已知f(x)=x3 3ax2 bx a2,在x=﹣1时有极值o (1)求常数a,b的值;[精彩]

已知f(x)=x3 3ax2 bx a2,在x=﹣1时有极值o (1)求常数a,b的值;[精彩] 菁优网 322已知f(x)=x+3ax+bx+a，在x=,1时有极值O (1)求常数a，b的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)方程f(x)=C在区间[,4，0]上有三个不同的实根时实数C的范围( 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性( 专题: 导数的概念及应用( 322′: (1)求出函数f(x)的导函数，由f(x)=x+3ax+bx+a在x=,1时有极值O，则f(1)=0，f(,1) =0，两式联立可求常数a，b的值; (2)把a，b代入后得到函数解析式，运用函数的导函数大于0和小于0求解函数f(x)的单调区间; (3)求出函数f(x)的极值，再求出f(,4)和f(0)，结合函数的单调性作出函数图象的大致形状，数 形结合可求得实数C的范围( 322′2解答: 解:(1)由f(x)=x+3ax+bx+a，得:f(x)=3x+6ax+b 322因为f(x)=x+3ax+bx+a在x=,1时有极值O，所以， 即，解得:或( 32当a=1，b=3时，f(x)=x+3x+3x+1， ′222f(x)=3x+6x+3=3(x+2x+1)=3(x+1)?0 32所以函数f(x)=x+3x+3x+1在(,?，+?)上为增函数， 不满足在x=,1时有极值O，应舍掉， 所以，常数a，b的值分别为a=2，b=9; 32(2)当a=2，b=9时，f(x)=x+6x+9x+4， ′2f(x)=3x+12x+9， 2由3x+12x+9,0，得:x,,3或x,,1， 2由3x+12x+9,0，得:,3,x,,1( 32所以，函数f(x)=x+6x+9x+4的增区间为(,?，,3)，(,1，+?)(减区间为(,3，,1)( 32(3)当f(x)=x+6x+9x+4时， 由(2)知函数的增区间为(,?，,3)，(,1，+?)，减区间为(,3，,1)( 又f(,4)=0，f(,3)=4，f(,1)=0，f(0)=4， 32所以函数f(x)=x+6x+9x+4的大致图象如图， 若方程f(x)=C在区间[,4，0]上有三个不同的实根，则函数y=f(x)与y=C的图象有三个不同的交点， 由图象可知方程f(x)=C在区间[,4，0]上有三个不同的实根时实数C的范围是(0，4)( 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数在某区间上的导函数大于0，函数在该区间上为增函数， 函数在某区间上的导函数小于0，函数在该区间上为减函数，考查了数形结合的解题思想，同时训练了函数 在极值点处的导数等于0，此题是中档题(