[doc] 对“杜氏积分”与“杜氏变换”的若干意见

[doc] 对“杜氏积分”与“杜氏变换”的若干意见 对“杜氏积分”与“杜氏变换”的若干意见 1989年9.9铁道第l1卷 绾者接本刊曾:T?1982年第2期,1984年第期,1985年第1期,和1985年 第2期发表西南交通大学杜庆萱教授有关杜氏积分与杜氏变换的论文四篇. 最近本刊收到北方交通大学赵玖教授对该问题提出商榷,现发表如下,以 期引起有关专家的注视. 对”杜氏积分”与”杜氏变换”的若干意见 赵玖 (北方交通大学) 《铁道》和《机车电传动》两刊物自1982年开始同时陆续刊出有关所谓”杜氏积分”,”杜 氏变换”的文章…. 本文拟对.杜氏积分”,”杜氏变换”进行剖析以期能对此得出应有的结论. 因为问题涉及Duhamel积分,故先对此问题作一简述a 一 , 关于Duhamel积分(即阶跃函数响应法)的主要内容和有关问题 DharI1eI积分法是分析计算线性定常系统响应的一种基本的时域,构成Duharnel积 分所用的基元函数是单位阶跃函数u(t),其数学表达式如下: 一 { 囤 图【()和(6)所示为单位阶跃函数”()及其延时T后的函数”(z—). 用Dhame】积分解决由线性系统输入(激励)求输出(降段,因为式(1)和式 (2)中的,(t)已经考虑了,()的上升和下降的问题.所以只要有了,(t)的解析表达式,就可 进行积分,得出正确的结果. (2)当输入函数,(t)在=“瞬刻发生截止如图4所示,则由式(2)可知,系统响应,(t) 应为: 翻4 ,(t)=,(0)()+0(f)(f—f)T—Y(t.)(,一1),t?(8) 当tt.(严格说是t=t)瞬刻,系统响应Y(t,)为 ,(一1(o)(tj)+,r(f)(t—f)打一f(tL)(0) 今tl可为任意瞬刻,故若令t,=t,则上式变为: n („一=f(O)一()+J.,()(f一)打一,(„)一(0?. 这就是说:当输入函数,(t)在任何瞬刻发生截止后,则在此相应瞬刻的系统响应(,)可由式 (9)决定. 应该看到:式(2)和式(9)所示两个系统响应()的含意是完全不同的.式(2)的()是表 示在,瞬刻,对应于输入,(t)的输出响应,而在此瞬刻后输入f(O继续在作用(除非y(O已作 用完毕)并没有消失}而式(9)的(,)是表示当输入,()作用到某瞬刻时突然截止,考虑到截 止的作用,在截止瞬刻,的系统响应(为了区别于式(2)的(t),故这里用,()J表示这个系统 响应),而在此截止瞬刻以后,输入就消失不再作用了.因此,从理论上说,式(9)仅仅是用来 决定输入函数,(f)在某瞬刻截止时,在截止瞬刻响应的公式}而式(2)是用来决定系统在输入 函数f(0作用下任何瞬刻系统响应的普遍公式.用式(9)替换式(2)作为求解系统响应()的 普遍公式,理论上是错误的,实际上也是没有意义的,因为通常给定的输入函数,()不是每 个瞬刻都截止的. 值得注意的是,式(2)和式(9)的两个()虽然含意完全不同,但它们的教 学表达式却很 相近,两者只差一,(f)k(0)这一项,如果在某种条件下这一项为零,那么两式数学表达式所 得结果就会相同.现在我们来分析一下能使这一项为零的两种情况: (1),()一0,其中还有两种情况.(i)输入函数,()在某个,瞬刻本身为零,则在那个具 体瞬刻两个(t)的公式得出的响应值相等.注意,这仅是指在某个瞬刻,两个响应的瞬时值相 等丽不是说两个l的函数式相同.()输入函数,(,)在某个时间区域(例如tj?t或,??t2 第堋对杜氏积分与杜氏变换的若干意见 等)内都等于零,剐在此时问区域内,两个,(,)的函数式所得结果就相同. (2) (o)=0,这时两个()公式所得结果就完全相同,k(o)是代表单位阶跃响应的初 始值,严格地说这里的k(o)应该是k(o+),0+是表示在时间横轴上从右边趋于零,k(o)的 物理意义是当单位直流输入激励与系统突然接通,系统输出响应变量的初始值.k(0)=0是 表示接通瞬裹I输出响应变量没有发生跳变,k(0)?0就表示响应变量 发生髋变.例如船串联 电路中,如果输出响应变量是电容电压(,),那么k(o)l就为零,因为电容电压在系统接通 - ? 瞬刻不能髋变,即H.(o+)=‰(o)=0{如果输出响应变量是电流i(),那么 (o)l就不为零, ? 1 因为这是充电过程的初充电流,它等于(0)=告. 二,对”杜氏积分”的剖析 .杜氏积分”这个名称首次出现在1982年文献[1]的提要中,以后在1984年文献[2],[3], [d]中正式提出,其基本思想可用图5所示图形说明.