高等数学课件：函数的连续性

高等数学课件：函数的连续性 1.7函数的连续性 教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。 教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容: 1.6.1函数的连续性 1 函数在一点的连续性 xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量yfx,()000 ，相应地函数值的增量 ,x ,,，,,yfxxfx()() 00 xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。 lim0,,y00,,x0 x函数fx()在点处连续还可以描述如下。 0 xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数lim()()fxfx,000xx,0 xfx()在点处连续。 0 左连续及右连续的概念。 xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00 x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000 xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00 x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。 0 2 区间上的连续函数 如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。 yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。 x,,,,，,x(,)证明 ，当有增量时，对应的函数值的增量,x ,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,, ,,xx,x,,sin,由于 ， cos1x，,,,222,, ,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,, 45 xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0 意性，在内连续。 yx,sin(,),,，, xya,例2 证明()在内连续。 (,),,，,a,0a,1 x证明 ，当有增量时，对应的函数值的增量,,,,，,x(,),x xxxxx，,,,,,,,yaaaa(1) x由于时，，因此 axa,1lnx,0 xxx, limlim(1)lim(ln)0,,,,,,yaaaxa000,,,,,,xxx xxya,ya,xx因此，在点处连续，由于的任意性，在内连续。 (,),,，, 1.6.2 函数的间断点 xxx如果函数yfx,()在一点处不连续，就称函数yfx,()在点处间断，称为函数000 x的一个间断点。而根据函数连续的定义，函数在点处连续必须满足以下三个fx()yfx,()0条件: x(1) 函数点处有定义; fx()0 2) (存在; lim()fxxx,0 (3) 。 lim()()fxfx,0xx,0 x因此，如果上述条件有一个不能满足，则就是函数fx()的间断点。 0 下面分别给出上述至少有一条不满足时，函数间断的例子。 x情形1 函数fx()点处无定义，存在或不存在 lim()fx0xx,0 sinx例3 讨论函数在处的间断情况。 y,x,0x sinxsinxsinx在处无定义，是它的一个间断点。但lim存在，若将limy,x,0x,0x,0x,0xxx 补充为函数在处的函数值，即 x,0 sinx, 0x,, y, x, ,1 0x,, 则函数在处就变成连续的了。 x,0 ,例4 讨论函数yx,tan在,处的间断情况。 x2 ,,,,limtanxyx,tan在x处无定义，x是它的一个间断点。不存在，但,22x,2 46 。 limtanx,,,x,2 1例5 讨论函数在处的间断情况。 y,sinx,0x 1在处无定义，因此，是函数的一个间断点。时，函数值在与y,sin,1，1x,0x,0x,0x 1之间无限次地振荡，因此不存在。 limsinx,0x 图1.6.2 x情形2 函数点处有定义，但不存在 fx()lim()fx0xx,0 2,xx 0, ,fxx()0 0,,例6 讨论函数 的连续情况. , ,1 0 ，,xx, ，。该函数在的左、右极限都存在，但不相等，因此lim()0fx,lim()1fx,x,0,，x,0x,0 不存在，是它的一个间断点。 lim()fxx,0x,0 x情形3 函数fx()在点处有定义，且存在，但。 lim()fxlim()()fxfx,00xx,xx,00 1,xxsin 0,,例7 fx(),x, ,2 0 x,, 1f(0)f(0)该函数在有定义，且x存在(=0)，但不等于。若将改为其极限limsinx,0x,0x值，即 1,xxsin 0,, fx(),x,1 ,0 0 x,,则函数在处就变成连续的了。 x,0 xxyfx,()如果该函数在点的左、右极限都存在，则称是函数的第一类间断点;否则00xyfx,()称是函数的第二类间断点。