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三角形的旁心

2017-09-18 15页 doc 32KB 100阅读

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三角形的旁心三角形的旁心 2O07年第5期5 三角形的旁心 黄全福 (安徽省怀宁县江镇中学,2~142) (本讲适合高中) 三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的 旁心,它是三角形一个内角的平分线和其他 两个内角的外角平分线的交点.显然,任何三 角形都存在三个旁切圆,三个旁心. 鉴于三角形旁心的位置关系(都在形外) 和数量关系(存在三个),决定了它具有许多 有用的几何性质.本文仅给出如下三条. 性质1旁心与内心关系密切. 若三角形中同时出现内心,旁心,就构成 了三组三点共线,三组四点共圆. 收稿日期:2006—12—04 如图1...
三角形的旁心
三角形的旁心 2O07年第5期5 三角形的旁心 黄全福 (安徽省怀宁县江镇中学,2~142) (本讲适合高中) 三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的 旁心,它是三角形一个内角的平分线和其他 两个内角的外角平分线的交点.显然,任何三 角形都存在三个旁切圆,三个旁心. 鉴于三角形旁心的位置关系(都在形外) 和数量关系(存在三个),决定了它具有许多 有用的几何性质.本文仅给出如下三条. 性质1旁心与内心关系密切. 若三角形中同时出现内心,旁心,就构成 了三组三点共线,三组四点共圆. 收稿日期:2006—12—04 如图1,,为 ?ABC的内心, IlB,Ic是 ?ABC的三个旁 心.显然.A,,, lA,B,l,IB,C,l, 分别三点共 线;同时,厶,C,图1 ,,曰,,A,,,c,,c,曰,,,A分别四点共圆, 且,%,,,c分别是上述三个圆的直径. 注意,,,,,c的中点D,E,F(即 三个圆的圆心)都在?ABC的外接圆上.这一 (2001,全国高中数学联赛) 证明:(1)因为A,C,D,F四点共圆,则 丑=C. 1 又因OBC=去(180~一BOC)' =90~一C, 所以,OB_l-DF. 同理,DC_l-DE. (2)由CF_l-MA,BE_l-NA,DAjIBC,OB _1.DF,OC上DE,可分别得到 MC一MH2=AC一.? NB一^W=AB一A日,? BD一CD=BA一AC.? 删一BD=ON2一OD.? CM一CD=OM2一OD.? ?一?+?+?一?得 酽一MH2=D?一D. MO.一MH2=NO一^W. 所以,OH_1.MN. 练习 1.证明:上A的充分必要条件是 PA一pB2=QA一. 2.若凸四边形ABC.D的面积为s,证明: AB2+C2+C+DA?4S. (提示:利用欧拉定理.) 3.证明:+t6+??3p. (提示=(p—n)<-,/p(p—n)? 同理,tb?~/p(p—b),?/. +tb+ ?一+确 ?~/-_=_=p.) 4.设?ABC的外接圆半径,内切圆半径分别为 R,r,外心,内心,重心分别为0,I,G.证明: 一 0>14(r2一). ab+bc+?,有 (提示:由舡2+b+c? r 2 一= [6(n6+6c+ca)一5(n+6+c)] ?(n+6+c)=I,R2—0).) 6中等数学 点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用. 性质2旁心与半周长(p)形影不离. 如图2,厶是?ABC的一个旁心.作厶E _l_AB于点E,厶F_l_AC 于点F,laD_l_BC于点 D.易得 BE=肋. CF=CD. AE=AF, AE+AF 图2 = (AB+BD)+(AC+CD) =AB+BC+AC. 