三棱锥体积更位法的应用.doc

三棱锥体积更位法的应用.doc 三棱锥体积更位法的应用 乌兰察布市察右前旗一中 张志忠 在立体几何中,求点到平面的距离可转化为求三棱锥的高, 三棱锥的高可通过三棱锥面积的更位简单求出。 问题一,在长方体ABCD,ABCD中,AB,a,BC,b,1111 BB,c 1 ,1,求顶点B到截面ABC的距离d, 1 1111,2,证明,，， 2222dcab 解,如图1所示 ,1,作BE?AC,垂足为E,连BE, 1 ?BB?平面ABC,?BE?AC 11 ab ?BE?AC,BC?AB即BE, 22a，b 2222ab2?BE,, ，1C，BBBE122ab， C1 D1 A1 B1 由V,V ,,1.1BABCABBCD C E 11A B 得×AC×BE×d 132图1 11,×BC?BB?AB 32 22ab222cd，22a，b?,a.b.c ab， a.b.c d, 即,222222ac，bc，ab 1111,，，2222,2,由,1,得 dabc 问题二,正四面体S,ABC中,AB,1,M是SA的是中点,求BM与AC间的距离。 解,取SC的中点为N,连结MN,BN,BM则MN//AC,?AC//平面BMN,所以点A到平面BMN距离d就是异面直线BM与AC间距离。 取?ABS的中心为O,连OC则CO?BM于O。 C 26,,3222BCBO1,,,，,,则OC,, ,,N 233,, A B O M 6?点N到平面ABS距离为 S 6 13连AN,又BN,,MN,,由V,V,,NABMABNM 22 2211136,,1131,,，，，，,,,,,得, d , ,,322262，324,,,, 22 D,? 11 问题三,已知D、E、F分别是三棱锥S,ABC的侧棱SA,SB,SC上的点,且SD:DA,SE:EB,2:1,SF:FC,1:2,求过D、E、F的平面截三棱锥S,ABC所得上、下两部分的体积比。 解,过D、A作平面SBC垂线DM,AN,M,N为垂足,则DM//AN过DM,NA平面ASP交平面SBC于SP,在?ASN中,?DM//AN,?DM/AN,SD/SA,2/3,?MD,2/3NA 已知SE,2/3SB,SF,1/3SC 由V,V,1/3×1/2?SE?SF?Sin?BSC ,,SDEFDSEF V,V,1/3×1/2?SB?SC?Sin?BSC ,,SABCASBC A 4V221SDEF,,,，，D V33327SABD,E B S M N P F V4B SDEF,, V23棱台DEF-ABC 即过D、E、F的平面截三棱锥S,ABC所得上,下两部分的 体积比为4?23。