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基于灰色关联度的小样本预测模型

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基于灰色关联度的小样本预测模型基于灰色关联度的小样本预测模型 统 计 与 信 息 论 坛 第 24 卷第 12 期年 12 月2009 Vol . 24 No . 12 Dec. ,2009 Statistics & Info r matio n Fo rum 【统计理论与方法】 基于灰色关联度的小样本预测模型 1 ,2 2 曾波,刘思峰 () 1 . 重庆工商大学 商务策划学院 , 重庆 400067 ;2 . 南京航空航天大学 经济与管理学院 , 江苏 南京 210016 摘要 :针对传统灰色预测模型无法处理以及难以寻找统计规律的小样本数据 ,通...
基于灰色关联度的小样本预测模型
基于灰色关联度的小样本预测模型 统 计 与 信 息 论 坛 第 24 卷第 12 期年 12 月2009 Vol . 24 No . 12 Dec. ,2009 Statistics & Info r matio n Fo rum 【统计理论与方法】 基于灰色关联度的小样本预测模型 1 ,2 2 曾波,刘思峰 () 1 . 重庆工商大学 商务策划学院 , 重庆 400067 ;2 . 南京航空航天大学 经济与管理学院 , 江苏 南京 210016 摘要 :针对传统灰色预测模型无法处理以及难以寻找统计规律的小样本数据 ,通过对序列之间灰色关联度物理含义的 ,挖掘序列内部以及序列之间的数据变化规律 ,并在此基础上构建了一种新的灰色预测模 型 ;应用该模型对中国 2008 年度的 GD P 进行预测 ,预测结果验证了该模型的有效性及实用性 ;该模型的提出 为小样本数据提供了一种新的预测方法 。 关键词 :灰色系统理论 ;预测模型 ;小样本 ;灰色关联度 () 中图分类号 : N941文献标志码 :A文章编号 :1007 - 3116 200912 - 0022 - 05 数据进行估计和预测 。对于不能使用灰色预测模型 一、引言以及无法寻找统计规律的小样本数据 ,该模型提供 了一种新的预测方法 。 预测 ,就是以掌握的数据 、资料 、信息 、规律 ,通 过分析及推理 ,对事物的未来做出符合发展规律的 灰色关联预测模型是灰色系统理论对小样本数1 评价或结论。随着经济和社会的向前发展 ,各种 据在预测手段上的丰富和升华 ,具有重要的理论价 预测模型相继产生 ,如回归预测模型 、马尔可夫预测 值和实用价值 。 2 模型 、灰色系统预测模型 、投入产出预测模型等。 纵观这些预测模型 ,都存在一定的缺陷 :回归预测模 二、一种新的灰色关联模型 型需要大量的历史数据 ,而多元非线性回归模型不 传统的邓氏关联度利用位移差反映了序列间发 仅建模难度大 ,且计算过程复杂 ;马尔可夫模型虽然 展过程或量级的相近性 ,进而对序列之间的关联程 需要的数据量小 ,但是计算的准确率偏低而存储复 6 3 度进行量化。但研究者们发现邓氏关联度不具 杂度偏高;灰色系统预测模型的特点是小样本建 4 有唯一性和规范性 ,同时无量纲化处理会产生序数 模 ,但模型本身还存在一定的问题。 7 - 9 效应等缺陷。在介绍灰色关联预测模型之前 , 灰色关联分析是灰色系统理论的重要组成部 首先提出了一种新的灰色关联度模型 。 分 ,是对运行机制与物理原型不清晰或者根本缺乏 物理原型的灰色关系序列化 、模式化而建立的灰色( ) ( ) ( 定义 t, x t, , 1设时间序列 X= x i i 1i 2关联分析模型 ,为复杂系统的建模提供了重要的技 ( ) Δ( ) ) , m , 称 tX x t , i = 0 , 1 , 2 , 为时间序列 i ni k i5 术分析手段。 即 :, n ,在时刻 t到时刻 t的数据增量 , k = 2 , 3 , k - 1 k 笔者提出了一种基于灰色关联度的预测模型( )Δ( ) ( ) t ( )x t = x t - 1 i k - 1 i k i k () 简称灰色关联预测模型,该模型从序列之间灰色 ( ) Δ 称E为数据增量t 绝对值的平均值 , 即 :i i k 关联度的角度去寻找数据变化的规律 ,进而对未来 n 1 Δ( ) ( )| t |2 E= i k i ?n - 1 t = 2 收稿日期 :2009 - 02 - 16 ;修复日期 :2009 - 09 - 24 ( ) 基金项目 :国家科技支撑资助项目《重庆“便民 e 站”服务平台与应用》2007BA H08B04;国家自然科学基金项目《基 () 于复杂网络的决策群体多元不确定性偏好集结研究》70701017;教育部博士点基金项目《灰色预测模型研究》 ()200802870020 () 作者简介 :曾 波 1975 - ,男 ,四川威远人 ,讲师 ,博士生 ,研究方向 :灰色系统理论 。 ( ) 称 5 t 为序列 X 在时刻 t 到时刻 t 数据增量 即 :i k i k - 1 k ) 11 若 Π k = 2 , 3 , ( )( 的均值化 , 即 :1> 0 , , n , x k - x k - 1 则称 X 为单调递增序列 。( ) Δ( ) ( )5 t = | t | 3 i k i k E i ( )( 21 若 Π k = 2 , 3 , ) , n , x k- x k -1< 0 , ( ( ) ) γ称x t , t 为序列 X 与 X 在时刻 t 到时 0 i k - 1 k 0 i k - 1 则称 X 为单调递减序列 。 刻 t 的灰色关联系数 , 即 :k ( ) ( 31 若 Π k , k′?{ 2 , 3 , , n } , 有 x k - x k - 1 ) ( ) ( ) 1> 0 , x k′- x k-′ 1< 0 , 则称 X 为随机振荡 γ( ( ) )x t , t = 0 i k - 1 k ( ) ( )1 +| 5 t - 5 t | 0 k i k 序列 。( )4 根据序列之间的灰色关联度 , 对序列中定义 4( ) γ称 X , X 为序列 X 与 X 的灰色关联度 , 即 : 0 i 0 i 的未知数据进行预测的模型 ,称为灰色关联预测模型。n 1 定义 5在定义 2 中 , 当 m = 2 时 , 称灰色关联γ( ( ) )( )γ( ) x t , t 5 X , X = 0 i k - 1 k 0 i ? 1 n - k = 2 预测 模 型 为 双 序 列 灰 色 关 联 预 测 模 型 , 记 做 :规范性 ; 偶对对可证明该灰色关联度模型满足 ( ) GIFM 2; 当 m > 2 时 , 称为多序列灰色关联预测 称性 ; 接近性 ; 保序性 ; 唯一性 ; 仿射性 。证明略 。( ) ( 模型 , 记 做 GIFM m GIFM ———Grey Incidence ) Fo recast Mo del。 三、灰色关联预测模型的构造 () ()二双序列灰色关联预测模型 GIFM 2邓聚龙教授创立灰色关联理论的主要目的是对 ( ) γ 双 序 列 预 测 模 型 是 根 据 X , X 和0 i n 序列之间关系的紧密程度进行量化 , 然后按照关联 1 度的大小进行排序 , 强调的是关联度之间的顺序关 ( ) ( ) x t 对 X 的第 t 项 x t 的值进行预测 1 n +1 0 n +1 0 n +1 系 , 而并不关心关联度的具体大小 。笔者认为灰色关 ( 这里仅讨论对 X 的第 t 项的预测 , 对 t 后面 0 n +1 n +1 联度既然体现了序列之间关系的紧密程度 , 表明了 ) 数据的预测类似。 序列之间通过灰色关联度建立起了一种或强或弱的 ( ) 根据式 4, 可计算序列 X 与 X 在时刻 t 到 0 1 n 对应关系 。 时刻 t 之间的灰色关联系数 , 即 : ( ) ( ) 根据式 4和式 5计算序列之间的灰色关联 n +1 度 , 该关联度在数值上体现了序列间数据变化率的 1 γ( ( ) )x t , t = 01 n n +1 ()() 5 t - 相似程度 , 反映了数据之间的变化关系及变化规律 , 1 +| 5 t | 0 n +1 1 n +1 通过对数据变化规律性的挖掘和分析 , 构建序列之 ( )( ) Ζ | - 5t |5t 0 n +1 1 n +1 间数据变化的函数关系 , 然后对序列中的未知数据 1 = - 1 进行估计和预测 , 从而将灰色关联理论的应用范围 γ( ( x t , t) )01 n n +1 从分析领域拓展至预测领域 , 为小样本数据提供了 γ( ( ) ) γ( ) 令x t , t = X , X 01 n n +1 0 1 n一种新的预测模型 。 则 ( ) 一基本概念 1 ( )( ) ( )| - 5t | =- 1 6 5t 0 n +1 1 n +1 γ( ) X , X 0 1 n ( ) ( ) 由于不能直接比较 5t 和 5t 的大 0 n +1 1 n +1 ( ) ( ) 小 , 只能间接通过已知数据 5t 与 5t 的大小 0 n 1 n ( ( ) ( ) 2设时间序列 X = x t , x t , , 定义 i i 1 i 2 ( ) ( ) 关系来表示 5t 与 5t 的大小关系 。 0 n +1 1 n +1 ( ) ( ) ) x t , i = 0 , 1 , 2 , , m m ?1, 即 :i n ( )( ) 11 当 5t ?5t 时 , 得到 : 0 n 1 n 11 当 i = 0 , X 称作因变量序列 。 i 1 21 当 i ?0 , X 称作自变量序列 。