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基于区域的图切割算法求解Mumford_Shah图像分割模型

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基于区域的图切割算法求解Mumford_Shah图像分割模型 第39卷 第2期 2012年2月 计 算 机 科 学 Computer Science Vol.39No.2 Feb 2012 到稿日期:2011-03-17 返修日期:2011-06-22  本文受国家自然科学基金(NSFC 60872138),西安工业大学校长基金(XAGDXJJ-0931)资助。 张文娟(1980-),女,博士生,讲师,主要研究方向为小波分析及变分、偏微分方程在图像处理中的应用,E-mail:girl-zwj@163.com。 基于区域的图切割算法求解Mumford-Shah图像分割模型 张文...
基于区域的图切割算法求解Mumford_Shah图像分割模型
第39卷 第2期 2012年2月 计 算 机 科 学 Computer Science Vol.39No.2 Feb 2012 到稿日期:2011-03-17 返修日期:2011-06-22  本文受国家自然科学基金(NSFC 60872138),西安工业大学校长基金(XAGDXJJ-0931)资助。 张文娟(1980-),女,博士生,讲师,主要研究方向为小波分析及变分、偏微分方程在图像处理中的应用,E-mail:girl-zwj@163.com。 基于区域的图切割算法求解Mumford-Shah图像分割模型 张文娟1,2 冯象初1 (西安电子科技大学理学院 西安710071)1 (西安工业大学数理系 西安710032)2   摘 要 在Egil Bae和Tai Xue-Cheng提出的图切割算法基础上,给出了一种改进算法用于求解 Mumford-Shah图像 分割模型。首先利用 Mean Shift算法对原始图像进行过分割,基于过分割产生的小区域构造恰当的图,使得分割问题 转化为求特定图的最小切割问题。数值实验结果显示,直接利用 Mean Shift算法分割的效果不理想,本保持了与 Egil Bae和Tai Xue-Cheng方法相类似的分割效果,而运算效率却有了很大提高。 关键词 图像分割,图切割,区域,Mumford-Shah模型,分片常数水平集方法,Mean Shift算法 中图法分类号 TP391   文献标识码 A   Region-based Graph Cut Algorithm for Mumford-Shah Image Segmentation Model ZHANG Wen-juan1,2 FENG Xiang-chu1 (School of Science,Xidian University,Xi’an 710071,China)1 (Department of Mathematics and Physics,Xi’an Technological University,Xi’an 710032,China)2   Abstract An improved graph cut algorithm was proposed based on the method presented by Egil Bae and Xue-Cheng Tai for solving the Mumford-Shah image segmentation model.Firstly the original image was over-segmented using Mean Shift method.An appropriate graph was constructed on the basis of the produced small regions.Thus by finding the minimum cut over the special graph,we obtained the solution for the segmentation problem.Numerical experiments show that the segmentation results of Mean Shift algorithm are