动量守恒定律的平均速率表示及其应用

动量守恒定律的平均速率表示及其应用 第l9卷第2期洛阳师专20O0年4月 垫重堑一 (河南省医药学校,河南开封475001) 篓玄廊臂I,关键词:动量;守恒;即时速度;平均速度刃n111'———一———_——一? —————一,I?.『中图分类号:0313.2-文献标识码:A文章编号:.1007— 2~69(2000)02+0055—03—_-—____?_一 TheExpressionandApplicationoftheAverageVelocityoftheLawofConservation WEIYing-shuong (HenonPhammconticalSchool,Kaifeng475001,China) Abstract:Thelawofconservationofmomentumiswidelyapplied,underthecircumstanceofogledimension,the formulashouldbe=constant,amongwhichV,Ivelocib,.IfV,,theaveragevelocit3,ofobjectsb eforeor aftercollision,istoreplaceVl,EralVl=constantConbeprovedtobetnJe.Undercertaincircu mstances,itw0uld beused/1101~convenientlythanitsoriginalform. Keywords:momentum;consm'vation;immediatevelocity;averageveloci~, 自然界中,不论是宏观物体的相互作用,还 是微观粒子之间的相互作用,都服从动量守恒定 律.动量守恒定律的矢量数学表达式为:? = 恒矢量.若将它沿坐标轴投影可得到其标量 式.在一维情况下,可表示为:?miV.=恒量.此 式指的是,当系统所受台外力为零时,系统内各 物体作用前后总动量保持不变.故表达式中的速 度对应的是物体相互作用前后两状态的即时速 度. 1动量守恒定律的平均速度表达式 1.1公式的导出 设有若干物体,质量分别为m.,,m3…, 沿同一直线向同一方向作匀变速运动.物体发生 相互作用时,除了彼此间的内力外,不受任何外 力作用.设这些物体相互作用前的速度为v ,v3…;相互作用后的速度为V,, 收稿日期:2000—01—1l 作者简介:魏莹霜(1954一).女,河南省渐川县人.高级讲师 则,依据动量守恒定律可得: m1V12+m2,TIbV+… =m1V1】+m21+TIbv3I+…(1) 设:各物体由V.变化到的平均速度为 .,因为这些物体始终作匀变速直线运动,所以 = {(V1j+V),即:V12=2一VlI 同理,=(v2.+v),即:v丑=9.V一 ,={(+),即:=2_3一v31 将VI2=2VI—Vll1V丑=2V2一V V=2V3一V",代人(I)式,整理后得 呻Vl1】TIbv|】+… =113lVIV2TIbV3+…(2) 若各个物体原来是静止的 即V【'==V3l…--0.则有 113】V1V2TIbV3+…=0(3) 56洛阳师专2000年 (2),(3)两式即为平均速度表示的动量守 恒定律公式. 1.2公式的推广 在1.1中,以平均速度表示的动量守恒定律 公式是在假定各物体作匀变速运动的特殊情况下 推导出来的.它们在一般情况下是否成立呢?利 用质点系的质心运动定理,可以证明它们在一般 情况下也是成立的. 设质点系的质心在x轴上的坐标在系统内 各质点相互作用的开始时刻为x.经过时间 后,质心在x轴上的坐标为)(r,根据质心位置计 算公式有: x西=?m.X,Mx=?IT].X./M 式中,X.分别表示开始时到和经过?t 后,质电m的坐标,M:?m是质点系的总质 量. 在?1时间内质点系质心在X轴上的位移为: ):Xc—X【D=?m.X.,M一?mX/M ? :1/Nx【(IqllXl+Ht2x2+…)一 (岫Xl0+I【bx?