( )( ) ( )- 1 7 = i 5t - 5t 0 n +1 1 n +1 ) γ( X , X0 1 nγ( ) 记X , X 为序列 X 与 X 之间前 n 项数据 0 i n 0 i ( ) 根据定义 1 , 式 7 可变形为 : 的灰色关联度 , 即 : ( )( ) | x t - x t | 0 n +1 0 n n 1 1 γ( ( ) )γ( ) x t , t X , X ƒ 0 i k - 1 k 0 i n ( ) - 1 + 5t ] ?E ?= 1 n +1 0 1 n - k = 2 γ( ) X , X 0 1 ni ( ( ) γ 记 x t) 为 根 据 X , X 及上式左端存在绝对值符号 , 运算起来很不方便 ,0 n + k 0 i n + k - 1 ( ) x t 预测 X 的第 t 项的值 , 即 : 现在做如下讨论 :i n + k 0 n + k i ( ) ( ) > 1X 为 单 调 增 长 序 列 , 则 x t(γ( ) ( ) )0 0 n +1 ( ƒ f X , X , x t x t 0 i n + k - 1 i n + k 0 n + k ( ) x t : ( ( ) ( ) 设序列 X = x 1x 2 ( ) ) 0 n 定义 3, ,, x n, γ( ) 1 - X , X ( )( ) | - x t | x t 0 1 n0 n 0 n +1 1 ( x ( )= [ t )] ?+ 5t 1 0 n +1 n +1 γ( )X , X 0 1 n γ( ) X , X - 1 0 1 n ) ( = + 5t ] ?E1 n +1 0 ( )( )E+ x t 8 γ( )0 0 n X , X 0 1 n ( ) ( )( ) 1X 为递增序列 , 则 ( ) 2X 为 单 调 衰 减 序 列 , ( )> x t : x t x t 则 0 0 n 0 n +1 0 < 0 n +1 γ( ) X , X - 1 ( ) x t : 0 1 n 0 n 1 ( )( ) x = [ t + 5t ] ? 0 n +1 1 n +1 ) γ( X , X 0 1 n γ( ) 1 - X , X 0 1 n1 ( ) x ( )= x t -t + 0 n 0 n +1 ( )( )E+ x t 11 0 0 n ) γ( X , X 0 1 n ( )( ) ( ) 2X 为递减序列 , 则 t < x t : x ( ) ( )0 n +1 0 n 5t ] ?E9 0 1 n +1 0 ( ) 3X 为振荡序列 , 视具体情况而定 。 0 γ( ) X , X - 1 0 1 n 1 ( )( ) x t = x t - + 0 n +1 0 n ( ) ( ) 21 当 5t < 5t 时 , 得 : γ( )0 n 1 n X , X 0 1 n ( )( ) 12 5t ] ?E 1 n +1 01 ( ) ( )( )5t 5t 10 = 1 - - ( ) 0 n +1 1 n +1 3X 为振荡序列 , 视具体情况而定 。 0 γ( ) X , X 0 1 n 表 1 归纳了预测值计算公式的几种情况。 ( ) 根据定义 1 , 式 10可变形为 : 预测值计算公式几种情况表表 1 条件( ) ( )( ) ( )5t < 5t 5t ?5t 0 n1 n0 n1 n 序列 γ( ) γ( ) 1 - X , X X , X - 1 0 1n0 1n ( ) ( )( ) ( ) 单调增长序列( )+ 5t ] ?E+ x t ( )+ 5t ] ?E+ x t x t = x t = 1 n +10 0 n1 n +10 0 n0 n +1 0 n +1 γ( γ( X , X ) X , X ) 0 1n 0 1n γ( ) γ( ) 1 - X , X X , X - 1 0 1n0 1n ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 单调衰减序列x t = x t - + 5t ] ?Ex t = x t - + 5t ] ?E 0 n +1 0 n1 n +100 n +1 0 n1 n +10( ) γ( ) g X , X X , X 0 1n 0 1n ( ) ( )GIFM m 三多序列灰色关联预测模型 四、应用分析( ) GIFM m 模型就是将所有的因变量序列分别 GD P 是一个国家或者地区所有常住单位在一 ( ) 与自变量序列组合成 GIFM 2模型 , 然后再对预测 ( ) 定时期内生产活动的最终成果 , GD P X 与全社会 0 值按照因变量序列与自变量序列的关联度进行加权 ( ) ( ) 固定资产投资 X 及进出口总额 X 有比较稳定 1 2 处理 , 处理步骤为 : ( ) ( ) 的关系 , 现分别使用 GIFM 3模型 , GM 1 , 1模型 ( ) ( ) 1根据定义 1 , 分别计算因变量序列与每步骤 以及 GM 1 , 3模型 , 根据表 2中的统计数据 , 对 γ( ) 个自变量序列的灰色关联度 X , X , i = 1 , 2 , 2008 年中国 GD P 进行预测 , 并比较其预测精度 。