在第一类间断点中，若左、右极限相等，则称该间断点0 为函数的可去间断点，如，例3和例7中都是函数的可去间断点;若左、右极限不相等，x,0则称该间断点为函数的跳跃间断点，如例6中的间断点是函数的跳跃间断点。在第二类间断点 xyfx,()lim()fx,,中，又有无穷间断点和振荡间断点。若，称是函数的无穷间断点，0xx,0 47 ,1如例4中是的无穷间断点，例5中是的震荡间断点。 ,xyx,tany,sinx,02x 有些函数除了一点连续外，其他点处均间断。例如 xx, rational , fx(),,0, irrational x, 仅在处连续，其他点均间断。 x,0 1.6.3 连续函数的运算 1 函数和、差、积、商的连续性 x定理1.6.1 设函数和在点处连续，则 fx()gx()0 fx() g()0x,x，，(当时)都在处连续。 fxgx()(),fxgx()(),00gx() 根据连续函数的定义和极限运算法则，立即可以得到证明。 sinxcosxcosx因为与在(,),,，,内均连续，根据定理1.6.1，，在其tanx,cotx,sinxcosxsinx 定义域内都连续。 2 反函数的连续性 I定理1.6.2 设函数yfx,()在区间上单调增加(或减少)且连续，则它的反函数x ,1xfy,()存在并且在相应的区间上单调增加(或减少)且连续。 IyyfxxI,,,{(),}yx 3 复合函数的连续性 ux,,()x定理1.6.3 如果,()x在处连续，fu()在处连续，则复合函数000 xyfxfx,,()()[()],,在处连续。 0 yfu,()ux,,()yfx,[()],对于由连续函数，复合而成的连续函数，有 ，即极限符号和函数符号f可以交换顺序。 lim[()][lim()][()]fxfxfx,,,,,0xxxx,,00 ,yx,例8 证明 幂函数在时连续。 x,0 ,u,,lnlnxxye,证明 可以看成是由函数与ux,,ln复合而成。由于x,0yxee,,, uye,ux,,ln时，函数连续，而函数在整个数轴上连续，因此，由复合函数的连续性 ,yx,定理，函数在时连续。 x,0 1.6.4 初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间(定义域内的区间)内 是连续的。 ln(1)x，例9 求。 limx,0x 48 11ln(1)x，xx解 limlimln(1)lnlim(1)ln1,，,，,,xxe。 ,,,xxx000x xe,1lim.例10 求 x,0x xey,,1,解 令 则当时， y,0.xy,，ln1.x,0，， 所以 xey,11 limlimlim1.,,,1,,,000xyyxyln1，，，yln1，y，， xa,1limln.,a同理可证 ,0xx x，123x，,,例11 求 lim.,,x,,21x，,, 21x，，，21x，x，,1221x，232x，,,,,limlim1,，解 ,,,,xx,,,,2121xx，，,,,, 21x，，，21x，，，22,,,,limln1,，,,,,x,,2121xx，，,,,,1ln,e，，,,,eee. lim1,lim,uxvx,,,，，，，例 12 设 xxxx,,00 lim1uxvx,，，，，，，，，vx，，xx,0lim.uxe,，，则 xx,0 vx,,，，vxvxuxln11，,，，，，，，，，lnux，，，，uxee,,证明 ，， 1ux,1，，，，vxuxux,，,1ln11，，，，，，，，，，，，，，,e. 1 ux,，，，，lim1ln11vxuxux,，,1，，，，，，，，，，，，vx，，，，xx,0limuxe,，，所以 xx,0 lim1uxvx,，，，，，，，，xx,0,e. x,,注 时，上述命也成立。 22cotxlim(13tan)，x例13 求。 ,x0 49 ,解 属于型极限。由例12 得 1 22lim(13tan1)cot，,,xx22cot3xx,0 。 lim(13tan)，,,xeex,0 1fx,例14 讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。 ，，x1,x1,e 解 的定义域为在其定义区间内连续。是xx,,0,1fx,,，,,00,11,,fx，，，，，，，，，， 的间断点，下面判断其类型。 fx，， 1fx,,,limlim. ，，1xx,,00,x1,e1所以是的第二类间断点中的无穷间断点。 x,0fx，， 1fx,,limlim0,，，1,,xx,,111,x,e1 11fx,,,limlim1.，，1，，xx,,11,101,x1,e所以是的第一类间断点中的跳跃间断点。 fxx,1，， 作业 1(求下列极限 ln1，ax，，lim(1) x,0x nx，3,,(2) lim,,,,xx，1,, 1xsin(3) lim1sin，x，，,x0 1sin,x(4) lim,cosxx,2 334xx，2(8) limx,0ln12，x，， 2(指出下列函数在给定点处是否连续,若不连续，指出间断点的类型。 ,sinx,0x,,(1) 于处 fx,x,0，，x, ,1, 0x,, 50 1,x,ex，,1, 0 ,(3)于处 fxax,,, 0 x,0，，, ,1,1sin 0，,xxx, xa,a3(若在处连续，则也在点连续。 fxfx，，，， 2cos, xxc当,,a5(设 其中是已知常数。试选择，使为连续函数。 bc,fxfx,，，，，,2axbxc，,, 当, 51