椭圆焦点三角形面积公式

椭圆焦点三角形面积公式 22xy定理 在椭圆，,1(,,0)中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，bFaF2122ab y ,2，则tan. ，FPF,,S,b,FPF1212P 2P :记，由椭圆的第一定义得 |PF|,r,|PF|,r1122 O F x F1222 r，r,2a,？(r，r),4a.1212 222在?中，由余弦定理得: r，r,2rrcos,,(2c).FPF121212 22配方得: (r，r),2rr,2rrcos,,4c.121212 22即 4a,2rr(1，cos,),4c.12 222a,cb2()2？rr,,. 12，,，,1cos1cos 由任意三角形的面积公式得: ,,2sincos1sin,,22222S,rrsin,b,,b,,b,tan. ,,FPF1212,21cos2，,22cos2 ,2 ？S,btan.,FPF122 22yx，,1同理可证，在椭圆(,b,0)中，公式仍然成立. a22ab 22xy，,1例 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求 F，FPF,60:F212110064 ?的面积. FPF12 22xya,10,b,8,c,6,，,1,,60:.解法一:在椭圆中，而记 |PF|,r,|PF|,r.112210064 点P在椭圆上， ？ 由椭圆的第一定义得: r，r,2a,20.？12 222在?中，由余弦定理得: r，r,2rrcos,,(2c).FPF121212 2配方，得: (r，r),3rr,144.1212 1 256从而 ？400,3rr,144.rr,.12123 112563643S,rrsin,,，，,. ,FPF121222323 22xy2b,64，,1解法二:在椭圆中，，而 ,,60:.10064 643,2？S,btan,64tan30:,. ,FPF1223 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现～ 2