三角形的旁心
2O07年第5期5
三角形的旁心
黄全福
(安徽省怀宁县江镇中学,2~142) (本讲适合高中)
三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的 旁心,它是三角形一个内角的平分线和其他 两个内角的外角平分线的交点.显然,任何三 角形都存在三个旁切圆,三个旁心. 鉴于三角形旁心的位置关系(都在形外) 和数量关系(存在三个),决定了它具有许多 有用的几何性质.本文仅给出如下三条. 性质1旁心与内心关系密切.
若三角形中同时出现内心,旁心,就构成 了三组三点共线,三组四点共圆. 收稿日期:2006—12—04
如图1,,为
?ABC的内心,
IlB,Ic是
?ABC的三个旁
心.显然.A,,,
lA,B,l,IB,C,l, 分别三点共
线;同时,厶,C,图1
,,曰,,A,,,c,,c,曰,,,A分别四点共圆, 且,%,,,c分别是上述三个圆的直径.
注意,,,,,c的中点D,E,F(即
三个圆的圆心)都在?ABC的外接圆上.这一
(2001,全国高中数学联赛) 证明:(1)因为A,C,D,F四点共圆,则 丑=C.
1
又因OBC=去(180~一BOC)' =90~一C,
所以,OB_l-DF. 同理,DC_l-DE. (2)由CF_l-MA,BE_l-NA,DAjIBC,OB
_1.DF,OC上DE,可分别得到 MC一MH2=AC一.?
NB一^W=AB一A日,?
BD一CD=BA一AC.?
删一BD=ON2一OD.?
CM一CD=OM2一OD.? ?一?+?+?一?得
酽一MH2=D?一D.
MO.一MH2=NO一^W. 所以,OH_1.MN. 练习
1.证明:上A的充分必要条件是 PA一pB2=QA一.
2.若凸四边形ABC.D的面积为s,证明:
AB2+C2+C+DA?4S.
(提示:利用欧拉定理.)
3.证明:+t6+??3p.
(提示=(p—n)<-,/p(p—n)?
同理,tb?~/p(p—b),?/.
+tb+
?一+确
?~/-_=_=p.)
4.设?ABC的外接圆半径,内切圆半径分别为
R,r,外心,内心,重心分别为0,I,G.证明: 一
0>14(r2一).
ab+bc+?,有 (提示:由舡2+b+c?
r
2
一=
[6(n6+6c+ca)一5(n+6+c)] ?(n+6+c)=I,R2—0).)
6中等数学
点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用.
性质2旁心与半周长(p)形影不离. 如图2,厶是?ABC的一个旁心.作厶E _l_AB于点E,厶F_l_AC 于点F,laD_l_BC于点
D.易得
BE=肋.
CF=CD.
AE=AF,
AE+AF
图2
=
(AB+BD)+(AC+CD) =AB+BC+AC.
故AE=AF=p.
性质3旁心与三角形的三个顶点构成 三组三点共线.
如图3,厶,,,c
分别是?ABC的三个
旁心.由于A,A,c是
对顶角的平分线亦为反
向延长线,故,A,,c
三点共线.同样地,,
B,厶,,c,分别三
点共线.
如图1,由熟知的内心张角公式 1
BIC=9oo+去c,
又因为厶,c,,,B四点共圆,故
1
B&C=90~一+~BAC. 1
同理,CIBA=90~一去CBA, 1
越CB=90~一+~ACB.
这是旁心的张角公式,它保证了以旁心 为顶点的?,c必是一个锐角三角形. 涉及旁心的竞赛题,大体上可以归纳为 三大类.
1确定旁心的几何位置
例1已知?ABC内接于圆,AB>AC,
,AC为半 过点A作圆的切线f.以A为圆心径的圆交f于E,F,且交AB于D.求证:DE,
DF分别通过?ABC的内心和一个旁心. (2005,全国高中数学联赛)
讲解:如图4,作
BAC的平分线交
DE,DF于点,,K.联结
CE,CI?B
因为IEC
=DEC
:
I~DAC
:=
I~BAC
=/IAC.
yK
图4
所以,A,,,c,E四点共圆.此时, C=E=ABC=DBC.
因此,B,c,,,D四点共圆.
于是,BCI=ADE=AED =AEI=ACI,
即平分ACB.
故,是?ABC的内心.
下面利用旁心性质1证明:K是?ABC 的一个旁心.
如图4,设AK交?ABC外接圆于点M, 联结MB,MD,MC,BI.由内心性质知MI= MB=MC,M是?IBC的外心.而B,C,,,D
四点共圆,可知MD=MI. 但IDK=90~,所以,
K=90~一DIK
=
90~一MDI=MDK.
故MK=MD=MI.
又因为,是?ABC的内心,M在?ABC的 外接圆上,所以,K必是?ABC的一个旁心. 【思考】设射线交(三)A于点G,易知四 边形DEGF为矩形.既然该矩形的边DE,DF 通过?ABC的内心和一个旁心,该矩形的边 GE,GF(所在直线)是否也通过?ABC的另 外两个旁心?感兴趣的读者可动手一试. 3
图
2007年第5期7
例2在锐角?ABC中,AB?AC,且 cosB+c0sC=1.点E,F分别在射线AC, AB上,且满足ABE=ACF=90..证明: 通过?ABC的一个旁心.
