实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策

实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策 实验四:无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的 通过上机实验，使学生充分理解Excel软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel应用。 二、预备知识 (一)相关的计算机知识: Windows操作系统的常用操作;数据库的基础知识;Excel软件的基本操作。 (二)实验理论预备知识 现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。该理论假设投资者只关心金融资产(组合)收益的均值(期望收益)和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的差来度量风险的思想。 1、理论假设 (?)市场上存在n?2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许 T,,,,,,(,,,)卖空行为的存在。,代投资到这n种资产上的财富(投,,12n n ,1,,,0资资金)相对份额，它是n维列向量，有，允许，即卖空不受,iii,1 限制。 (?) 用表示所有由n种风险资产的期望收益率组成的列向量。 e TeRRRR,,(,,,) (1) 12n rE(r),(r)p表示资产组合的收益率，和分别为资产组合的期望收益率和ppp 收益率标准差。 nTE(r),,,e,,,, (2) ,pii,1i (?)假设n种资产的收益是非共线性的(其经济意义为:没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。)。这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为: 1 ,,,？,,11121n,,,,,？,,21222n (3) ,Q,,？？？？,, ,,,,？,n1n2nn,, 由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n TaQa,0维列向量,都有。因此整个资产组合的总体方差为: a nn2T,,,,,,,,,,Q,, (4) ,,pijiji,,11j 2、 均值——方差模型 经典的均值——方差模型可以表述为: 2T (5) min,,,Q,p n s.t,,1 (6) ,ii,1 T (7) ,,,,eErR()pp 利用拉格朗日乘数法可以计算在既定期望收益()的前提下最小风险曲线方程e为(8)式: 22,(()/)ErAC,CA1pp22,,,，,,,(())1Er (8) ,pp22BCACCCDC,1// 该式可见(Merton1974)，其中 TTTT,,,,11112CIQIAIQeeQIBeQeDBCAI,,,,,,,,,,为单位阵。均值,方差 ,,E(r)rG模型的解在空间中是图1中的弧线，是投资组合的有效前沿，即ppf投资者根据此线上的点进行投资决策。当只考虑风险资产时，相应的最小方差 1A2w组合点的解(见图2)为: 如果进一步考虑无风险资产，,,,,()ErgggCC rGK投资者可以在资本市场借贷，以调整风险和收益时，有效集位于直线上(见f r图1)，为切点，为无风险利率。同样利用拉格朗日乘数法可以计算出资本Gf 市场线的直线方程为: 2ErrBrArC()2,，,,,，,, (9) pfff 2 均值 KEr()最小标准差资产组合p wGg2A/C ,p 全局标准差最小资产组合点 rf , 标准方差1/C 图1均值—方差模型几何示意图 图2 最小方差抛物线和效率边界 r因此，投资者以无风险利率借入资金，并连同已有资金一起全部投资于某一f 风险资产，所形成组合的预期收益和风险(标准差)正好使组合位于无风险资产的线段的延长线上。 均值均值 最小标准差资产组合效率边界 可行集全局方差最小资产组合点 wwg全局方差最小资产组合点g 00方差方差 图3 最小标准方差双曲线和效率边界 3、多种风险资产的最优投资组合 R, 以上分析表明，在投资组合的期望收益率与投资组合标准差之间的关pp系曲线上，存在一个最低风险(标准差)的投资组合(即最优投资组合)，该投资组合的各项资产投资比重矩阵的计算公式为: CA1CRABAR,,211,,,PP,,,，,，()RWQRQIPPDCCDD 而在此投资组合下的期望收益率和标准差分别为: A1**1,T 其中A=RRQI,,,PPCC TT,,112BRQRCIQIDBCAD,,,,,(0) TT表示种风险资产的期望收益率，(，，，)。RRRR,(,,,)nI=11112n 3 4、无风险资产与多种风险资产的最优投资组合 当无风险资产与多种风险资产的构成投资组合时，首先可以计算出多种风险资产的最优投资组合，即资本配置线与风险资产的有效边界相切的那一点。