[定稿]相对论公式证明

[定稿]相对论公式证明 相对论公式证明 0000 单位 符号 单位 符号 坐标: m (x,y,z) 力: N F(f) 时间: s t(T) 质量:kg m(M) 位移: m r 动量:kg*m/s p(P) 速度: m/s v(u) 能量: J E 加速度: m/s^2 a 冲量:N*s I 长度: m l(L) 动能:J Ek 路程: m s(S) 势能:J Ep 角速度: rad/s ω 力矩:N*m M 角加速度:rad/s^2α 功率:W P 一: 牛顿力学(预备知识) (一):质点运动学基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+?rdt (2)a=dv/dt,v=v0+?adt (注:两式中左式为微分形式，右式为积分形式) 当v不变时，(1)表示匀速直线运动。 当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。 只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。 (二):质点动力学: (1)牛一:不受力的物体做匀速直线运动。 (2)牛二:物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt (3)牛三:作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。 (4)万有引力:两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。 F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 动量定理:I=?Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 动量守恒:合外力为零时，系统动量保持不变。 动能定理:W=?Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化) 机械能守恒:只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 (注:牛顿力学的核心是牛二:F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。) 二: 狭义相对论力学:(注:γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。) (一)基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。 (2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。 (此处先给出公式再给出证明) (二)洛仑兹坐标变换: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换: V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) (四)尺缩效应:?L=?l/γ或dL=dl/γ (五)钟慢效应:?t=γ?τ或dτ=dt/γ (六)光的多普勒效应:ν'=γν(1-ucosθ/c) (七)动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm. (八)相对论力学基本方程:F=dP/dt (九)质能方程:E=Mc^2 (十)能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2 (注:在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。) 三: 三维证明: (一)由实验出的公理，无法证明。 (二)洛仑兹变换: 设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT, 即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得: k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换: 赞 0 2006-5-13 11:10 回复 幽灵蝶 56位粉丝 2楼 X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)速度变换: V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z)的表达式。 (四)尺缩效应: B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得:?X=γ(?x-u?t),又?t=0(要同时测量两端的坐标)，则?X=γ?x, 即:?l=γ?L,?L=?l/γ (五)钟慢效应: 由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故 ?t=γ(?T+?Xu/c^2),又?X=0,(要在同地测量)，故?t=γ?T. (注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。) (六)光的多普勒效应: [证明一](注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).) B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是?t(b),由钟慢效应可知，A? 系中的钟测得的时间为?t(a)=γ?t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v?t(a))/c,则?t(N)=(1+β)?t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即 ν(b)?t(b)=ν(a)?t(N),(3).由以上三式可得:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b). [证明二]:光的多普勒效应我一直觉得证明太繁琐，不容易理解不说，而且还是特例。现在我找到简洁完美的方法了，可以直接导出任一情况的多普勒效应，而且简洁明了，我相信一定都能看的懂。 通过速度变换和质能方程(E=Mc^2)可以导出两个坐标系间的能量变换公式(证明很简单，但很繁琐，就不写了):E'=γE(1-u*v/c^2) (注:u、v都是矢量，u为参考系速度，v为光源速度，*表示点乘，也可以写做: E'=γE(1-uv(x)/c^2)) 上式对任意粒子都成立，对于光子:E=hν代入得: ν'=γν(1-ucosθ/c) (普遍公式) 对于θ=0可得:ν'=νsqr((1-β)/(1+β)) (特例) 利用速度变换和动量关系(p=Mv)一样可导出两坐标系之间的动量变换公式: p(x)'=γp(x)(1-u/v(x)) p(y)'=p(y) p(z)'=p(z) 动量变换与能量变换不仅仅适用于光子，对所有的粒子都是适用的。 (七)动量表达式:(注:dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c) 牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 牛顿力学中，v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变，(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dτ莫属)就可以修正速度的概念了。即令 V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算) (八)相对论力学基本方程: 由相对论动量表达式可知:F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。(相对论中质量是变量) (九)质能方程: Ek=?Fdr=?(dp/dt)*dr=?dp*dr/dt=?vdp=pv-?pdv =Mv^2-?mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 (十)能量动量关系: E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得: E^2=(E0)^2+p^2c^2 四: 四维证明: (一)公理，无法证明。 (二)坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即 dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。 由数学的旋转变换公式有:(保持y,z轴不动，旋转x和ict轴) X=xcosφ+(ict)sinφ icT=-xsinφ+(ict)cosφ Y=y Z=z 当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ 得:tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得: X=γ(x-ut) Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2) (三)(四)(五)(六)(八)(十)略。 (七)动量表达式及四维矢量:(注:γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ) 令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。 则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。(以下同理) 四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM) 四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力) 四维加速度:ω=dV/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c) 则f=mdV/dτ=mω (九)质能方程: fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四维力与四维速度永远“垂直”，(类似于洛伦兹磁场力) 由fV=0得:γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)) 故dEk/dt=c^2dM/dt即?dEk=c^2?dM,即:Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2 注:真正的质能方程并不是如上面这样证的，在牛顿动能里如果加入一个常数C并不影响整个理论，当时爱因斯坦使用电磁学方法证明静止质量的确是在变的，并不是常数，这才发表了质能方程，后来的核反应实验也证明了质能方程的正确性。