讲解:如图5,易
知F,E,C,B四点
共圆.则有
A=ABC,
AFE=ACB.
此时,图5
COSAEF+COSAFE
=COSB+COSC:1.
即丽CE+-1.
从而,BF+CE=FE.
在FE上取点K,使FK=FB,则 EK=EC.
作BCE的平分线交FE于点0,联结 OB,OC,KB,KC.
因FKB=去(180.一BFK)
:
1(180o一
~BFE):I~BCE
=BCO,
所以,B,K,0,C四点共圆.
故CBO=CKO=CKE =
去(180.一KEC)
:
1(180.一
~FEC):I~FBC.
因此,BO平分FBC.
但CO平分BCE,故0必是?ABC的 一
个旁心.
说明:例2改编自第26届IMO第1题, 原题是:
如图5中的四边形BFEC,若o0与船, BC,CE都相切,F,E,c,B四点又共圆,则 FE=BF+CE.
而本例是它的一个逆命题.至于
cosB+COSC=1,是为了达到BF+CE=FE
的目的.
2利用旁心性质解题
例3在I:1ABCD中,M,?分别是 ?ABC,?ADC的旁心.求证: AMC=ANC.
讲解:如图6,设
?ABC,?ADC的内
心分别为,F,则
在AM上,F在AN
上.易知
ECM=90o
=FCN.
B
图6
由内心性质易得
1
AEC=90.+?AABC,厶
1
A=90.+{A嬲.厶
但ABC=ADC,所以,
A嬲=AFC.
则AAMC=AAEC一ECM=脚一9ff,
ANC=AFC一V=AFC一90~. 因此,AMC=ANC. 说明:上述证法是利用旁心性质1.事实 上,本例还可利用旁心的性质2获得证明:作
Mill'LAC于M'NNLAC于N.得 AM=p?,AN=P4~wc. 【思考】点M和会重合吗? ?ABC三边的连比.
讲解:为简便计,令
BC=5.CA=4,AB=3,则?ABC为直角三 角形,BAC:90..
由旁心性质3知,,A,G,c,,, A,c,B分别三点共线,且AA,BB,cc是
8中等数学
?AC的三条高.于是,它们的交点,既是 ?ABC的垂心,又是?ABC的内心,且 BAI=CAI=45..
易证A,,,,C及A,,,C,分别四点 共圆,得
BCl=BAI=45o,
C,=CAI=45.,
即Ac,C=45.=ABB. 于是,?A,?ACC都是等腰直角 三角形.
设AB=,AC=Y,则
A=?.AC=Y.
易证日,C,日,C四点共圆,故
CA=BCA.
又ABC=C,所以,
?ABC??ABC
一
B—
BC
—AB—BC
AB?BC=AB?BC.
且口(乏',一)=3×5=15.?
同理,AC?CB=AC?CB,即
y一Y)=4×5=20.?
在?ABC中,注意到C=450有 曰C.=AB+AC一2AB?ACoosBA,C,
即5=+Y一2xycos45. :+Y一?2xy.
故25=一y一y)
:y2一',一).?
将式?,?分别代人式?解得 Y=~/r(负根舍),=~/r(负根舍). 所以,AC=?2Y=~/80, A,,::.
又,C,,C四点共圆,C是该圆的 直径,因此,
B'C=BC
=
5
=.
故AB:AC:BC=?9:?8:?5. 例5在锐角?ABC中,AD是高,,,0
分别是内心,外心,且D,,,0三点共线.求 证:?ABC的外接圆半径等于与边BC相切
的旁切圆半径.
(1998,全国高中数学联赛) 讲解:如图8,设
与边BC相切的旁切
圆圆心为厶,显然,A,
,,厶三点共线.
作舾上AB于点
E,IFAB于F.记
IF.=r,厶F=i"a,BC=
:::一
MN
.
?hADDM一一,D一.
注意到
=
1
口一
1(c+口一
6)=1(6一
c),
DM=BM—BD__1(c+a-6)一cc0s =
(c+口一b)-(c2+a2_6) =
1(6一
c)(6+c-口),
代入式?得鲁=.
故R===.
2007年第5期9
因此,孚=.rD—n
结合式?得r.=R.
3挖掘隐含的旁心
这类题目相当难,难就难在不知道旁心 在哪里.解这类题要根据图形特点,并把握已 知条件,再加上大胆地猜想和探索,才能将隐 含的旁心挖掘出来.旁心一旦找到,再利用旁
心的性质,问题就迎刃而解了. 例6如图9,在凸
四边形ABCD中,AB=
AC=BD.它的四个内
角中,有两个是锐角,其.