切点所 R,代表的最有投资组合的期望收益率和标准差的计算公式分别为: pp BARD,1**FR,,，,PP2ACRCACRC,,()FF 式中为无风险资产的收益率。参数、、、的计算同上。RABCDF 在多种风险资产的最有投资组合中各种风险资产的投资比重为: 1,QRRI(),*FW,ACR,F 无风险资产与多种风险资产构成的最优投资组合其风险和收益落在资本配置线,CAL()上, **DDPP,,计算公式为: R,，R,.为该直线的斜率FPP**,CRACRA,,PP 三、实验内容 根据现代资产组合理论，计算无风险资产和风险资产间的最优投资组合比 模型。 重，建立无风险资产与多种风险资产投资组合的动态计算与分析电子四、实验步骤 本实验通过具体的实例应用展开。 1、多种风险资产的最优投资组合。 已知5种风险资产U、V、W、X、Y的期望收益率、标准差，以及它们两两之间的相关系数如下表所示，试计算最有投资组合，并绘制该投资组合的期望收益率与标准差之间的关系曲线。具体步骤如下: (1)在单元格C19 中输入公式=C10*$D$3*D3,在单元格D19中输入公式=D19*$D$4*D3,在单元格E19 中输入公式=E10$D$5*D3,在单元格F19中输入公式=F10*$D$6*D3，在单元格G19中输入公式=G10*$D$7*D3。然后选取单元格区域C19:G19，将其向下一直填充复制到单元格区域C23:G23，得到协方差矩阵。 (2)选取单元格C25 ，在名称框中将单元格的名称改为A，依次将C26、D25、D26 定义名称为B、C.、D。定义单元格名称:依次选取[插入]，[名称]，[定义名称]按钮。 (3)在单元格C25中输入公式 =MMULT(MMULT(TRANSPOSE(C3:C7)，MINVERSE(C19:G23))，{1;1;1;1;1})，计算参数A。 (4)在单元格C26中输入公式 =MMULT(MMULT(TRANSPOSE(C3:C7)，MINVERSE(C19:G23))，C3:C7)，计算参数B。 (5)在单元格E25中输入公式 =MMULT(MMULT({1，1，1，1，1}，MINVERSE(C19:G23))，{1;1;1; 4 1;1})，计算参数C。这里{1，1，1，1，1}表示单位行向量;{1;1;1;1;1}表示单位列向量。 (6)在单元格E26中输入公式=B*C.-A^2,计算参数D。 (7)在单元格C28中输入公式=A/C.，计算最优投资组合的期望收益率;在单元格E28中输入公式=SQRT(1/C.),计算最优投资组合的标准差。 (8)选取单元格区域C30:G30，输入数组公式=TRANSPOSE((C.*C28-A)/D*MMULT(MINVERSE(C19:G23),C3:C7)+(B-A*C28)/D*MMULT(MINVERSE( C19:G23),{1;1;1;1;1})),计算最优投资组合中各资产的投资比例。计算结果如下表所示。 (9)绘制图表的数据格式。在单元格I3:I17中输入给定的期望收益率数据. (10) 在单元格J3中输入公式=SQRT(C./D*(I3-A/C.)^2+1/C.),并将此单元格向下一直填充复制到单元格J17， 计算不同期望收益率下的标准差。 5 (11)选取单元格区域I3:J17，单击工具栏上的[图表向导]按钮，作期望收益率和标准差的平滑散点图，同前面的实验。 (12)在图表区域中单击鼠标右键，在弹出的快捷键中选择打开[源数据]，在其对话框中打开系列选项卡，单击[添加]按钮，然后在[X值]栏中输入=sheet1!$D$3:$D$7,在[Y值]栏中输入=sheet1!$C$3:$C$7,然后单击确定按钮。关于图形的修饰方法同前。 多风险资产期望收益率与标准差关系图 30% 25% 20% 15% 10% 期望收益率5% 0% 0.00%5.00%10.00%15.00%20.00%25.00%30.00%35.00% 标准差 2、多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型 建立一个多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型 具体过程如下。 (1)首先设计已知数据的微调按钮。以资产P的期望收益率为例，设计微调按钮的方法如下:在[视图]菜单的[工具栏]子菜单中单击[窗体]命令，打开[窗体]工具栏，单击[微调项]按钮，然后在D3单元格的位置拖曳出一个矩形[微调项]控件，并调整其大小;将鼠标移到新建立的[微调项]控件上，单击右键，出现快捷菜单中的[设置控件格式]命令，打开[设置控件格式]对话框，打开[控制]选项卡，在[单元格链接]栏中填入$D$3，然后单击[确定]按钮，这样就建立了资产P的微调按钮。用同样的方法可以建立其他资产的期望收益率、标准差以及相关系数的微调按钮。 (2)建立各种资产期望收益率和标准差数值与[微调项]控件的联系。在单元格C3中输入=D3/1000，并将其向下填充复制到单元格C7 ，建立期望收益率微调按钮与期望收益率数值的关系。