开放性问题

  开放性问题     开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型. 题型之一  条件开放型 例1  (2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF. (1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是      ，并证明. (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由. 【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可； (2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH与BH应满足的条件. 【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE∥CF或EH=FH或∠EBH=∠FCH或∠BEH=∠CFH等. 选择EH=FH，证明如下： 证明：∵点H是边BC的中点，∴BH=CH. 在△BEH和△CFH中， ∴△BEH≌△CFH(SAS). (2)如图，当BH=EH时，四边形BFCE是矩形. 理由如下： ∵BH=CH，EH=FH, ∴四边形BFCE是平行四边形. 又∵BH=EH,∴EF=BC. ∴四边形BFCE是矩形. 方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己. 1.（2014·湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足                    ，则a、b平行. 2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：                    ，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线). 3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件：                    ，使△ADE∽△ACB.(写出一个即可) 4.(2014·娄底)先化简，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值. 5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，请添加一个条件，使得四边形ABCD为矩形，并说明理由. 题型之二  结论开放型 例2  (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： (Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间； (Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大. (1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求； (2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程) 【思路点拨】(1)要验证y=x+(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100； (2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出. 【解答】(1)当p=时，y=x+(100-x).即y=x+50. ∴y随着x的增大而增大， 即p=时，满足条件(Ⅱ)； 又当20≤x≤100时，×20+50≤y≤×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ). 综上可知，当p=时，这种变换满足要求. (2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x-20)2+k. ∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大， 令x=20,y=60，得k=60. 令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=. ∴y=(x-20)2+60. 方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论. 1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式                              . 2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数                    . 3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE. (1)从图中任找两组全等三角形； (2)从(1)中任选一组进行证明. 4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式. 5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表： 质量/kg 0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9 数量/条 1 8 15 18 5 1 2 然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号. (1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点). (2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大? (3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg). 题型之三  综合开放型 例3  (2013·绍兴有改动)看图说故事. 请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x和y的含义； (2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题. 【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出. 【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法： 某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x(千米)，则车费为y(元).该函数图象就是表示y随x的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b， 由函数图象，得 解得 故y与x的函数关系式为：y=2x+2. ②当y=32时，32=2x+2.解得x=15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米. 方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生. 1.看图说故事. 请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量. 2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程. 3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点. (1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例. 参考答案 题型之一  条件开放型 1.答案不唯一，如∠1=∠2    2.（答案不唯一）AD＝BC(或AB∥DC) 3.∠ADE=∠C(答案不唯一) 4.原式===. 解不等式2x-3<7得x<5. 取x=1时，原式==. 提示：本题最后答案不唯一，x不能取±3,4. 5.本题答案不唯一，如：∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°,或OB=OA=OC或AB2+BC2=AC2等. 以∠B=90°为例说明.理由： ∵AB=CD,AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90°，∴□ABCD为矩形. 题型之二  结论开放型 1.答案不唯一，如：2a6-a6，a2×a4，(a2)3，a8÷a2(a≠0) 2.答案不唯一，如：，， 3.(1)△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA. (2)∵AF＝CE，∴AE＝CF. ∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. 又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF. 4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如： 1 此函数的解析式为y=(k＞0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k=1. ∴此函数可以为：y=； ②设此函数的解析式为y=kx+b(k＜0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k+b=1，k＜0. ∴此函数可以为：y=-x+2,y=-2x+3,…； ③设此函数的解析式为 y=a(x-m)2+n(a<0,m≤0)， ∵此函数经过点(1，1)， ∴a(1-m)2+n=1(a<0,m≤0). ∴此函数可以为：y=-x2+2,y=-2x2+3,y=-(x+1)2+5,…. 5.(1)如图所示. (2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大； (3)质量落在0.8~1.1 kg范围内； (4)方法一：用去尾平均数估计： 去尾平均数=≈0.87（kg）. 50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg. 方法二：平均数=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×＝0.904(kg). 50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg. 方法三：利用组中值计算平均数：= ＝0.884（kg）. 50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg. 方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量： 50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg. 题型之三  综合开放型 1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系； （2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地. 2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？ 设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得=+10. 化简得2x2-5x-3=0，解得x1=3，x2=-. 经检验知x=3符合题意，∴x=3. ∴甲从A地到B地步行所用时间为3小时. 3.(1)设y=， ∵A(1，10)在图象上，∴10=.即k=10. ∴y=(1≤x≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km，某天小明骑自行车以x km/h的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y=（h）.