图中(“)当to<T一时是用三边形.表 示,它可以表示为矩形(tl函数)ab~eo与许多小矩形(门函数)叠加取连续和(ep三边形oab)两 者之差.这许多小的门函数起步相同.文献[1]作者是把它们当作(b)的反函数,()处理 的,因而认为”当输入函数相对应,系统在b瞬裹i的输出应等于门函数z(to)9r(,)=(b)H(E).? 一z(to)u(t—to)的响应减去反函数()的响应r],根据这个思想,在文献 [2]中进一步明 确提出,输入函数(,)和系统响应(#)的数学表达式为: )=(,)一(T)(眦(10) ,()=z(t:(,)一一()()d(11) 圈5瞳6 这就是文献[1]一[4]作者以自己姓氏命名的”杜氏积分”.式中()=“()一”(f—)代表门 宽度为高度为1的单位门函数,()是单位门函数卵()作用于系统时产生的系统响应. 下面我们以一个具体例子,分别用”杜氏积分”法和Duhmel积分法进行分析计算,我们 来比较一下两种方法的计算过程和最后结果. 倒:圈6所示PeO电路,已知输入电压.(,)=,(,)=z(),输出响应变量为电流t(,)一,(), 铁道第lI卷 设RC?=IV.()为: 求电路中电流i(t). 解: 用”杜氏积分法 ,()=sint0?,? = ) = 去c一 )一CH(s)]=去[1一j_] = R---a(t)一1一? ?() pr=)dt = ?一州t :(t)一去(1一e)) = 1一 () ct)=“一r) pr(t)一pr(+】()一(一)() = )一I_一r) 月j”杜分” “)=()()一一()()d 当?时 5()s(osg+)一? l {..+sj一P} 第3期对”杜氏积分与杜氏变换一的若干意见05 +寿(c+sJnt)一J) 一 {c.+s一e),.nl 当=瞬刻 ():(一l十0一P一)一百1?0 = 去(1+e一)” 当?时 诹)一0?{,),n一 )】 ,』一』=c{寺一(),1-IT1(一 “}dT 一cos+cost? =一, {eT(eosT~-sinT)I-) = 1一 {(cos+sjn)一f} — 1一 „(+1) 当一瞬刻 t()一(,1+0一e一) =一(1+e一) 当?qt”时 )一_f=ct1-(c--.)~/(一打 一 寺c~eTd~ 一 ( 一 {(cos+sin),l} =一 去(+ 由以上用两种方法分析计算的情况,我们看到 (】)两种方法都不能避免卷积积分+坦”杜氏积分”分析计算过程较繁, 丽Duhamel积分 的分析计算过程较简洁,同时.(z)较之()的计算也较简易,常可不通过 (,)而由电路直接 得出 (2)用”杜氏积分”计算在0<<时间区域内所得的结果是错误的,与甩Duhamel积分 计算所得的正确结果比较,两者只差一项一寺in,这一项正是前面已讨论过的式(9)中的 一 f(t)h.(0)那一项.当,?时两种方法所得结果相同,这正是前面已讨论过的,()=0(当 t?时)时的结果 用”杜氏积分”分析计算得出了错误的结果是因为”杜氏积分”实际上就是前面已讨论过 的,设输入函数,(f)每个瞬捌都发生截止时,相应瞬刻系统的响应()I?D即式(9)所表示的 系统响应前面已指明不能用式(9)作为求解线性系统前已论证式(9)不能作为计算线性系统响 应的一般公式,它仅仅是当输入函数,()在每个瞬刻截止时计算相应瞬刻系统响应()I 的公式即使在一定条件下,它的结果与正确结果相同,但应该说这只是在一定条件下两者的 吻合.两者的含意或概念是不同的. 因此将式(iI)所示”杜氏积分”作为计算线性定常系统响应的一般公式,理论上是错误 的,实际应用时许多情况下都将导致错误的结果. 文献[1][d]中,作者提出:”杜氏积分”的主要优点是由于分析中所用的门函数(小矩形) 起步相同,因而避免了卷积积分的麻烦.但是实际情况并非如此,在文献[1]一[]中得出的 所有主要积分中都包含有()或c__(),而 PT({)一+)()一脚(一】()一(f)一(1一) (一)()一(f—) 因此这些公式的积分都仍是卷积积分,应用”杜氏积分”计算()并不能避免卷积积分, 从前面已讨论的RC电路的实例中也可看到这点. 进一步分析可以看出,”杜氏积分”产生错误结果的根源是在于它把输入函数表述成每个 瞬翔t都截止,”杜氏积分”式(】O)为: n (1)=zO)g(1)一l(向电源放电. 例(2).输入函数,(,)=()(电压):F(J—e--r)?