+…+II_X柏jJ =l,Mx[ml(Xl—x】.)+hi2(—x?) ……+‰(xX)J :l/Nx(ml?x】+?+……+ ‰?) 两边同除以?t c~,dAt:1/Mx(ITIlL,?t+2,?【+… …+IT1|I?,?t) 即MVcx=mlV1x+V2x+……+‰V不x 因质点系在x轴上动量守恒的条件为 ?n=0 再根据质点系的质心运动定理在x轴上的分量 式Macx=?Fx可知,质点系在x轴上的动量守 恒时,质心在x轴上的加速度acx=0. 叉因警 所以V=恒量,这时V:Vcx,所以V=恒 量.叉因质点系总质量M是一定的,所 MV:恒量 即:ITILV1x+吨Vn+…+‰V:恒量, 这就是前面推导出一维情况下的(2)式. 若质点系的质心开始时刻的速度.=0, 则有mv1x+2x+…+IT1|I=0,这就是前面 的(3)式. 正因为以平均速度表示的动量守恒定律公式 在一般情况下也是成立的,所以对于相互作用的 物体作匀变速直线运动或非匀变速直线运动都可 用平均速度代人动量守恒公式进行计算.2平均速度表达式的应用举例 设:在水平桌面上放有一个三角形滑块,质 量为M.在滑块的斜面上放有一个小木块.质量 为m,如图l所示如果所有表面都是光滑的 求木块从斜面顶端滑到底端这一过程中,三角形 滑块后退的距离. 瑚1 2.1传统解法 应用动量守恒定律和机械能守恒定律来解. 当m由静止开始沿斜面滑到底端时,设其速 度大小为此时滑块M水平向右运动的速度 大小为V. 取木块ITI和滑块M为研究对象.它们除受 竖直向下的重力外,还受到竖直向上的桌面支持 力.由于支持力在滑块M运动过程中不做功,所 满足机械能守恒的条件.同时,叉由于它们在 水平方向上不受任何外力,从而满足水平方向上 的动量守恒的条件. 由机械能守恒定律可列出: n】曲:{×mV+1xMV(4) 在列水平方向上的动量守恒方程时,我们需 先求出木块速度v?的水平分量,因木块相对于 地的速度v瑚是木块相对于斜面的速度和随 着滑块运动的速度的合速度即::+ 如图2所示,V的水平分量应是(Vimcos0一 v)所以,由水平方向动量守恒可列出: 0:MV—m(vcos0一vM)(5) (4)式和(5)式中共有三个未知量,V,v.?,,因 此还需再列一补充方程,从图2可以看出: I=|+' 而=v雠一V:(c0曲一v) 第2期魏莹霜动量守恒定律的平均速度表示及其应用57? v=v=v.siI.. 从而得:Vm=(vo0一vM)+(vs)(6) YI 抽v^_V /一 ,_,,^r=,一 2 由(4),(5)和(6)式可以解得v和v的数值.再利 用题中所给高度h,可求得术块m从滑块顶端滑 到底端所用时间t,进而可求得在此时问内滑块 后退的距离. 2.2用公式(3)的解法 若用平均速度表示的动量守恒定律公式来解 此题,就显得简单快捷. 因术块m沿滑块斜面下滑过程中,m与斜面 之间的相互作用力始终不变,m和M各自作匀变 速直线运动,故可用公式(3)解之. 如图(3)所示,以滑块底端原来位置处为x 轴原点,并设m从高为h处滑到滑块底部所需时 间为t,在这段时间中,m相对滑块运动的平均速 度值为,滑块相对水平桌面后退的平均速度 值为,滑块后退的距离为x. 园V在水平方向上的分量Vx=一V ?se.所以m相对于水平桌面的平均速度 绝= 一 V章+一Vx=章一c0s臼. = × 0× 图3 由于m和M组成的系统在水平方向上动量 守恒,根据(3)式得: Mv+mV:0 即:M+m(一cosO):O V—=一Vo0s8×(m+M) 而t:h/(vsin@) 所以X=×t=[(m+M)]×c0x hsin@] = [mh,(m+M)]×ct 3结论 综上所述,本人认为,在向学生讲述了动量 守恒定律之后,还应利用辅导课时问,向学生介 绍一下用平均速度所表示的动量守恒定律公式. 这样即可以拓宽学生的学习思路,扩大知识领 域,又可提高学生的分析问题和解决问题的能 力.