【数学】湖北黄冈浠水县2009届高考数学二轮专题复习——空间距离

【】湖北黄冈浠水县2009届高考数学二轮专题复习——空间距离 专题 (二) 空间距离 主干知识整合: 这块历来是高考考查的重点。同时贯穿着位置关系的判断。 1.两点的距离。异面直线间的距离。 2.线面间的距离。面面间的距离 经典真题感悟: 1.(湖南卷9)长方体ABCD,ABCD的8个顶点在同一球面上，且1111 AB=2,AD=,AA=1,则顶点A、B间的球面距离是( C ) 31 2,2,A.22, B.2, C. D. 24 45PABC,2((江苏•理•14题)正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点 PBC到侧面的距离是 ( A O3((湖南•理•8题)棱长为1的正方体的8个顶点都在球的面上，ABCDABCD,1111EF，O分别是棱AA，的中点，则直线被球截得的线段长为( D ) DDEF11 221， A( B( C( D( 2122热点考点探究: 考点一:定义法——直奔问题核心 空间距离的概念:图形F内的任一点与图形F内的任一点间的距离中的最小12值叫做图形F与图形F的距离.它可以看成是两个点集的元素之间距离的最小12 值. 【题1】 如图(13)，正方形ABCD、ABEF的边长都C 是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移 D M 动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, (0,x,y,2).B E (1)求MN的长(用x,y表示); N P (2)求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线A F AC，BF之间的距离 【解析】 在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，,,, 2xPB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得: ,2 12222022(x)，y，,2xycos45,x，y,xyPN=， 22 2122222Rt,PMN在中，MN= (1)MP，PN,,x，x，y,xy22 22; (0,x,y,2).,x，y,xy,2x，1 3221x2222(2)MN=， ()()y,，x,，,x，y,xy,2x，12433 2232x,y,故当，时，MN有最小值. 333 且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离. 考点二:向量法——化证明为计算 空间向量要把平面向量的知识迁移过来，加以类比，实际上它们本质上是一样的，只是位置范围扩大了.用向量法解立体几何问题，关键是建立空间直角坐标系，坐标原点O的任意性，要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点的坐标为正值，三坐标轴一定是相互垂直. 夹角公式:设a=(a，a，a)，b=(b，b，b)，则 123123 ab，ab，ab112233cos〈a?b〉 ,222222a，a，ab，b，b123123 距离公式:在空间直角坐标系中，已知A(x，y，z)，B(x，y，z),则 111222 222 d,(x,x)，(y,y)，(z,z)AB212121 例2. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 3为矩形，侧棱PA?底面ABCD，AB=，BC=1， PA=2，E为PD的中点. (?)求直线AC与PB所成角的余弦值; (?)在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC， 并求出N点到AB和AP的距离. 【解析】解法1:(?)建立如图所示的空间直角坐标系， 图(14) 则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0，0，0)、 33B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、 1P(0，0，2)、E(0，，1)， 2 AC,(3,1,0),PB,(3,0,,2).从而 设的夹角为θ，则 AC与PB AC,PB337cos,,,,, 1427|AC|,|PB| 37?AC与PB所成角的余弦值为. 14 (?)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，O，z)，则 1，由NE?面PAC可得， NE,(,x,,1,z)2 ,1,3z,1,0,(,x,,1,z),(0,0,2),0,,x,,,,NE,AP,0,,,,2 ? ,6即化简得,,,11,3x，,0.,,NE,AC,0.,,z,1,(,x,,1,z),(3,1,0),0.,,2,2, 33(,0,1)即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，. 66 考点三:平移法——集中条件构造图形 平移法是将空间问题转化为熟知的平面问题的重要手段之一. 立体几何中的三种角(线线角、线面角、二面角)和四种距离(线线距、点面距、线面距、面面距)从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化. 例3已知四棱锥 P—ABCD，PB?AD 侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120?. (I)求点P到平面ABCD的距离， (II)求面APB与面CPB所成二面角的大小. 