北京市房山区2012年高三第一次模拟理科数学试题及答案

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题 高三数学(理科) 考 生 须知 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。 2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。     第I卷  选择题（共40分） 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。 1.已知集合               （    ） （A） （B） （C） （D）         2.如果 ， 那么“ ∥ ”是“ ”的                              （    ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件     3.如图， 是圆 的切线，切点为 ， 交圆 于 两点， ，则 =(    ) （A） （B）   （C） （D） 4.在平面直角坐标系 中，点 的直角坐标为 .若以原点 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 的极坐标可以是                                                                （    ） （A） （B） （C） （D）         5.执行如图所示的程序框图，则输出的 的值为                                          （    ） （A）5 （B）6  （C）7    是 （D）8                                              否                      6.已知函数 ，则对任意 ，若 ，下列不等式成立的是(    ) （A） （B） （C） （D）     7.直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 的取值范围是(    ) （A） （B） （C） （D）         8.如图，边长为1的正方形 的顶点 , 分别在 轴、 轴正半轴上移动，则 的最大 值是                                                                                  （    ） （A） （B）   （C） （D）4 第II卷 非选择题(共110分） 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。 9. 是虚数单位，则 __. 10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为  . 11．已知函数 （ >0, ）的图象如图所示，则 __， =__. 12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有  种.  13.设 是定义在 上不为零的函数，对任意 ，都有 ，若 ，则数列 的前 项和的取值范围是     .  14. 是抛物线 的焦点，过焦点 且倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，设 ，则：①若 且 ，则 的值为 ； （用 和 表示）. 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分） 已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别是 , ， ， , . （Ⅰ）求 的值；  （Ⅱ）求 的面积. 16.（本小题共13分） 今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人       （I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率； （II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 17.（本小题共14分） 在直三棱柱 中， =2 , .点 分别是 , 的中点， 是棱 上的动点. （I）求证： 平面 ； (II)若 //平面 ，试确定 点的位置，并给出证明； (III)求二面角 的余弦值. 18．（本小题共13分） 已知函数 ． （I）当 时，求函数 的单调递减区间； （II）求函数 的极值； （III）若函数 在区间 上恰有两个零点，求 的取值范围． 19.（本小题共14分） 已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，一个顶点为 ，离心率为 ． （I）求椭圆 的方程； （II）设直线 与椭圆相交于不同的两点 ．当 时，求 的取值范围． 20．（本小题共13分） 在直角坐标平面上有一点列 ，对一切正整数 ，点 位于函数 的图象上，且 的横坐标构成以 为首项， 为公差的等差数列 ． （I）求点 的坐标； （II）设抛物线列 ,中的每一条的对称轴都垂直于 轴，第 条抛物线 的顶点为 ，且过点 ，记与抛物线 相切于 的直线的斜率为 ，求： ； （III）设 ，等差数列 的任一项 ，其中 是 中的最大数， ，求 的通项公式． 北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案 高三数学(理科) 一、选择题（每题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C D B A                   二、填空题（每题5分，共30分） 9． ;      10. ;      11. , ;      12. 120；    13. ; 14. ① ；② 或 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分） 15．（本小题共13分） 解：（I）解 ……………………5分 （II）由（I）知 ，               ……………………7分 ∴ ∴                                           ……………………10分 ∴ ……………………13分 16．（本小题共13分） 解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件 ，则 答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为 .                                                ………………………4分 （II）解法1： 的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 .所以                                                  ………………………6分 ;      ; ; ; .            ………………………11分 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 4             ………………………12分 所以 ……………………13分 解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为 .  …………………5分 则随机变量 服从参数为4， 的二项分布，即 ～ .……………7分 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 4             所以                               …………………13分 17．（本小题共14分） (I) 证明：∵在直三棱柱 中， ，点 是 的中点， ∴   …………………………1分 , , ∴ ⊥平面 ………………………2分 平面 ∴ ，即 …………………3分 又 ∴ 平面       …………………………………4分 （II）当 是棱 的中点时， //平面 .……………………………5分 证明如下: 连结 ,取 的中点H，连接 , 则 为 的中位线  ∴ ∥ ， …………………6分 ∵由已知条件， 为正方形 ∴ ∥ ， ∵ 为 的中点， ∴                                       ……………………7分 ∴ ∥ ，且 ∴四边形 为平行四边形 ∴ ∥ 又  ∵             ……………………8分 ∴ //平面                                     ……………………9分 (III) ∵ 直三棱柱 且 依题意，如图：以 为原点建立空间直角坐标系 ，……………………10分 , , , , 则 ， 设平面 的法向量 ， 则 ,即 ， 令 ，有                             ……………………12分 又 平面 的法向量为 ， = = ，                    ……………………13分 设二面角 的平面角为 ，且 为锐角 ．                      ……………………14分 18．（本小题共13分） 解：（I）依题意，函数 的定义域为 ，      当 时， ， ……………………2分 由 得 ，即 解得 或 ， 又 ， 的单调递减区间为 ．                  ……………………4分 （II） ， （1） 时， 恒成立 在 上单调递增，无极值.          ……………………6分 （2） 时，由于 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 从而 ．      ……………………9分 （III）由（II）问显然可知， 当 时， 在区间 上为增函数， 在区间 不可能恰有两个零点．      ……………………10分 当 时，由（II）问知 ， 又 ， 为 的一个零点．        ……………………11分 若 在 恰有两个零点，只需 即           ……………………13分 （注明：如有其它解法，酌情给分） 19．（本小题共14分） 解：（I）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为 故 ，而 ，解得 ，            ……………………4分 故所求椭圆的方程为 .                  ……………………5分 （II）设 ，P为弦MN的中点， 由   得 ， 直线与椭圆相交， ，①        …………7分 ，从而 ， （1）当 时 ( 不满足题目条件) ∵ ，则 ，即 ，  ②    …………………………9分 把②代入①得 ，解得 ，      …………………………10分 由②得 ，解得 ．故   ………………………11分 （2）当 时 ∵直线 是平行于 轴的一条直线， ∴                                       …………………………13分 综上，求得 的取值范围是 ．          …………………………14分 20．（本小题共13分） 解：（I）                 …………………………2分 …………………………3分 （II） 的对称轴垂直于 轴，且顶点为 . 设 的方程为：                       …………………………5分 把 代入上式，得 ， 的方程为： .              …………………………7分 当 时， =                           …………………………9分 （III） ， T中最大数 .                    …………………………10分 设 公差为 ，则 ，由此得 ………………………13分 ………………………11分