0 i n , m 。表 2 2004 - 2007 年 i ( ) ( ) ( 国内 GD P 、固定资产投资及进出口总额表 步骤 2i 按照表 1中的公式计算 x t0 n +1 ) = 1 , 2 , , m 的值 。 年份 步骤 3根据关联度的定义 , 与因变量序列的2004 2005 2006 2007 因子 灰色关联度越大 , 该序列对因变量预测值的影响就( )X 亿元 136 515 182 321 209 407 246 619 0 越大 , 故通过序列的灰色关联度来测度该序列对因 ( )X 亿元 1 70 073 88 604 109 870 137 239 变量预测值所占的权重 , 即 : ( )X 亿美元 2 11 548 14 221 17 607 21 738 γ( ) X , X 0 i n( )13 w = m i 注 :数据来自中华人民共和国《中国统计年鉴》。γ( ) X , X 0 j n ? ( ) ( ) 一GIFM 3模型j = 1 m ( ) Δ 11 计算序列的 t 、Ei k i w = 1其中j ? j = 1 表 3 序列数据增量及其绝对值平均值表 步骤 4计算最终预测值 , 对预测值按照公式 项目Δ ( )Δ ( )Δ ( )t t t E i 1 i 2 i 3 i 因子( ) 13进行加权 , 即得到因变量的最终预测值 , 即 :^ 1 2 ( )X 亿元 45 806 . 3 27 086 37 212 36 701 ( )( ( 0 ) ×x t) + w x t = w ×x t0 n +1 2 0 n +1 0 n +1 1 ( )X 亿元 1 m 18 531 21 266 27 369 22 388 . 7 ( ) + + w ×x t m 0 n +1 ( )X 亿美元 2 m 2 673 3 386 4 131 3 396 . 7 ^ j ( )( ) ( )= [ w ×x t14 x t ]0 n +1 j 0 n +1 ?j = 1 () 8 崔杰 ,党耀国 ,刘思峰. 几类关联分析模型的新性质J . 系统工程 ,2009 ,27 4:65 - 70 . () 9 孙玉刚 ,党耀国. 灰色 T 型关联度的改进J . 系统工程理论与实践 ,2008 4:135 - 139 . () 责任编辑 :郭诗梦 Small Sa mple Predict ion Model ba sed on Grey Inc idence Degree 1 ,2 2ZEN G Bo, L IU Si2feng (1 . St rategical Planning College , Cho ngqing Technology and Business U niversity , Cho ngqing 400067 ; )2 . School of Eco no mics and Management , Nanjing U niversity of Aero nautics and Ast ro nautics , Nanjing 210016 , China Abstract :Fo r a small sample data ,w hich is not dispo sesd by a t raditio nal grey p redictio n mo del and has not a statistical law s. First , by mining and analysing grey incidence degree’s p hysical meaning amo ng sequences , it can discovere change law s amo ng o r bet ween sequences , and t hen a novel grey p redictio n mo del is set up . Ultimately , The GD P in 2008 is fo recasted wit h t his mo del , t he result s p rove t he validit y and p racticabilit y. Fo r small sample , t his mo del p ut s fo rward a new p redictio n app roach . Key words :grey system t heo ry ; small sample ; p redictio n mo del ; grey incidence degree () 上接第 21 页 参考文献 : 1 陈正昌 ,程炳林 ,陈新丰 ,等. 