故AE=AF=p. 性质3旁心与三角形的三个顶点构成 三组三点共线. 如图3,厶,,,c 分别是?ABC的三个 旁心.由于A,A,c是 对顶角的平分线亦为反 向延长线,故,A,,c 三点共线.同样地,, B,厶,,c,分别三 点共线. 如图1,由熟知的内心张角公式 1 BIC=9oo+去c, 又因为厶,c,,,B四点共圆,故 1 B&C=90~一+~BAC. 1 同理,CIBA=90~一去CBA, 1 越CB=90~一+~ACB. 这是旁心的张角公式,它保证了以旁心 为顶点的?,c必是一个锐角三角形. 涉及旁心的竞赛题,大体上可以归纳为 三大类. 1确定旁心的几何位置 例1已知?ABC内接于圆,AB>AC, ,AC为半 过点A作圆的切线f.以A为圆心径的圆交f于E,F,且交AB于D.求证:DE, DF分别通过?ABC的内心和一个旁心. (2005,全国高中数学联赛) 讲解:如图4,作 BAC的平分线交 DE,DF于点,,K.联结 CE,CI?B 因为IEC =DEC : I~DAC := I~BAC =/IAC. yK 图4 所以,A,,,c,E四点共圆.此时, C=E=ABC=DBC. 因此,B,c,,,D四点共圆. 于是,BCI=ADE=AED =AEI=ACI, 即平分ACB. 故,是?ABC的内心. 下面利用旁心性质1证明:K是?ABC 的一个旁心. 如图4,设AK交?ABC外接圆于点M, 联结MB,MD,MC,BI.由内心性质知MI= MB=MC,M是?IBC的外心.而B,C,,,D 四点共圆,可知MD=MI. 但IDK=90~,所以, K=90~一DIK = 90~一MDI=MDK. 故MK=MD=MI. 又因为,是?ABC的内心,M在?ABC的 外接圆上,所以,K必是?ABC的一个旁心. 【思考】设射线交(三)A于点G,易知四 边形DEGF为矩形.既然该矩形的边DE,DF 通过?ABC的内心和一个旁心,该矩形的边 GE,GF(所在直线)是否也通过?ABC的另 外两个旁心?感兴趣的读者可动手一试. 3 图 2007年第5期7 例2在锐角?ABC中,AB?AC,且 cosB+c0sC=1.点E,F分别在射线AC, AB上,且满足ABE=ACF=90..证明: 通过?ABC的一个旁心. 讲解:如图5,易 知F,E,C,B四点 共圆.则有 A=ABC, AFE=ACB. 此时,图5 COSAEF+COSAFE =COSB+COSC:1. 即丽CE+-1. 从而,BF+CE=FE. 在FE上取点K,使FK=FB,则 EK=EC. 作BCE的平分线交FE于点0,联结 OB,OC,KB,KC. 因FKB=去(180.一BFK) : 1(180o一 ~BFE):I~BCE =BCO, 所以,B,K,0,C四点共圆. 故CBO=CKO=CKE = 去(180.一KEC) : 1(180.一 ~FEC):I~FBC. 因此,BO平分FBC. 但CO平分BCE,故0必是?ABC的 一 个旁心. 说明:例2改编自第26届IMO第1题, 原题是: 如图5中的四边形BFEC,若o0与船, BC,CE都相切,F,E,c,B四点又共圆,则 FE=BF+CE. 而本例是它的一个逆命题.至于 cosB+COSC=1,是为了达到BF+CE=FE 的目的. 2利用旁心性质解题 例3在I:1ABCD中,M,?分别是 ?ABC,?ADC的旁心.求证: AMC=ANC. 讲解:如图6,设 ?ABC,?ADC的内 心分别为,F,则 在AM上,F在AN 上.易知 ECM=90o =FCN. B 图6 由内心性质易得 1 AEC=90.+?AABC,厶 1 A=90.+{A嬲.厶 但ABC=ADC,所以, A嬲=AFC. 则AAMC=AAEC一ECM=脚一9ff, ANC=AFC一V=AFC一90~. 因此,AMC=ANC. 说明:上述证法是利用旁心性质1.