黄金分割95095

黄金分割95095 摘要 黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片)花朵)雪花)五角星以及许多动物如昆虫的身体结构，特别是人体部分结构更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，表现在艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。有许多美术家运用它创造了不朽的名著。黄金分割是一门按及其深奥的学问，要人类不断的去寻找)思考，才能对它了如指掌。 关键词 黄金分割;斐波那契数列;黄金比列 引言 世界上万事万物的形式是丰富多彩的，因而关于形体的比列也是多种多样的。人们最常见得一种和谐的比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割是指事物各部分之间的一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分比，这样的比例关系的值大致是1:0.618或0.618:1 即长段为全段的0.618,0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割的起源 “黄金分割”的发现最早要追溯到公元前五世纪希腊著名数学家，哲学家毕达哥拉斯和他的学生们。是他们最先发现五边形的边长与其对角线之比恰为黄金比，并最先找到正五角星的尺规作图法，因此毕氏学派的标志正也成了五角星。公元前四世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割，并建立起比例理论。公元前三世纪前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多科索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关“黄金分割”的论著。《几何原本》第二卷就提出了著名的“黄金分割”问题:分割已知的定线段，使得整个线段和它的一段所构成的长方形与另一段所构成的正方形等积。将问题适当变形就成为以下问题: 给出任意一个线段AB，在其上找一点C，使得较长部分AC和较 ABAC,短部分CB满足这样的条件:。 ACCB ABAC，CBCB1,,1，,1，为了确定C的位置，令x=。 ACACACX 1，51,5和解得两根:，其中第一根是1.618„，这样C点的位22 置就确定了。 1，5,1，5,1.618人们把„及其倒数=0.618„统称为黄金比(黄22 金数)，它被希腊人广泛地应用于建筑和艺术之中。例如，古希腊的巴特农神庙，其高和宽的比非常接近黄金数。中世纪，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家巴巧利称此为“神圣比例”，并专门为此著书说:文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金比应用到他们各自的艺术上，形成了黄金分割学派，把黄金分割与人们的审美观点联系在 一起。“黄金分割”的名称也从此由意大利美术家)工程师列奥那多?达?芬奇在这一时期提出。 斐波那契数列与黄金分割 高中数学必修5的课本封面上有一棵奇妙的树，该树从上往下的树枝数依次是1,1,2,3,5,8,13,21„„其特点是:从第三项起每一项都是它前两项的和。这就是著名的斐波那契数列，该数列是意大利数学家斐波那契于1202年从兔子繁殖的问题中提出，人们为了纪念他，就把这种数列称为斐波那契数列。若设该数列为{},则它的一个递an ,，,,推公式为:，且满足1。我们不禁可以联想到一aaaaan，2n，1n12 个问题:这个数列的一个递推公式已经知道了，我们可不可以求出它的通项公式呢,另外，课本中又提到一个有趣的现象:对于斐波那契 an数列的每一项与它的后一项的值随着n的增大，该比值越来越 an，1 ,1，5接近于黄金分割比例?0.618。这个是偶然的还是必然的呢,2 有没有什么依据呢,这正是本文将要阐述的问题。 2,A，B(，4B,0且B,0),若数列{}满足,则存在实数aaaAan，n，nn21 ,,,,使得新数列{}是以q为公比的等比数列。其中实数满足方aann 2B,A,,B,0,,A,,B,0,程,公比q=A-或。这里通常称方程是递,,, ,A，B推公式的特征方程(相当于将递推公式移项成aaan，2n，1n 210,,,A,B,0,,后，再分别将换成得到)。 ,,,aaaaaan，2n，1nn，2n，1n 对于上述两结论的推导可用待定系数法根据对应项系数相等退出。以下对结论2给出推导过程: 推导 设