2012年专升本高数真题

报班地址：郑州市文化路A时代广场（河南科技市场创新大厦斜对面）12楼1201室 电话：0371—60385262 63582627 15036102897 18039226897 2012年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 值 60 20 50 12 8 150 注意事项： 答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 本卷的答案必须答在答题卡上，答在卷上无效． 一、选择题（每小题2分，共60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 1．函数 的定义域是 A． B． C． D． 解： .选C. 2．下列函数中为偶函数的是 A． B． C． D． 解：A、D为非奇非偶函数，B为偶函数，C为奇函数。选B. 3．当 时，下列无穷小量中与 等价的是 A． B． C． D． 解： 时， .选D. 4．设函数 ，则 是 的 A．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．第二类间断点 解： 处没有定义，显然是间断点；又 时 的极限不存在，故是第二类间断点。选D. 5．函数 在点 处 A．极限不存在 B．间断 C．连续但不可导 D．连续且可导 解：函数的定义域为 ， ，显然是连续的；又 ，因此在该点处不可导。选C. 6．设函数 ，其中 在 处连续且 ，则 A．不存在 B．等于 C．存在且等于0 D．存在且等于 解：易知 ，且 ， .故 不存在。选A. 7．若函数 可导， ，则 A． B． C． D． 解：根据复合函数求导法则可知： .选B. 8．曲线 有水平渐近线的充分条件是 A． B． C． D． 解：根据水平渐近线的求法可知：当 时， ，即 时 的一条水平渐近线，选B. 9．设函数 ，则 A． B． C． D． 解：对 两边同时求微分有： ，所以 EMBED Equation.3 .选D. 10．曲线 在点 处的切线斜率是 A． B． C． D． 解：易知 ， ， ，故 .选B. 11．方程 （其中 为任意实数）在区间 内实根最多有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解：令 ，则有 ，即函数在定义域内是单调递增的，故最多只有一个实根。选D. 12．若 连续，则下列等式正确的是 A． B． C． D． 解：B、C的等式右边缺少常数C，D选项是求微分的，等式右边缺少dx.选A. 13．如果 的一个原函数为 ，则 A． B． C． D． 解： 的一个原函数为 ，那么所有的原函数就是 .所以 .选C. 14．设 ，且 ，则 A． B． C． D． 解：因为 ，所以 ，又 ，故 . .选B. 15． A． B． C． D． 解：本题是变下限积分的题。利用公式可知 .选B. 16． A． B． C． D． 解： .选C. 17．下列广义积分收敛的是 A． B． C． D． 解：A选项中 ，故发散； B选项中根据结论 ，当 时发散，本题中 ，故发散； C选项中根据结论 ，当 时发散，本题中 ，故发散； D选项中 ，故收敛。选D. 18．微分方程 是 A．二阶非线性微分方程 B．二阶线性微分方程 C．一阶非线性微分方程 D．一阶线性微分方程 解：最高阶导数是二阶导数，并且不是线性的。选A. 19．微分方程 的通解为 A． B． C． D． 解：这是可分离变量的方程。有 ，两边同时积分有 ，即 .选B. 20．在空间直角坐标系中，若向量 与 轴和 轴正向的夹角分别为 和 ，则向量 与 轴正向的夹角为 A． B． C． D． 或 解：对空间的任意一个向量有 ，现有 ，从而解得 ，所以 为 或 .选D. 21．直线 与平面 的位置关系是 A．直线在平面内 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 解：直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，且 ，直线上的点 不在平面内，所以故该直线和平面平行。选B. 22．下列方程在空间直角坐标系中示的图形为旋转曲面的是 A． B． C． D． 解：根据旋转曲面方程的特点，有两个平方项的系数相同，故选C. 23． A． B． C． D． 解： .选B. 24．函数 在点 处可微是 在该点处两个偏导数 和 存在的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 解：可微可以退出偏导数存在，但是仅有偏导数存在退不出可微，故是充分而非必要条件。选A. 25．已知 ，则 A． B． C． D． 解： .选C. 26．幂级数 的和函数 为 A． B． C． D． 解：由 ，可知 .选B. 27．下列级数发散的是 A． B． C． D． 解：A选项中一般项趋于 ，故发散； B、C选项是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛；D选项根据结论 中 时收敛，本题中 ，故收敛。选A. 28．若级数 在点 处条件收敛，则在 ， ， ， ， 中使该级数收敛的点有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 解：该级数的中心点是2，又在点 处条件收敛，所以可以确定收敛区间为 .故在 ， 处收敛。选C. 29．若 是曲线 上从点 到 的一条连续曲线段，则曲线积分 的值为 A． B． C． D． 解： ， ，且有 ，因此该积分与积分路径无关。令该积分沿直线 上点 到 积分，可有 .选C. 30．设 ，则交换积分次序后， 可化为 A． B． C． D． 解：积分区域可写为： ，在图象中表示为 由此可知，积分区域还可表示为 .因此积分可表示为 .选A. 二、填空题（每小题2分，共20分） 31．已知 ，则 ． 解： ， ，因此 . 32．设函数 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ． 解： ， . 33．如果函数 在点 处可导且 为 的极小值，则 ． 解：因为极值点是 或者 不存在的点，现已知函数 在点 处 可导，所以 . 34．曲线 的拐点是 ． 解： ， .令 ，可得 ，此时 ； 并且当 时， ；当 时， .因此拐点为 . 35．不定积分 ． 解： 36．微分方程 满足 的特解为 ． 解：原方程对应的齐次线性微分方程为 ，可解得 .用常数 变易法，可求得非齐次线性微分方程的通解为 .将 代入有 .所以对应的特解为 . 37．向量 在 上的投影为 ． 解： ， ， ， 故向量 在向量 上的投影 . 38．设方程 所确定的隐函数为 ，则 ． 解：令 .则有 ，所以 .由于 时， .代入可知 . 39．设积分区域 为： ，则 ． 解： ，而积分区域 表示的是以 为圆心，2为半径的圆，所以 ，即 . 40．若 （ ），则正项级数 的敛散性为 ． 