not desirable.Our method has similar results with that presented by Egil Bae and Xue-Cheng Tai.However,the computation efficiency is greatly improved. Keywords Image segmentation,Graph cut,Regions,Mumford-Shah model,Piecewise constant level set method,Mean shift algorithm   1 引言 以往的工作中,利用图切割技术解决多相位分割问题常 用某种逼近方法,其基本思想是通过求解一系列二进极小化 问题,最终以多项式时间收敛到次最优逼近解。其中一种方 法是所谓的α展开方法,这种方法关于分割的相位数具有线 性收敛速度。对α展开方法的某种改进参见文献[1]。文献 [2]提出了一种类似的关于分割的相位数具有对数收敛速率 的方法。其它的用于图像分析的整数优化方法可参考文献 [3],常用的一种方法是基于拉格朗日松弛的。这些方法的难 点在于很难分析逼近解与精确解之间的误差大小,只能确定 最大误差的范围。 与上述方法不同,文献[4]中的方法和本文方法直接逼近 要极小化的能量泛函,然后构造特定的图,通过图切割技术求 得逼近泛函的精确解。本文与文献[4]中方法不同的是,文献 [4]基于图像的全部像素构造图,数据量很大,而本文首先对 原始图像进行过分割,再基于过分割后产生的小区域构造图。 利用本文方法构造的图的节点数大大减少了,提高了算法的 运行效率,节省了计算所需的存储空间,而且每个小区域中嵌 入了图像的局部信息。数值试验证明,利用本文方法也能取 得与文献[4]方法接近的图像分割效果。但困难在于此时图 的节点、边以及各边相应的权重系数都需要重新定义。 2 相关工作 2.1 图切割算法 设图G=(V,ε),其中V 和ε分别为全体节点和全体边的 集合。(a,b)表示由节点a指向节点b的边,c(a,b)表示该边 上的权重系数。另外还有两个节点s和t,分别称为源点和接 收点。图切割技术是将节点集V 分成两个互不相交的集合 Vs和Vt,使得s∈Vs,t∈Vt。对某一给定的切割,有用边的集 合C定义为 C={(a,b)|a∈Vs,b∈Vt,(a,b)∈ε} (1) 若边e∈ε包含于C,就称其为有用边,切割的代价定义为 |C|=∑ e∈C c(e) (2) 图切割技术的目的是求使得式(2)所示的代价达到最小 的切割,称为最小切割技术。根据Ford和Fulkerson的对偶 理论,最小切割可以通过Ford-Fulkerson等最大流算法有效 地计算出来。 2.2 基于分片常数水平集函数的 Mumford-Shah模型 文献[5]提出利用PCLSM(Piecewise Constant Level Set ·792· Method)来表示 Mumford-Shah泛函。不同于传统的水平集 方法,PCLSM通过水平集函数的不连续表示各子区域之间 的边界曲线,而且对任意给定相位数的分割,只需要一个水平 集函数即可。将其简单描述如下,现将区域Ω分为n个子区 域{Ωi}ni=1,使其满足 Ωi∩Ωj=Θ,i≠j,i,j=1,2,…,n;∪ n i=1 Ωi=Ω (3) 分片常数水平集函数(x)定义为 (x)=i,当x∈Ωi时,i=1,2,…,n (4) 当且仅当函数(x)的值为多项式 K()=∏ n i=1 -( )i (5) 的零点时,满足条件(4)。利用函数可以表示每个子区域 Ωi的特征函数ψi。 ψi= 1 αi ∏ n j=1,j≠i -( )j αi= ∏ n k=1,k≠i i -( )k (6) 式中,ψi 在 Ωi 内取值为1,在其余区域 Ω\Ωi 上取值为0。 Mumford-Shah泛函可用下面的能量泛函逼近,即 E(c,)=∫Ω(u-u0)2dx+νTV() (7) 式中,u0 为给定的定义在区域Ω上的图像,u=∑ n i=1 ciψi。为了 在离散情形下可以用图表示及使得正则化尽可能各向同性, 总变差正则项TV()[7,8]取为 TV1,π/4()= 12∫Ω{|(x)|1+|Rπ/4(x)|1}dx (8) 式中,Rπ/4为逆时针旋转π/4所对应的旋转矩阵。综上所述, 利用分片常数水平集方法极小化 Mumford-Shah泛函,须求 解下面带约束的最优化问题。 