《泛函分析》教学大纲

《泛函分析》教学大纲 一、课程基本信息 1、课程代码:MA308 2、课程名称(中文):泛函分析 课程名称(英文):Functional Analysis 3、学时/学分:72学时/4学分 4、先修课程:数学分析,高等代数,空间解析几何,微分方程及实变函数。 5、面向对象:数学系本科生 6、开课院系:理学院数学系 7、推荐教学参考书(按作者姓名拼音排序): ●程其襄,张奠宙等:实变函数与泛函分析基础, 高等教育出版社,2004 ●郭大均等:实变函数与泛函分析,山东大学出版社,1986 ● F.黎茨,B.塞克福尔维-纳吉著,庄万等译:《泛函分析讲义》第一卷,第二卷,科学出版社,1981. ●Л.A.刘斯铁尔尼克,B.N.索波列夫著,杨从仁译:《泛函分析概要》,科学出版社,1964. ●W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. ●夏道行,吴卓人,严邵宗,舒五昌编著:《实变函数与泛函分析概要》下册,高等教育出版社,1984 ●K. Yosida, Functional Analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. ●张恭庆,林源渠编著:《泛函分析讲义》上册,北京大学出版社,1990. ●郑维行,王声望:《实变函数与泛函分析概要》下册,高等教育出版社, 1992(第二版) 二、课程的性质和任务 本课程是数学系本科生必修的基础课程,该课程集中了作为现代数学基础的重要的基本思想方法。内容可归纳为空间论、算子论及谱论。 空间论部分,主要讲解空间的线性结构和度量结构以及两者的结合,其中包括度量空间、赋范线性空间和内积空间,以及它们的拓扑结构和空间结构等等。算子论部分,主要讲述关于线性算子或线性泛函的“五大基本定理”(即Riesz 定理,开映像定理,闭图像定理,共鸣定理,Hahn-Banach定理)及其应用。关于谱论,主要讲解有界算子谱论及紧算子谱论的一些基本结论。 三、教学内容和 一、空间理论基础 1.度量空间 ⑴度量空间的定义、性质及例 ⑵完备化 ⑶列紧集与Arzela-Ascoli定理 ⑷ Banach压缩映像原理及应用 2.线性赋范空间 ⑴赋范空间的定义、性质及例 ⑵范数的等价性 ⑶有限维线性赋范空间的性质 ⑷ Minkowski泛函 ⑸ Brower与Schauder不动点定理 ⑹应用 3. 内积空间 ⑴内积空间的定义、性质及例 ⑵正交性 ⑶ Bessel 不等式和Parseval等式 ⑷可分 Hilbert 空间 ⑸应用 二、线性算子理论基础: 1.线性算子与线性泛函 ⑴基本定义及性质, ⑵ Riesz定理及应用 ⑶纲及Baire纲定理 ⑷开映像定理与逆算子定理 ⑸闭图像定理及共鸣定理 2.泛函延拓定理 ⑴ Hahn-Banach定理, ⑵ Hahn-Banach定理的几何形式 ⑶应用 3.共轭空间与弱收敛 ⑴共轭空间 ⑵自反性 ⑶共轭算子 ⑷弱收敛与弱列紧性 。 三、谱理论基础: ⑴谱集及分类, ⑵有界线性算子谱的性质, ⑶紧线性算子 ⑷紧线性算子的谱 ⑸应用 通过本课程的学习: 1. 让学生熟练掌握有关空间和算子的基本理论和基本思想,进一步提高学生的 抽象思维能力和逻辑推理能力。 2. 让学生对现代数学中的公理化方法、特殊与一般以及具体与抽象的联系与差 别有新的认识,增强学生归纳、提炼出蕴含在各相关学科中的数学思想和方法的能力,以及综合运用分析、代数、几何手段处理问题的能力。