在单元格E3中输入=F3/1000， 并将其向下填充复制到单元格E7，建立标准差微调按钮与标准差数值的关系，使微调按钮每次调整对应的参数数值变动0.1% 。 (3)建立各种资产之间相关系数数值与相关系数微调按钮的关系。计算各种资产之间的相关系数的单元格及相应的公式如下: 单元格D10，=C11/100-1，为资产P与Q的相关系数;单元格E10，=C12/100-1，为资产P与R的相关系数;单元格F10，=C13/100-1，为资产P与S的相关系数; 单元格G10，=C14/100-1，为资产P与T的相关系数;单元格E11，=D12/100-1， 6 为资产Q与R的相关系数;单元格F11，=D13/100-1，为资产Q与S的相关系数;单元格G11 ，=D14/100-1，为资产Q与T的相关系数;单元格F12，=E13/100-1，为资产R与S的相关系数;单元格G12，=E14/100-1，为资产R与T的相关系数;单元格G13，=F14/100-1，为资产S与T的相关系数。这样可使微调按钮每次调整对应的参数值变动0.01。 (4)输入计算协方差矩阵的公式。各单元格的计算公式为: 单元格C19，=C10*E3*E3;单元格D19，=D10*E3*E4;单元格E19，=E10*E3*E5; 单元格F19，=F10*E3*E6;单元格G19，=G10*E3*E7。 单元格C20，=D19;单元格D20，=D11*E4*E4;单元格E20，=E11*E4*E5;单元格F20，=F11*E4*E6;单元格G20，=G11*E4*E7。 单元格C21，=E19; 单元格D21， =E20;单元格E21，=E12*E5*E5;单元格F21，=F21*E6*E5;单元格G21，=G12*E7*E5。 单元格C22，=F19;单元格D22，= F20; 单元格E22，=F21;单元格F22，=F13*E6*E6;单元格G22，=G13*E7*E6。 单元格C23，=G19;单元格D23，=G20;单元格E23，=G21;单元格F23，=G22; 单元格G23，=G14*E7*E7。 (5)分别选取单元格C25，C26，E25，E26，对其重新命名，分别为A，B，C.,D。 (6)在单元格C25 输入公式 =MMULT(MMULT(TRANSPOSE(C3:C7)，MINVERSE(C19:G23))，{1; 1;1})，计算参数A。 1;1; (7)在单元格C26中输入公式 =MMULT(MMULT(TRANSPOSE(C3:C7)，MINVERSE(C19:G23))，C3:C7)，计算参数B。 (8)在单元格E25 中输入公式 =MMULT(MMULT{1，1，1，1，1}，MINVERSE(C19:G23))，{1;1;1;1;1})，计算参数C。 (9)在单元格E26中输入公式=B*C.-A^2,计算参数的。 (10)在单元格C28中输入公式=A/C.，计算最优投资组合的期望收益率;在单元格E28中输入公式=SQRT(1/C.)，计算最优投资组合的标准差。 (11)选取单元格区域C30:G30，输入下面的数组公式，计算最优投资组合中各项资产的投资比例: =TRANSPOSE((C.*C28-A)/D*MMULT(MINVERSE(C19:G23),C3:C7)+(B-A*C28 )/D*MMULT(MINVERSE(C19:G23),{1;1;1;1;1}))。 7 B C D E F B 1 已知数据 2 资产 期望收益率 收益率调节 标准差 标准差调节 3 P 7.60% 76 6.20% 62 4 Q 5.60% 56 8.10% 81 5 R 10.20% 102 7.00% 70 8 6 S 6.70% 67 4.50% 45 7 T 15.90% 159 6.00% 60 8 相关系数 9 资产 P Q R S T 10 P 1 0.27 -0.11 0.48 0.10 11 Q 127 1 0.27 0.09 0.21 12 R 89 127 1 0.46 0.12 13 S 148 109 146 1 0.26 14 T 110 121 112 126 1 A B C D E F 16 中间计算参数 17 协方差矩阵 18 资产 P Q R S T 19 P 0.38% 0.14% -0.05% 0.13% 0.04% 20 Q 0.14% 0.66% 0.15% 0.03% 0.10% 21 R -0.05% 0.15% 0.49% 0.14% 0.05% 22 S 0.13% 0.03% 0.14% 0.20% 0.07% 23 T 0.04% 0.10% 0.05% 0.07% 0.36% 24 参数 A、B、C、 D计算 25 A 71.53 C 743.59 26 B 10.21 D 2474.43 27 最优投 资组合 28 期望收益率 9.62% 标准差 3.67% 29 资产 P Q R S T 30 比重 20.77% 7.20% 15.19% 32.04% 24.79% 31 (12)设计绘制图表的数据格式，在单元格I18:J32中输入给定的期望收益率数据。