三棱锥的三组相对的棱分别相等的四面体体积求法

三棱锥的三组相对的棱分别相等的四面体体积求法 构造几何模型，巧解一个三棱锥问(2013.5.2) 李守峰(山东临沂沂州实验学校) 22问题:三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为，m，n，其中, 求该mn，,62 三棱锥体积的最大值 说明:这里渗透一点高等数学的方法，他 是高中的拓展，有利于大家对相关内容的提升。近几年，中学内容通告中内容结合成为高考命题的热点～ 解 如图构造长方体，在长方体中的四面体即满足条件 xyzACD:1，，,Bbac(,,)平面，点 11bac xyzACD:1，，,DACD,D到平面的距离可用点到平面的距离表示，而四面体的体11bac 积易求，所以的面积也易求(或者运用秦九韶求)，而B到平面的距离也可用点ACD11 xyz到平面的距离表示 ACD:1，，,1bac 22222因此四面体的体积也就可以表示出来，再结合条件，，bc，,2abm，, 22222， bcn，,mn，,6 112，Vabc,，， d,d,DACD,,DACD,,BACD1,1116111111，，，，222222bacbac 所以 dd,2BACDDACD1,,,11 11所以VabcSd,,， DACDACDDACD,,,,,11163 1abc所以 ,S,ACD136dDACD,,1 11abc 所以,，,，,VSddabcBACDACDBACDBACD111,,,,1111363dDACD,,1 2222222222bc，,2abm，,bcn，,mn，,6由条件，，， 12222得abc，，,，,(62)4，所以 aa,,2,22 222224222,，，,，，,，abcbcbc所以 bc,1bc,,1所以，当且仅当时等号成立 12这时Vabc,, ()BACD1max,133 本题本意为构造模型运用割补法解决 11VVVVVVabcabcabc,,,,,,,，,4 BACDABCDABCDAABDDACDCBCDBACB,,,,,,11111111111111163 其余过程同上～