min c, E(c,),使得K()=0 (9) 下面给出泛函式(7)的离散化形式。设P={(i,j)|i∈ {1,…,N},j∈{1,…,M}}为图像的全体像素点,i,j,u0i,j,ui,j 分别表示相应的函数在这些像素点上的值,则范数TV1,π/4的 离散形式为 TVd1,π/4= 1 2 ∑(i,j)∈P {|i+1,j-i,j|+|i,j+1-i,j|}+ 1 槡2 2 ∑ (i,j)∈P {|i+1,j+1-i,j|+|i-1,j+1-i,j|} (10) 对给定的(i,j)∈P,用N8(i,j)表示点(i,j)的全体邻域 点的集合,N(i,j)表示(i,j)的部分邻域点的集合,定义如下。 N8(i,j)={(i±1,j),(i,j±1),(i±1,j±1)} N(i,j)={(i+1,j),(i,j+1),(i+1,j+1),(i-1,j+ 1)} 则泛函式(7)的离散形式可写为 Ed(c,)= ∑ (i,j)∈P (ui,j-u0i,j)2+ν ∑ (i,j)∈P   ∑ (i′,j′)∈N(i,j) 1 2ω(i,j),(i′,j′)|i,j-i′,j′| (11) 对(i′,j′)∈N8(i,j),有 ω(i,j),(i′,j′)= 1 2‖(i,j)-(i′,j′)‖2 由于ω(i,j),(i′,j′)=ω(i′,j′),(i,j),因此在第二个和式中每一项 都被计算了两次,故须乘因子1 2 。 对固定的函数,关于向量c={ci}ni=1求泛函式(7)的极 小解,可求得c的各个分量值为 ci =∫Ωu 0(x)ψi(x)dx ∫Ωψi(x)dx i=1,2,…,n (12) 其离散形式为 ci= ∑ (i,j)∈P u0i,jψi,(i,j) ∑ (i,j)∈P ψi,(i,j)  i=1,2,…,n (13) 现要同时关于和c求解问题(9),这里采用交替极小化 的方法,最终迭代收敛到所求的解。算法如下: 算法1 估计初始值c0,设l=0。 1)求解=argmin 珘:K(珘)=0 Ed(cl,珘); 2)根据式(13)计算cl+1; 3)令l=l+1,若‖cl-cl-1‖<tol,停止,否则,返回1。 本文估计初始值c0 时用的是Isodata算法。给定向量c 关于求解问题式(9)时,若利用梯度下降法[5,9],缺点是容易 收敛到局部极小解,且收敛速度慢。图切割技术是一种全局 优化算法,而且实现速度快。第3.2节通过构造恰当的图,使 得问题转化为求该图的最小切割问题,即构造图G,使得 min cutson G |C|= min :K()=0 Ed(c,)+σ (14) 式中,σ为一常数,极小解不会受此常数的影响。 文献[4]基于图像的像素点定义所构造的图的节点,这样 即使是一个很小的200*200的图像,也会有40000个节点, 节点之间关系矩阵的大小为40000*40000。如此大的数据 量会使得算法非常耗时,而且所需的记忆存储空间也非常大, 影响算法的实施效率。这个问题可以通过下采样得以解决, 但是下采样会导致图像的局部强度信息丢失,致使分割后目 标物体的边界扭曲。 3 基于区域的图切割算法 3.1 Mean-Shift算法 首先介绍一种局部分割方法:Mean Shift方法。主要利 用文献[10]的工作,给定d维空间Rd 的n个数据点xi,i=1, 2,…,n,在点x的密度梯度估计[10]为  ∧ fh,K(x)≡f ∧ h,K(x) =2ck,dnhd+2 · ∑ n i=1 g x-xi h( )[ ] 2 · ∑ n i=1 xig x-xi h( ) 2 ∑ n i=1 g x-xi h( ) 2 - 熿 燀 燄 燅 x (15) 式中,f ∧ h,K(x)表示在点x处以K 为核的核密度估计,h为带 宽参数。函数g(x)=-k′(x),对x≥0,k(x)为核K(x)的轮 廓,即K(x)=ck,dk(‖x‖2),ck,d>0为归一化常数。