在单元格J18中输入公式=SQRT(C./D*(I18-A/C.)^2+1/C.),并将此单元格向下一直填充复制到单元格J23，计算不同期望收益率下的标准差。 9 I J 16 绘图数据 17 期望收益 率 标准差 18 0% 6.42% 19 2% 5.56% 20 4% 4.79% 21 6% 4.17% 22 8% 3.77% 23 10% 3.67% 24 12% 3.89% 25 14% 4.38% 26 16% 5.07% 27 18% 5.88% 28 20% 6.77% 29 22% 7.71% 30 24% 8.69% 31 26% 9.70% 32 28% 10.72% (13)选取单元格区域I18:J32， 单击工具栏上的[图表向导]按钮绘制[平滑散点图]，其他步骤同前。最后得到投资组合期望收益率与标准差的曲线。 多种风险资产的期望收益率与标准差关系曲线 30% 25% 20%系列115%系列210% 5%期望艘益率 0% 0.00%2.00%4.00%6.00%8.00%10.0012.00 %% 标准差 通过对各种资产的期望收益率和标准差，以及各种资产之间相关系数的大小进行调节，可以观察计算结果的变化及图形的变化情况，从而可以很方便地分析各种不同风险资产的期望收益率、标准差，以及相关系数下的最优投资组合情况。上面以5种风险资产的情况为例介绍了多项风险资产投资组合的动态计算与分析模型的建立过程。利用上述方法同学们可以建立任意多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型。 10 3、无风险资产与多种风险资产的最优投资组合 在上例所给的条件中，若投资组合中除了包括U、V、W、X、Y五种风险资产外，还包括一项无风险资产，其收益率为R=6% 。试确定最优投资组合，并F 绘制投资组合的期望收益率与标准差的关系曲线。 计算步骤如下: )选取单元格F3 ，在[插入]菜单的[名称]子菜单中选择[定义]命令，在出现(1 的[定义名称]对话框中，将所选取的单元格定义为rf。 (2) 相关系数、协方差矩阵以及参数A、B、C、D的计算与上例同。 (3)在单元格C28 中输入公式=(B-A*rf)/(A-C.*rf)，计算最优投资组合的期望收益率;在单元格E28 中输入公式=SQRT(D/C./(A-C.*rf)^2+1/C.),计算最优投资组合的标准差。 (4)选取单元格区域C30:G30，输入下面的数组公式，计算在考虑无风险资产存在时风险资产的最优投资组合: =TRANSPOSE(MMULT(MINVERSE(C19:G23)，C3:C7-rf*{1;1;1;1;1}))/(A-C.*rf))。 A B C D E F G 1 已知数据 2 期望收益 资产 率 标准差 无风险资产收益率 3 U 15.0% 7.0% 6% 4 V 12.0% 5.0% 5 W 13.0% 10.0% 6 X 18.0% 20.0% 7 Y 14.0% 8.0% 8 相关 系数 9 资产 U V W X Y 10 U 1 0.56 0.08 0.32 0.5 11 V 0.56 1 0.37 0.08 0.28 12 W 0.08 0.37 1 0.35 0.13 13 X 0.32 0.08 0.35 1 -0.1 14 Y 0.5 0.28 0.13 -0.1 1 15 16 中间计算参数 17 协方差矩阵 18 资产 U V W X Y 19 U 0.49% 0.20% 0.06% 0.45% 0.28% 20 V 0.20% 0.25% 0.19% 0.08% 0.11% 21 W 0.06% 0.19% 1.00% 0.70% 0.10% 22 X 0.45% 0.08% 0.70% 4.00% -0.16% 23 Y 0.28% 0.11% 0.10% -0.16% 0.64% 24 参数A、 B、C、D的计算 25 A= 59.72266 C= 472.8945 26 B= 7.83521 D= 138.4309 11 27 最优投资组合 28 期望 收益 率 13.56% 标准差 4.91% 29 资产 U V W X Y 30 比重 22.51% 41.61% 6.80% 5.95% 23.13% (5)在单元格I3:I17中输入给定的期望收益率数据。在单元格J3中输入公式 =SQRT(C./D*(I3-A/C.)^2,并将此单元格向下一直填充复制到单元格J17， 计算仅有风险资产构成的投资组合不同期望收益率所对应的标准差。 (6)在单元格J18中输入0% ，在单元格J19中输入=E28 ，在单元格J20中输入20%，在单元格K18中输入公式=rf+D*$E$28/(C.*$C$28-A)*J18,并将其往下一直填充复制到单元格K20，得到资本配置线上收益率与标准差的三对数据。 