(),RC并 联电路,=1秒,求总电流}(). 令 1 ()?(“ r(I)』l【fI()+() 用Duhamel积分得: F t(1)=CFe一()-t-(1一e-r)() 用”杜氏积分”得: F1 (,):CFe叫u(t)+(1一P叫)”(,)一(1一e叫)(){—(0)+甜(0)J „』 “杜氏积分”所得结果由于出现d(0)项从而使()为时时奇异而得不出任何具体的数值. 由以上分析还可看出,用门函数作为基元函数,以门宽作为变量来处理输入函数,从理 论上,概念上来看就不可行,因为这就必然导致错误地将输入函数描绘成时时截止,从而只 能得到输入盾数时时截止情况下的响应.众所周知在线性定常电路中电感L的电压,电容的 电流,电阻R的电压和电流都是可以跳变的,只有L的电流和C的电压不能跳变从而不受输入 函数时时截止的影响.因此用”门函数响应法”作为线性系统分析的一般方法,从理论上来说 是不可行的. 三,对”杜氏变换”的看法 所谓”杜氏变换”,按文献[2]定义是: 坩一 T.T 一 0}【=1.=, (,)一D_.[():兰z(1)r(,)一1r()如(t)dT(16) 这个变换的提法映乏足够的理论根据.因为一个有着严格科学意义的变换应该至少是: (I)从一个域到另一个域,一个域的函数(例如变量为的函数)变换为另一个域的函数 (例如变量为s的函数),反之亦是,即 y(t):f(S) 域和s域是两个不同的域,,和F是两个不同的函数. (2)无论那个方向的变换都应有确定的函数关系式例如拉普拉斯变换 F):L[,c1)::I,(,)Pdt从域到S域 ,()一L一()]一南::F【)从域到域 (3)变换后结果在理论上的存在性和唯一性例如拉氏变换的存在性和唯一性在复变函数 lO&铁道第11卷 理论中有详尽论证. 现在我们来看”杜氏变抉”. 式(15)的”杜氏正变换”本身就不明确,()具体是什么?z()通过什么函 数关系式得到 X()?按变换的含意,变换后的像函数应该具有另一个域中的新的信息,但是式(15)X()中 的#(),T=;().T=0,都还是原函数z(o的信息,没有新的信息,而且和是一个 时间域,只是轴上特定的长度代表门函数的宽度而已. 至于式(16)的”杜氏逆变换”就是”杜氏积分”,前面已作了分析.指明了它的错误.此外 已经证明”杜氏积分”本身还是一个卷积积分,电路系统理论中还有其他的卷积积分,将卷积 积分定义为变换是不妥当的. 因此从严格的科学意义上说,”杜氏变换”的提法是不能成立的. 四,结束语 (1)”杜氏积分”是特定条件(输入函数f(O每个瞬刻都截止)下Duhamel积分的结果,它 错误地将输入函数表述为时时截止,从而得出输入函数时时都截止时系统响应的计算公式, 许多情况下,它将导致错误的结果,因此将”杜氏积分”作为线性系统响应计算的一般公式, 理论上是错误的.实际计算时,”杜氏积分”与Duhamel积分比较并不具有优越性,它不能避免 卷积积分,计算过程不如Duhamel积分简洁. (2)门函数的概念是一个早在本世纪廿年代Heavide提出阶跃函数后裁有的概念.将门 函数作为基元函数,利用叠加原理得出的门函数响应法,使之作为线性定常系统分析的一种 一 般方法,理论上是不可行的.因为这必将导致错误地把输入函数表述为每个瞬刻都截止, 从而得出的是输入时时截止时的系统响应.这是无意义的且常会得出错误的结果.在这方面与 门函数不同,将冲激函数阶跃函数作为基元函数,利用叠加原理得出的冲激函数响应法,阶 跃函数响应法是线性定常系统分析的两个基率方法(时域方法) (3)”杜氏变换”的提法缺乏足够的理论依据,因而从严格的科学意义上讲它是不能成立 的. (4)线性系统理论发展至今,它的理论和方法已日趋完善,为了进一步推进原有理论,应 该从新的角度,用新的观点和方法在新的基础上去创新和突破. 参考文献 :1]杜庆董,线性系统丹折的门函数响应法”,(1)西南交通大学,19a2年第2期t(2)碑E道?,1983 年第5卷第期. [2:杜庆董,线性系统分析的特殊函数响应法”,(“《铁道》.1984年第6卷4期,(2)机车电传动-l98年 第4期. 3]杜庆董.”线性系统的动态响应”.(I)《铁道》,1985年第7卷第l期,(2)《机车电传动,,l98{年第5期 L4]杜庆董.”杜氏变换与杜氏积分”(1)铁遭》.1蚰5年第7卷第2期t(2)《机车电传动》?19B{年第6期 5]K\.,l:Ilx??…e儿nj?B,川1xK1xMx.f1ftp1圳T?M0cK阳f948?