以g(x) 为轮廓的核设为G(x)=cg,dg(‖x‖2),利用核计算的在点x 的核密度估计为 f ∧ h,G(x)= cg,d nhd∑ n i=1 g x-xih( ) 2 (16) 在点x的 Mean Shift向量定义为 mh,G(x)= ∑ n i=1 xig x-xi h( ) 2 ∑ n i=1 g x-xi h( ) 2 -x (17) ·892· 由式(15)-式(17),mh,G(x)可表示为 mh,G(x)=12h 2c ∧ fh,K(x) f ∧ h,G(x) (18) 上式说明在x点处与核对应的 Mean Shift向量正比于 化的以K为核的密度梯度估计,故 Mean Shift向量总是指向 密度增加最快的方向,因此它可以定义一条通向估计密度的 稳定点的路径。 对每个xi(i=1,2,…,n),定义序列 yj+1= ∑ n i=1 xig yj -xi h( ) 2 ∑ n i=1 g yj -xi h( ) 2 j=1,2,… (19) y1 为核的初始位置的中心,令f ∧ h,K(j)=f ∧ h,K(yj)。 定理1 若核K 有一个凸的且单调递减的轮廓,则序列 {yj}j=1,2,…及{f ∧ h,K(j)}j=1,2,… 收敛且{f ∧ h,K(j)}j=1,2… 单调递 增。 设yc 为{yj}j=1,2,…的收敛点,因为f ∧ h,K(x)为连续函数, 所以f ∧ c h,K=f ∧ h,K(yc)为{f ∧ h,K(j)}j=1,2… 的收敛点。由于mh,G (yj)=yj+1-yj,也就是说从yj 到yj+1是以yj 点的 Mean Shift向量为路径的,则有mh,G(yc)=0,由式(18)可推出  ∧ fh,K(yc)=0,即yc 为密度估计f ∧ h,K的稳定点。 文献[10]给出了基于 Mean Shift方法的图像特征空间 (L*u*v*空间)分析的两种应用:保留不连续的滤波及在此 基础上的图像分割,在图像的d维联合空-值域中进行分析, d=p+2。当图像为灰度图像时,p=1;为彩色图像时,p=3。 其中采用的多元核定义为两个径向对称核的乘积。 Khs,hr(x)= C h2shpr k x s hs( ) 2 k x r hr( ) 2 (20) 式中,xs 和xr 分别表示向量x的空域和值域部分,k(x)为空 域和值域中所用的共同的轮廓,hs 和hr 为核的带宽,C为相 应的规范化常数。 设xi,zi(i=1,2,…,n)为联合空-值域中的d维输入和 滤波后的数据点,Li 为分割后图像中第i个像素点的标值, Mean Shift分割算法为 1)对图像进行 Mean Shift滤波。 a)初始化j=1,令yi,1=xi=(xsi,xri)(i=1,2,…,n) 根据式(19)计算yi,j+1,直到收敛,收敛点为yi,c; b)令zi=(xsi,yri,c)。 2)在联合域中将{zi}ni=1分为m类:{Cp}p=1,2,…,m,将所有 在空域中距离小于hs、值域中距离小于hr 的zi分为一类。 3)对i=1,2,…,n,令Li={p|zi∈Cp}。 4)丢掉包含像素点个数小于M 的区域。 从第4节的数值实验可以看出,如果直接利用 Mean Shift方法对原始图像进行分割,虽然分割的速度很快,但分 割效果不佳。本文在文献[4]的工作基础上,给出了一种改进 算法,可以克服文献[4]中算法数据量大的问题,而不会像下 采样方法那样丢失图像的局部强度信息,同时又能得到比 Mean Shift算法好得多的分割效果。首先利用上述 Mean Shift方法对原始图像进行过分割,所谓过分割是指分割所产 生的区域数要相对大一些,然后基于这些小区域构造图,使得 式(14)成立。利用这种方法,图像的局部特性会嵌入到每个 小区域中,而图的节点数却大大减少了。但此时,所构造图的 节点要重新定义为过分割后的小区域,边建立在相邻的两个 小区域之间。最关键的是要定义每条边上的权重系数,使得 当给定这些小区域的某种分割时,应该与文献[4]中的方法等 价。 3.2 图的构造 下面展示分别将图像分割为两个相位和多个相位的情形 下,如何构造恰当的图以及如何建立对该图的切割与函数 的关系,从而可以通过图切割算法极小化泛函式(11)。 3.2.1 二相位分割 对二相位分割,要把过分割产生的小区域分为两部分。 设这些小区域的个数为L,把每个小区域作为图G的节点,记 作vp{p=1,2,…,L}。在以后的内容中,也用vp 表示其所对 应的小区域。则全部节点的集合定义为 V={vp|p∈{1,2,…,L}}∪{s}∪{t} 所构造的图G的边由从源点s到每个节点、从每个节点到接 收点t以及相邻的两个小区域所对应的节点之间3部分构 成,全体有向边组成的集合为 ε={(vp,vq)|p∈{1,2,…,L},vq∈N(p)}∪{(s,vp)| p∈{1,2,…,L}}∪{(vp,t)|p∈{1,2,…,L}} 式中,N(p)表示与vp 相邻的小区域的集合。 