抽象函数奇偶性判断练习

抽象函数奇偶性判断练习 奇偶性判断练习 (抽象函数) 一、选择题 1.定义在R上的函数f(x)满足:对任意的α，β?R，总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2011，则下列说法正确的是( ) A(f(x)-1是奇函数 B(f(x)+1是奇函数 C(f(x)+2011是奇函数 D(f(x)-2011是奇函数 2.(2008•重庆)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1，x2?R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是( ) A(f(x)为奇函数 B(f(x)为偶函数 C(f(x)+1为奇函数 D(f(x)+1为偶函数 3.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b?R，f(x)满足关系式:f(a•b)=bf(a)+af(b)，则f(x)的奇偶性为( ) A(奇函数 B(偶函数 C(非奇非偶函数 D(既是奇函数也是偶函数 4.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y?R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，则下列说法一定正确的是( ) A(f(x)是奇函数 B(f(x)是偶函数 C(f(x)+2是奇函数 D(f(x)+2是偶函数 二、填空题 5. 定义在R上的函数f(x)，当x?[-1，1]时，f(x)=x2+x，且对任意x，满足f(x-3)=2f(x)，则f(x)在区间[5，7]上的值域是[-1/16 ，1 /2 ] 三、解答题 6(定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y?R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，求证:f(x)为奇函数( 答案: 1.解:取α=β=0，得f(0)=-2011，取α=x，β=-x，f(0)-f(x)-f(-x)=2011?f(-x)+2011=-[f(x)-f(0)]=[f(x)+2011]故函数f(x)+2011是奇函数(故选:C( 2.解:?对任意x1，x2?R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，?令x1=x2=0，得f(0)=-1 ?令x1=x，x2=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1，?f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]， ?f(x)+1为奇函数(故选C 3.解:令a=b=1则f(1)=2f(1)则f(1)=0令a=b=-1，则f(1)=-2f(-1)=0?f(-1)=0 令a=x，b=-1，则f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)则f(x)为奇函数(故选A 4.解:?对任意x1，x2?R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2， ?令x1=x2=0，得f(0)=-2?令x1=x，x2=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+2， ?f(x)+2=-f(-x)-2=-[f(-x)+2]，?f(x)+2为奇函数(故选C 5.解:因为;f(x-3)=2f(x)，?f(x-6)=2f(x-3)=4f(x)，?f(x)=1/ 4 f(x-6)， 22x?[5，7]?x-6?[-1，1];?当x?[-1，1]时，f(x)=x+x=(x+1 /2 )-1/ 4 ?x=-1/ 2 时，y=-1/ min4 ，x=1时，y=2(故当x?[-1，1]时，f(x)?[-1 /4 ，2](?x?[5，7] max ?f(x)=1/ 4 f(x-6)?[-1/ 16 ，1/ 2 ](故答案为:[-1/ 16 ，1 /2 ]( 6.证明:令x=y=0，代入f(x+y)=f(x)+f(y)式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0( 令y=-x，代入f(x+y)=f(x)+f(y)，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)(即f(-x)=-f(x)对任意x?R成立，所以f(x)是奇函数(