多变量分析方法M . 北京 :中国税务出版社 ,2005 :461 - 462 . 2 Lindley D V , Smit h A F M . Bays estimatio n for t he linear model J . Journal of t he Ro yal Statistical Society ,Series B ,1972 , 34 :1 - 41 . Demp ster , L aird , Rubin. Maximum li keli hood f ro m inco mplete data via t he EM algorit hm J . Journal of t he Ro yal Statistical 3 Societ y ,Series B ,1977 ,39 :1 - 8 . Raudenbush S W ,Brayk A S. Hierarchical linear models : applicatio n and data analysis met hodsM . 2nd ed. Thousand Oaks , 4 CA : Sage ,2002 :23 - 35 . Goldstein H. Multilevel statistical model M . 3rd ed. S ydney : Edward Arnold ,2003 :2 - 20 . 5 刘殿国. 累加方法的多层统计模型的建立及其应用研究D . 长春 :吉林大学博士学位论文 ,2005 . 6 夏勇开 ,刘殿国 ,过建春 ,等. 基于随机系数累加多层统计模型的香蕉产业组织模式绩效研究J . 热带农业科学 ,2008 7 () 1:59 - 63 . 刘殿国. 中国香蕉产业组织模式绩效的实证分析 —基于多变量随机系数累加多层统计模型J . 吉林工程技术师范学院8 () 学报 ,2008 3:66 - 68 . () 刘殿国 ,许芳. 幂随机系数累加多层统计模型的建立及其预测上的应用J . 系统工程 ,2008 11:90 - 93 . 9 10 张雷 ,雷雳 ,郭伯良 ,等. 多层线性模型应用M .第 2 版. 北京 :科学教育出版社 ,2005 :25 - 35 . () 11 过建春 ,夏勇开 ,王芳 ,等. 中国香蕉产业组织化发展现状调研及评价J . 中国热带农业 ,2007 6:12 - 14 . ()责任编辑 :崔国平 Study and Appl icat ions on the Accumulated Mult ilevel Stat ist ical Model s of Mult ivariate Whole Model ZHAN G Ho ng2bo , L IU Dian2guo ( )School of Eco no mics , Hainan U niversity , Hai kou 570228 , China Abstract : Set ting up accumulated multilevel statistical mo dels of multivariate w hole mo del , based o n accumulated multilevel statistical mo dels of multivariate rando m coefficient and taking acco unt fo r level 2 variables affect s regressio n coefficient of level 1 , This mo del widen up t he applicatio n of multilevel statistical mo del. Appling accumulated multilevel statistical mo dels of w hole mo del to st udy t he relatio nship amo ng t he o rganizatio n mo del of banana indust ry and revenue per Mu and p ropo rtio n of o rganic fertilizer , t he aut ho rs o btain basically co nsistent result s wit h w hat in p ractice . Key words :multivariate ; accumulated multilevel statistical mo del ; w hole mo del ; o rganize effect ;
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