度数分别为72.,66..求
另外两个内角的度数.图9
讲解:显然,?ABC,?BAD都是等腰三 角形.由于等腰三角形的底角是锐角,可知 BAD,ABC都是锐角.不妨设BAD= 72.,彻C=66..此时,
BDA=72.,ACB=66., C=180.一2×66.=48., =180.一2×72.=36.. 如图9,作上BC于点日,并交BD于 点Js,联结Jsc,延长AD到点K.易知 CAD=BAD一C=24~,
1
跗C=HAC=去BAC=24~. 故SAC=CAD,即AC平分DAS. 又BsH=90o一sBH
=
90.一(仰C一A肋)=60., 易知CSH=BSH=60..则
DSC=180.一(BSH+Cs日)=60.. 故DSC=CSH.即Jsc平分ASD的 外角.
由AC和Jsc分别平分DAS和ASD 的外角知,c必是?ASD的旁心.
根据旁心的性质,得DC平分ADS的 外角.
因为BDA=720BDK=108~,则
ZBDC=ZSDC=1ZBDK=54o. ADC=BDA+BDC=126.. 故BCD=360.一72.一66.一126.=96.. 例7如图10,平面内两条直线l//l, 它们之间的
距离等于n.
一
块正方形
硬纸板ABCD
的边长也等
于n.现将这
块硬纸板平
放在两条平图lO
行线上,使得z与AB,AD都相交,交点为E, F;z,与CB,CD都相交,交点为G,日.设 ?AEF的周长为m,?CGH的周长为m.证 明:无论怎样放置正方形硬纸板ABCD,m+ m,总是一个定值.
(2003,亚太地区数学竞赛)
讲解:如图l0,联结EH,FG得交点D.因 为点日到AB,z距离相等,所以,EH平分 BEF,也平分删G.
又点G到AD,z等距离,所以,FG平分 DFE,也平分G日.
由此可知,D既是AAEF的旁心,又是 ACGH的旁心,作出两个旁切圆,易知它们是
同心圆.
设P,M,Q,N分别是彻,AD,cD, 上的切点,易证P,0,Q与,D,?分别三点 共线,且PQ=AD=n,MN=AB=n. 利用旁心性质2知
A尸==
CQ=CN=去m2.
故m1+m2=2AP+2CQ =
20M+20N=2MN=2a(定值).
【思考】若将正方形硬纸板AcD上移,使
10中等数学
得Z.交AB,AD于点E,F,Z2通过点c,此 时,将得到怎样的结论?若再上移,使得z.交 AB,AD于点E,F,点c在Z.与Z2之间,结论 又将如何?
例8在?ABC的边BC,CA,AB上各有 一
点A,,c,且满足c,=CAB, CBA=ABC,ACB=BCA. 证明:
+CA+AB?2.C..,'
讲解:如图11,
延长cA,c分
别到,y.注意到
CAB
=BAC
=CAX,
C
=ABC:凹l,.
,
图ll
,
,
,
,
y
C
所以,C是?ABC的一个旁心. 此时,cC平分ACB,但ACB= BCA,故
CC上AB.
同理,A,B是?ABC的另两个旁心.
故上BC,BB上CA.
易证B,C,B,C四点共圆,有 佃C=ABC.
从而,?ABC??ABC. 故=AB'=cosA. 同理,=cos,
…c.
在?ABC中,因为
COSA+COSB+COSC =?+
(一CzeosCOS1Zsln)=——,'——一十I一—J
一(cos一)+
=
2sin詈?2sin?s+- n.sin罢.sin导+-
?4×+-=,
++
=COSA+COS+cosc?.
练习题
1.o0.交o02于点P,Q,0.PO<90o,过
0,0,P三点的圆分别交O0.,o0于点A,. 明:()是?ABP的旁心.
(提示:设法证A,0,Q及B,0.,P分别三点共 线.)
2.已知佃,AC切o0于点B,C,OA交BC于点 肘,过肘作o0的另一弦EF.求证:?ABC,?AEF 存在一个公共的旁心.
(提示:设直线交o0于点,y,在?ABC 的内部.易知,B,0,C四点共圆导致,E,0,F 四点共圆.先证为?ABC,?AEF的公共内心,再 证y为两个三角形的公共旁心.)
3.已知o0为凸四边形ABCD的内切圆,延长 佃,DC交于点E,延长AD,BC交于点F.求证: BOE=DOF.
(提示:设?BCE,?CDF的内心分别为,1,,2, ,在OE上,,2在OF上.利用旁心性质?1证明0, ,,1,C与0,C,12,D分别四点共圆.)
4.已知?ABC的三个旁心分别是,y,Z(分别 在,,C内部).设J_BC,J_CA, J_佃.证明:,y,ZZ'三线共点.
(提示:利用旁心性质3,点A,B,C分别在 ?的三边上,,YB,ZC是三条高.易证
=
ZXA.作YKJ_,点K在上.设法证
,y,K,z四点共圆,XK为?船的外接圆直径.) 5.已知?ABC,点D在边BC上,0,0.,0分 别是?ABC,?ABD,?ACD在A内的旁心,OE 上BC于点.求证:EO.上EO.
(提示:作0.MJ_BC于点M,02NJ_BC于点 ?.利用旁心性质2证明:MD=EN,ME=DN.设 o0.,o0的半径分别为r.,r,易证DM?DN= r1r2,再证EM?EN=r1r2.)