解： ，由比较判别法的极限形式可知，级数 和 有相同的敛散性，故正项级数 是发散的。 三、计算题（每小题5分，共50分） 41．求极限 ． 解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ． 42．已知参数方程 （ 为参数），求 ． 解：因为 所以 ． 43．求不定积分 ． 解：令 ，则 ，且 于是 原式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 44．求 ． 解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ． 45．求微分方程 的通解． 解：原方程的特征方程为 特征方程的根为 所以原方程的通解为 ． 46．求函数 的极值． 解：由 解得驻点 又 对于驻点 ，因为 所以 ，于是点 不是函数的极值点． 对于驻点 有 于是 所以函数在点 处取极大值为 ． 47．求过点 且与直线 平行的直线方程． 解：因为所求直线平行于直线 所以所求直线的方向向量为 由直线的点向式方程可得，所求的直线方程为 ． 48．求函数 的全微分． 解：由于 所以 EMBED Equation.DSMT4 ． 49．计算 ，其中 为圆环： ． 解：在极坐标系下，区域 （如第49题图所示）可以表示为 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 50．求幂级数 的收敛域． 解：因为 所以原级数的收敛半径为 也就是，当 ，即 时，原级数收敛． 当 时，原级数为 是交错级数且满足 ， ，所以它是收敛的； 当 时，原级数为 ，这是一个 的 级数，所以它是发散的； 所以，原级数的收敛域为 ． 四、应用题（每小题6分，共12分） 51．求函数 在 时的最大值，并从数列 ， ， ， ， ， ， 中选出最大的一项（已知 ）． 解：因为 令 ，解得唯一驻点 ． 又因为在区间 内 ， 严格单调增加；在区间 内 ， 严格单调减少；而 又在区间 连续，所以 在 处取最大值 ． 已知 ，由上知 于是数列的第三项 是此数列中最大的一项． 52．过点 作曲线 的切线，该切线与此曲线及 轴围成一平面图形 ．试求平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：设切线与曲线相切于点 （如第52题图所示）， 第52题图 由于 则切线方程为 因为切线经过点 ， 所以将 代入上式得切点坐标为 从而切线方程为 因此，所求旋转体的体积为 ． 五、证明题（8分） 53．证明不等式： ，其中 为正整数． 证明：设 ，则 在 上连续，在 内可导，故 在区间 上满足拉格朗日中值定理条件， 于是，至少存在一点 ，使得 又因为 ，故 ，从而有 所以 ． � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� y x 1 2 1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 高等数学 第 14 页 （共15页） 2013年全程保二本、VIP年前保过班、秋季基础一期班10月13日正式上课。 2012年10月20日洛阳、平顶山、新乡、开封四个地市同时开课。 2012年10月27日秋季基础二期班、地市精讲班同时开课。 2013年1月19日寒假实战班在总部开课。 _1399356136.unknown _1405842218.unknown _1405846744.unknown _1406014653.unknown _1406961128.unknown _1406961474.unknown _1406961722.unknown _1406961809.unknown _1406961927.unknown _1406962531.unknown _1406962599.unknown _1406961960.unknown _1406961899.unknown _1406961746.unknown _1406961558.unknown _1406961651.unknown _1406961522.unknown _1406961249.unknown _1406961261.unknown _1406961167.unknown _1406015068.unknown _1406961041.unknown _1406961097.unknown _1406015118.unknown _1406014797.unknown _1406015033.unknown _1406014757.unknown _1406013723.unknown _1406014377.unknown _1406014391.unknown _1406014408.unknown _1406014385.unknown _1406014344.unknown _1406014351.unknown _1406013932.unknown _1406013966.unknown _1406013863.unknown _1406012812.unknown _1406013657.unknown _1406013695.unknown _1406013613.unknown _1405846808.unknown _1406012741.unknown _1405846757.unknown _1405843979.unknown _1405844836.unknown _1405845578.unknown _1405845908.unknown _1405846353.unknown _1405846629.unknown _1405846296.unknown _1405845737.unknown _1405845441.unknown _1405845510.unknown _1405845425.unknown _1405844560.unknown _1405844678.unknown _1405844724.unknown _1405844677.unknown _1405844461.unknown _1405844462.unknown _1405844348.unknown _1405843408.unknown _1405843623.unknown _1405843708.unknown _1405843762.unknown _1405843644.unknown _1405843522.unknown _1405843523.unknown _1405843521.unknown _1405842382.unknown _1405843325.unknown _1405843326.unknown _1405842480.unknown _1405842317.unknown _1405842363.unknown 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