事实 上,本例还可利用旁心的性质2获得证明:作 Mill'LAC于M'NNLAC于N.得 AM=p?,AN=P4~wc. 【思考】点M和会重合吗? ?ABC三边的连比. 讲解:为简便计,令 BC=5.CA=4,AB=3,则?ABC为直角三 角形,BAC:90.. 由旁心性质3知,,A,G,c,,, A,c,B分别三点共线,且AA,BB,cc是 8中等数学 ?AC的三条高.于是,它们的交点,既是 ?ABC的垂心,又是?ABC的内心,且 BAI=CAI=45.. 易证A,,,,C及A,,,C,分别四点 共圆,得 BCl=BAI=45o, C,=CAI=45., 即Ac,C=45.=ABB. 于是,?A,?ACC都是等腰直角 三角形. 设AB=,AC=Y,则 A=?.AC=Y. 易证日,C,日,C四点共圆,故 CA=BCA. 又ABC=C,所以, ?ABC??ABC 一 B— BC —AB—BC AB?BC=AB?BC. 且口(乏',一)=3×5=15.? 同理,AC?CB=AC?CB,即 y一Y)=4×5=20.? 在?ABC中,注意到C=450有 曰C.=AB+AC一2AB?ACoosBA,C, 即5=+Y一2xycos45. :+Y一?2xy. 故25=一y一y) :y2一',一).? 将式?,?分别代人式?解得 Y=~/r(负根舍),=~/r(负根舍). 所以,AC=?2Y=~/80, A,,::. 又,C,,C四点共圆,C是该圆的 直径,因此, B'C=BC = 5 =. 故AB:AC:BC=?9:?8:?5. 例5在锐角?ABC中,AD是高,,,0 分别是内心,外心,且D,,,0三点共线.求 证:?ABC的外接圆半径等于与边BC相切 的旁切圆半径. (1998,全国高中数学联赛) 讲解:如图8,设 与边BC相切的旁切 圆圆心为厶,显然,A, ,,厶三点共线. 作舾上AB于点 E,IFAB于F.记 IF.=r,厶F=i"a,BC= :::一 MN . ?hADDM一一,D一. 注意到 = 1 口一 1(c+口一 6)=1(6一 c), DM=BM—BD__1(c+a-6)一cc0s = (c+口一b)-(c2+a2_6) = 1(6一 c)(6+c-口), 代入式?得鲁=. 故R===. 2007年第5期9 因此,孚=.rD—n 结合式?得r.=R. 3挖掘隐含的旁心 这类题目相当难,难就难在不知道旁心 在哪里.解这类题要根据图形特点,并把握已 知条件,再加上大胆地猜想和探索,才能将隐 含的旁心挖掘出来.旁心一旦找到,再利用旁 心的性质,问题就迎刃而解了. 例6如图9,在凸 四边形ABCD中,AB= AC=BD.它的四个内 角中,有两个是锐角,其. 度数分别为72.,66..求 另外两个内角的度数.图9 讲解:显然,?ABC,?BAD都是等腰三 角形.由于等腰三角形的底角是锐角,可知 BAD,ABC都是锐角.不妨设BAD= 72.,彻C=66..此时, BDA=72.,ACB=66., C=180.一2×66.=48., =180.一2×72.=36.. 如图9,作上BC于点日,并交BD于 点Js,联结Jsc,延长AD到点K.易知 CAD=BAD一C=24~, 1 跗C=HAC=去BAC=24~. 故SAC=CAD,即AC平分DAS. 又BsH=90o一sBH = 90.一(仰C一A肋)=60., 易知CSH=BSH=60..则 DSC=180.一(BSH+Cs日)=60.. 故DSC=CSH.即Jsc平分ASD的 外角. 由AC和Jsc分别平分DAS和ASD 的外角知,c必是?ASD的旁心. 根据旁心的性质,得DC平分ADS的 外角. 因为BDA=720BDK=108~,则 ZBDC=ZSDC=1ZBDK=54o. ADC=BDA+BDC=126.. 故BCD=360.一72.一66.一126.=96.. 例7如图10,平面内两条直线l//l, 它们之间的 距离等于n. 一 块正方形 硬纸板ABCD 的边长也等 于n.