)22222S,ab1,() ,ab,2244ab416 11222222222222 ,[4ab,(a，b,c)],[(2ab，a，b,c)(2ab,a,b，c)]1616 112222 ,[((a，b),c)(c,(a,b))],(a，b，c)(a，b,c)(c，a,b)(c,a，b)1616 (a，b，c)(a，b,c)(c，a,b)(c,a，b),,,,2222 (a，b，c)(a，b，c,2c)(c，a，b,2b)(c，a，b,2a),,,, 2222 ,p(p,c)(p,b)(p,a) 即三角形的面积.证毕。 S,p(p,a)(p,b)(p,c) 另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。 证明:在三角形中， ,ABC 海伦公式的几种证明方法 为向量的夹角，则设CB,a,CA,b,BA,c,CB,|a|,a,CA,|b|,b,BA,|c|,c,a,b,C 于是有 c,b,a,C 22222212a,b,(a，b,c). c,(b,a),a，b,2a,b,2 a,b1cosC,,S,|a||b|sinC又因为， B2|a||b| A A 12222S,|a||b|sinC所以 4 1a,b1222222,|a||b|(1,()),|a||b|(1,cosC) 44|a||b| 1222,[|a||b|,(a,b)] 4 1222S,|a||b|,(a,b).于是就有 2 将上述代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。 |a|,a,|b|,b, 1222S,|a||b|,(a,b)在这里还要强调上面得到的用向量表示，在向量深入学习后，就会2 发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识—外积，即 12222S,|a，b|(a，b),|a||b|,(a,b)，从而还有. 2 对于向量这个将几何和代数结合的数学工具，现在高中教学中正在不断重视它，希望这里的一个证明可以给大家提供一点关于向量工具的应用。