【解析】(I)解:如图(17)，作PO?平面ABCD， 垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交 图(16) 于点E，连结PE. ?AD?PB，?AD?OB， ?PA=PD，?OA=OD， 于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE?AD. 由此知?PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角， ??PEB=120?，?PEO=60? 3由已知可求得PE= 333，,?PO=PE?sin60?=， 图(17) 22 3即点P到平面ABCD的距离为. 2 (II)如图(18)，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG 1?PB，FG//BC，FG=BC. 2 ?AD?PB，?BC?PB，FG?PB， ??AGF是所求二面角的平面角. ?AD?面POB，?AD?EG. 又?PE=BE，?EG?PB，且?PEG=60?. 3在Rt?PEG中，EG=PE?cos60?=. 2 1在Rt?PEG中，EG=AD=1. 图(18) 2 3EG于是tan?GAE==, 2AE 3又?AGF=π,?GAE. 所以所求二面角的大小为π,arctan. 2考点四:等积法——求点面距的特法 等积法包括等面积法和等积法，等面积法可以求出点到直线的距离，等体积法可以用来求点到平面的距离. 等面积法是平面几何中用到的，而等体积法则是立体几何用来求点面距的特法. 例4 正三棱柱的所有棱长都为 ABCABC,111 CC，为中点( 2D1A A1AB?ABD(?)求证:平面; 11 (?)求二面角的大小; AADB,,1 C(?)求点ABD到平面的距离( 1C CBCOAO【解析】(?)取中点，连结( 图(19) 1D ?ABC？AOBC?为正三角形，( B ABC?正三棱柱中，平面平面， ABCABC,BCCBB111111A A1 ？AO?平面( BCCB 11 F OD，BO连结，在正方形BBCC中，分别为 C 111C1D O 的中点， BCCC， 1B B1？BOBD?， 图(20) 1 ？ABBD?( 1 在正方形ABBA中，ABAB?，？AB?平面ABD( 111111 GABABABDGFAD?(?)设与交于点，在平面中，作于，连结，FAF1111 AB?ABD？AFAD?由(?)得平面(， 111 ？?AFGAADB,,为二面角的平面角( 1 45在中，由等面积法可求得AF,， ?AAD15 AG2101又，( ？,,,sin?AFGAGAB,,21AF4245 5 10arcsin所以二面角的大小为( AADB,,14 (?)中，，( ?ABDBDADABS,,,？,5226，，S,11?BCD11?ABD1 3在正三棱柱中，到平面的距离为( ABCCB111 Cd设点到平面的距离为( ABD1 11由得， VV,SSd,3ABCDCABD,,??BCDABD11133 3S2?BCD( ？,,dS2?ABD1 2C点到平面的距离为( ？ABD12 【点评】 本题中两次用到等积法，第(?)用到等面积法，第(?)问用到等体积法. 规律: 1、求角与距离的关键是化归:空间角化为平面角，空间距离化为两点间距离，最终化为求三角形中边角; 2、向量法在题目中的应用 3、等体积法在题目中的应用 专题能力训练: 一(选择题: 1(平面α与正四棱柱的四条侧棱AA、BB、CC、DD分别交于E、F、G、H.若1111 AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 C 。 A(6 B(5 C(4 D(3 2(有一山坡，它的倾斜角为30?，山坡上有一条小路与斜坡底成45?角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了(B) 6622 A(100米 B(50米 C(25米 D(50米 3(四面体的棱长中，有两条为23及，其余全为1时，它的体积 ( A ) 231 A( B( C( D(以上全不正确 121212 二(填空题: 4.设地球的半径为R，在北纬30?圈上有A、B两地，它们的经度差为120?， 3那么这两地间的纬度线的长为_________。 ,R3 5.已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成30?角，在直线a 上取AP=4，则点P到直线b的距离为 。 226.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边 23长为2，则该三角形的斜边长为 。 三(解答题: 7.正四面体ABCD的棱长为1，求: A到平面BCD的距离; 【解析】 (1)过作?平面于， AAOBCDO 连BO并延长与CD相交于E，连AE. ?==,?==. ABACADOBOCOD ?O是?BCD的外心. 又BD,BC,CD， ?O是?BCD的中心， 2332?BO=BE=. ，,3323 又AB,1，且?AOB=90?, 2,,3622,,?AO=1. AB,BO,,,,,33,, 6?A到平面BCD的距离是. 3 8((07福建•理•18题)如图，正三棱柱ABC,ABC的所有棱长都为2，D为CC中点。 1111 (?)求证:AB?面ABD; 11 (?)求二面角A,AD,B的大小; 1 (?)求点C到平面ABD的距离; 1