现将这 块硬纸板平 放在两条平图lO 行线上,使得z与AB,AD都相交,交点为E, F;z,与CB,CD都相交,交点为G,日.设 ?AEF的周长为m,?CGH的周长为m.证 明:无论怎样放置正方形硬纸板ABCD,m+ m,总是一个定值. (2003,亚太地区数学竞赛) 讲解:如图l0,联结EH,FG得交点D.因 为点日到AB,z距离相等,所以,EH平分 BEF,也平分删G. 又点G到AD,z等距离,所以,FG平分 DFE,也平分G日. 由此可知,D既是AAEF的旁心,又是 ACGH的旁心,作出两个旁切圆,易知它们是 同心圆. 设P,M,Q,N分别是彻,AD,cD, 上的切点,易证P,0,Q与,D,?分别三点 共线,且PQ=AD=n,MN=AB=n. 利用旁心性质2知 A尸== CQ=CN=去m2. 故m1+m2=2AP+2CQ = 20M+20N=2MN=2a(定值). 【思考】若将正方形硬纸板AcD上移,使 10中等数学 得Z.交AB,AD于点E,F,Z2通过点c,此 时,将得到怎样的结论?若再上移,使得z.交 AB,AD于点E,F,点c在Z.与Z2之间,结论 又将如何? 例8在?ABC的边BC,CA,AB上各有 一 点A,,c,且满足c,=CAB, CBA=ABC,ACB=BCA. 证明: +CA+AB?2.C..,' 讲解:如图11, 延长cA,c分 别到,y.注意到 CAB =BAC =CAX, C =ABC:凹l,. , 图ll , , , , y C 所以,C是?ABC的一个旁心. 此时,cC平分ACB,但ACB= BCA,故 CC上AB. 同理,A,B是?ABC的另两个旁心. 故上BC,BB上CA. 易证B,C,B,C四点共圆,有 佃C=ABC. 从而,?ABC??ABC. 故=AB'=cosA. 同理,=cos, …c. 在?ABC中,因为 COSA+COSB+COSC =?+ (一CzeosCOS1Zsln)=——,'——一十I一—J 一(cos一)+ = 2sin詈?2sin?s+- n.sin罢.sin导+- ?4×+-=, ++ =COSA+COS+cosc?. 练习题 1.o0.交o02于点P,Q,0.PO<90o,过 0,0,P三点的圆分别交O0.,o0于点A,. 明:()是?ABP的旁心. (提示:设法证A,0,Q及B,0.,P分别三点共 线.) 2.已知佃,AC切o0于点B,C,OA交BC于点 肘,过肘作o0的另一弦EF.求证:?ABC,?AEF 存在一个公共的旁心. (提示:设直线交o0于点,y,在?ABC 的内部.易知,B,0,C四点共圆导致,E,0,F 四点共圆.先证为?ABC,?AEF的公共内心,再 证y为两个三角形的公共旁心.) 3.已知o0为凸四边形ABCD的内切圆,延长 佃,DC交于点E,延长AD,BC交于点F.求证: BOE=DOF. (提示:设?BCE,?CDF的内心分别为,1,,2, ,在OE上,,2在OF上.利用旁心性质?1证明0, ,,1,C与0,C,12,D分别四点共圆.) 4.已知?ABC的三个旁心分别是,y,Z(分别 在,,C内部).设J_BC,J_CA, J_佃.证明:,y,ZZ'三线共点. (提示:利用旁心性质3,点A,B,C分别在 ?的三边上,,YB,ZC是三条高.易证 = ZXA.作YKJ_,点K在上.设法证 ,y,K,z四点共圆,XK为?船的外接圆直径.) 5.已知?ABC,点D在边BC上,0,0.,0分 别是?ABC,?ABD,?ACD在A内的旁心,OE 上BC于点.求证:EO.上EO. (提示:作0.MJ_BC于点M,02NJ_BC于点 ?.利用旁心性质2证明:MD=EN,ME=DN.设 o0.,o0的半径分别为r.,r,易证DM?DN= r1r2,再证EM?EN=r1r2.)
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