I J K 1 绘图数据 2 期望收益 率 标准差 资本配置线CAL上的收益率 3 0% 23.79% 4 2% 20.18% 5 4% 16.60% 6 6% 13.09% 7 8% 9.71% 8 10% 6.69% 9 12% 4.74% 10 14% 5.25% 11 16% 7.74% 12 18% 10.94% 13 20% 14.38% 14 22% 17.92% 15 24% 21.51% 16 26% 25.14% 17 28% 28.78% 18 0% 6.00% 19 4.91% 13.56% 20 20% 36.80% (7)选取单元格区域I3:J17，绘制[平滑散点图] ，步骤同前。这里要注意无风险资产数据的添加。单击[添加]按钮，添加系列3，然后在[x值]栏中输入=sheet1!$J$18:$J$20,在[Y值]栏中输入=sheet1!$K$18:$K$20。单击[确定]按钮。 如下图所示。 12 无风险资产与多风险资产期望收益率与标准差关系图 40% 30% 20%期望收益率 10% 0% 0.00%10.00%20.00%30.00%40.00% 在上图中，向右开口的双曲线代表的是仅有风险资产的投资组合，其中的上半支标准差 为风险资产的有效投资组合，即效率边界。 直线代表的是无风险资产和风险资产构成的投资组合，直线与双曲线的切点即为无风险资产和风险资产的最优投资组合。 4、无风险资产与多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型 以无风险资产与5种风险资产构成的投资组合为例，建立一个无风险资产与多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型。各种以合资数据的微调按钮设 B、C、D的计算与前面一致。所不同的是，该模计、协方差的计算、参数A、 型中增加了一个无风险资产收益率的微调按钮，其单元格链接为$G$4,单元格G5中的计算公式为=G4/1000，从而使每次调节对应的无风险资产收益率变动0.1% . B C D E F G 2 资产 期望收益率 收益率调节 标准差 标准差调节 3 P 12.20% 122 6.20% 62 4 Q 11.10% 111 7.30% 73 70 5 R 11.40% 114 7.00% 70 7.00% 6 S 13.10% 131 6.90% 69 7 T 15.90% 159 8.60% 86 8 9 资产 P Q R S T 10 P 1 0.12 0.49 0.54 0.18 11 Q 112 1 0.31 0.14 0.21 12 R 149 131 1 0.46 0.12 13 S 154 114 146 1 0.26 14 T 1 13 118 121 112 126 15 16 中间计算参数 17 协方差矩阵 18 资产 P Q R S T 19 P 0.38% 0.05% 0.21% 0.23% 0.10% 20 Q 0.05% 0.53% 0.16% 0.07% 0.13% 21 R 0.21% 0.16% 0.49% 0.22% 0.07% 22 S 0.23% 0.07% 0.22% 0.48% 0.15% 23 T 0.10% 0.13% 0.07% 0.15% 0.74% 24 参数A、B、C、D计算 25 A 59.6397 C 476.9325 26 B 7.7210 D 125.5148 27 最优投资组合 28 期望收益率 13.51% 标准差 4.98% 29 资产 P Q R S T 30 比重 26.17% 14.08% 3.61% 20.92% 35.21% 绘图数据列示在单元格区域I18:K35中。单元格J18 中的计算公式为=SQRT 14 (C./D*(I18-A/C.)^2+1/C.),并将其往下一直填充到单元格J32。在单元格J33中输入0%， 单元格J34 中输入=E28， 单元格J35中输入20% ，单元格K33中输入=rf+D*$E$28/(C.*$C$28-A)*J33,并将其往下一直填充复制到单元格K35。 I J K 16 绘图数据 期望收益 17 率 标准差 18 0% 24.80% 19 2% 20.98% 20 4% 17.20% 21 6% 13.48% 22 8% 9.90% 23 10% 6.69% 24 12% 4.68% 25 14% 5.43% 26 16% 8.21% 27 18% 11.65% 28 20% 15.31% 29 22% 19.07% 30 24% 22.87% 31 26% 26.70% 32 28% 30.55% 33 0% 7.00% 34 4.98% 13.51% 35 20% 33.14% 36 这样，无风险资产与多种风险资产投资组合的动态计算与分析模型就建立完毕。通过对各项资产的期望收益率和标准差，以及各种风险资产之间的相关系数的数值调节，可以观察最优投资组合计算结果的变化及投资组合图形的变化情况，从而可以很方便地分析不同期望收益率、标准差以及相关系数下的最优投资组合。 多种风险资产的期望收益率与标准差关系曲线 35% 30% 25%系列120%系列215%系列310%期望艘益率5% 0% 0.00%10.00%20.00%30.00%40.00% 标准差 15