函数的奇偶性、对称性、周期性关系

函数的奇偶性、对称性、周期性关系（漆明义） （一） 函数的奇偶性 （1） 偶函数：对定义域内的任意?（-x）= ?（x）, （2） 奇函数：对于定义域内的任意定义域有?（-x）= -?（x）, 结论：（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 如：y=（x+1） 的定义域  -1＜x≤1 不关于原点对称则此函数不具有奇偶性。 （2）奇函数?（x）在对称区间具有相同的单调性，偶函数在对称区间具有相同的单调性。 例如：奇函数y=   在（- .0）和（0+ ）上单调递减y= 在（- .0）单调递增， （3） 定义在R上的奇函数有?（0）=0, （4） 分段函数的奇偶性。 （1） 已知定义在R上的奇函数，当 x＞0时，F（x）= ?（x） 求F（x）的表达式： 法则：F(x)= （2） (2)定义在R上的偶函数，当x≥0时，F(x)= ?（x） 求F(x)的表达式。 法则：F(x)=               (5)周期为T定义域为R的奇函数满足?（0）= ?（ ）=0,证明?（ ）= ?（ +T）= ?（ ）= -?（ ） （6）常见的互为反函数的奇函数对?（x）= - (x)= ?（x）= (x)= 7、举例： （一） 若对 ?（x+y）= ?（x）+ ?（y） 则?（x）为奇函数 （二）定义在 （-1，1）上的函数?（x）有?（x）+ ?（y）=f 则?（x）为奇函数 （三）对一切X ，且X 0有?（ ）= ?（ ）+ ?（ ） 则?（x）为偶函数 证明：  令 x1 = x2 = 1 ?（1）=0 令 =-1=+（-1）=0 令 =X，则?（-x）= ?（-1）+ ?（x） ∴?（-x）= ?（x）        ∴?（x）为偶函数。 （二）对称性 1、自身对称（i）f(x)以x=a为对称轴 (ii) f(x)图象关于（a，b）中心对称 f(x)+f(2a-x)=2b 2、两个函数间的对称 （i）y=f(x) 关于（a，b）对称的函数表达式是y=g(x) 则2b-g(x)=f(2a-x)即g(x)=2b-f(2a-x) 如：求y= 关于（3，4）对称的函数表达式内以8-y代y，6-x代x则 8-g(x)= 所求函数表达式为g(x)=8 (ii)y=f(x)关于x=a对称的函数表达式是y=g(x)，则g(x)=f(2a-x) 如：求y= 代x，y不变，则g(x)= 为所求 3、y=f(x-a)与y=f(b-x)关于x=f对称，求t 令x-a=b-x 则t 结论：y=f(x-a)与y=f(b-x)关于直线x 对称 （三）函数的周期性 （i）满足f(x+T)=f(x)称 f(x)的周期为T的函数 （ii）下列关系式表示函数的周期为2a （4）函数的奇偶性、对称性、周期性关系 （1）y=f(x)有两个以上的对称轴，则y=f(x)是周期函数 如：y=f(x)关于x=a和x=b对称，则f(x) 是以T=2 为周期的周期函数 证明：由已知： （2）y=f(x)有两个以上的对称中心，则y=f(x)是周期函数 如：y=f(x)关于（a，0）和（b，0）中心对称 则T=2 ，证法如上。 （3）y=f(x)有两个对称中心，（a,0）和(b,0)由必有第三个对称中心（2a-b,0） f(x+2a)=f(x+2a)=0 证明：f(x)+f(2a-x)=0 f(x)+f(2b-x)=0   f(x+2b-2a)+ f(2a-x)=0   f(x)+f(4a-2b-x)=0 ∴f(x)的另一对称中心为（2a-b,0） 练习：y=f(x+1)和y=f(x-1)为奇函数，求证： y=f(x)关于（3，0）成中心对称。 （4）偶函数f(x)关于x=a对称，则f(x)以2a为对称轴 证明：     f(x) = f(x+2a) （5）周期为2a的偶函数f(x)必有对称轴x=a 证明：       f(2a-x)=f(x) （6）f(x)的对称轴为x=a，且周期为2a ，则f(x)为偶函数 证明： f(x)=f(-x) （7）f(x)为奇函数且以x=a为对称轴，则f(x)是以x=4a为周期的周期函数 证明：   -f(-x)=f(2a-x) 即：f(x+2a)=-f(x)      ∴T=4a （8）若f(x+2a)=-f(x)且f(x)关于（a,0）成中心对称，则f(x)为偶函数 证明：         ∴f(-x)=f(x) （9）若f(x+2a)=-f(x)且f(x)关于（-a,0）成中心对称，则f(x)为偶函数 证明：   f(x+2a)=f(-2a-x)    f(x)=f(-x) （10）周期为2a的奇函数必有对称中心（a，0）如：y= ,T=2 ，对称中心（ ） 证明：     f(x+2a)+ f(-x)=0    f(x)- f(2a-x)=0 （11）应用举例 （i）定义在RT的函数y=f(x)是奇函数，且满足 f(1+x)=f(1-x)，f(x)∈[-1，1]时，f(x)= 则 的值是： A、-1            B、0        C、1            D、2 解：     f(2-x)=- f(x) ∴f(x+2)   ∴T=4，求得 =1 (ii)定义在R上的奇函数，且对任意的实数x，恒有 f(x+2)=-f(x)，x∈[0，2]，f(x)=2x- , （i）求证：f(x)是周期函数， （ii）x∈[2，4]求f(x)的解析式 解：   f(x+2)=-f(x)    ∴T=4 设 则 ∴0   ∴ ∴ 为所求