现在建立对图G的某种切割与分片常数水平集函数之 间的关系。设(Vs,Vt)为对图G的某一切割,C为有用边的集 合,对任意小区域vp 所包含的全体像素点,的取值为同一 常数。在这些像素点,的值定义为 p= 1, vp∈Vt 2, vp∈V{ s (21) 图1给出了这种情况下图G的构造以及相应于G 的某 种切割函数的取值情况。假设过分割后6个小区域的结构 如图1(a)所示,图1(b)为构造的图G,给定切割Vs={v3,v6, s},Vt={v1,v2,v4,v5,t},图1(b)中虚线表示有用边,对应于 该切割每个小区域或节点的的取值如图1(c)所示。 (a)过分割后产生的小区域示例    (b)构造的图G,其中虚线所示为有 用边 (c) 图1 二相位分割情形 为保证等式(14)成立,图G 中各边的权重系数定义如 下,此时常数σ=0。 c(s,vp)= ∑ (i,j)∈vp |u0i,j-c1|2,p∈{1,2,…,L} ·992· c(vp,t)= ∑ (i,j)∈vp |u0i,j-c2|2,p∈{1,2,…,L} c(vp,vq)=ν ∑ (i,j)∈vp   ∑ (i′,j′)∈vq (i′,j′)∈N8(i,j) ω(i,j)(i′,j′),p∈{1,2,…, L} (22) 可以验证,下面给出的能量泛函与式(11)是等价的。 Ed(c,)=∑ L p=1   ∑ (i,j)∈vp |ui,j-u0i,j|2+ν∑ L p=1   ∑ vq∈N (p) 1 2 ( ∑ (i,j)∈vp   ∑ (i′,j′)∈vq (i′,j′)∈N8(i,j) ω(i.j),(i′,j′))|p-q| (23) 由此,对图G的任一切割和相应的函数,有如下关系成立。 |C|=Ed(c,) (24) 因此,对图G的最小切割所对应的分片常数水平集函数 就是能量泛函式(11)的极小解。 3.2.2 多相位分割 这里,将多相位分割看作是上述二相位分割情形的推广, 其目的是将过分割后产生的小区域分为n个相位。为此,须 在上节所构造的图G的基础上再增加一个维数,即在R3 中 考虑该问题。这里构造的图G的节点用vp,l表示,全体节点 的集合V 定义为 V={vp,l|p∈{1,2,…,L},l∈{1,2,…,n-1}}∪{s}∪ {t} 节点总数为L×(n-1)+2,而文献[4]中多相位分割情 况下的节点数为N×M×(n-1)+2,显然这里的节点数要少 得多。将图G的全体边的集合分为两类:εD 和εR。εD 对应于 泛函式(11)中的数据项,其定义如下: εD=∪p∈{1,2,…,L}εp 对每个小区域vp,有向边集合εp 定义为 εp=(s,vp,1)∪n-2l=1(vp,l,vp,l+1)∪(vp,n-1,t)εR 对应于泛函式(11)的正则项,定义为 εR={(vp,l,vq,l)|p∈{1,2,…,L},vq∈N(p),l∈{1,2, …,n-1}} 给定对图G的任一切割{Vs,Vt},对每个p∈{1,2,…, L},εp 中至少有一条边是有用的,否则节点s和t就分不开 了。这样,εD 中至少有L 条边是有用的。如果存在某一切 割,对每个p∈{1,2,…,L},εp 中刚好有一条边是有用的,则 称该切割是容许的。此时,εD 中正好有L条边是有用的。 类似于上节,下面建立对图G的某种切割与水平集函数 之间的关系。设(Vs,Vt)是对图G的某一切割,Cε为有 用边集合,对任意p∈{1,2,…,L},在小区域vp 所包含的像 素点处,水平集函数的取值为 p= 1, vp,1∈Vt l+1, vp,l∈Vs,vp,l+1∈Vt n, vp,n-1∈V 烅 烄 烆 s (25) 由于容许切割的限制,故这样定义的水平集函数一定是 单值的,取 σ=M·N·(n-1)·k·ν· max (i,j)∈P,(i′,j′)∈N8(i,j) ω(i,j),(i′,j′) (26) 则对图G的具有最小代价的切割均为容许切割。图2为将 图1(a)所示的6个小区域分割为4个相位时,图G的构造以 及给定对G 的某一容许切割后相应的函数的取值情况。这 里为简单起见,将图G放在了R2 中。图2(a)为所构造的图, 并且给出了对G的某一容许切割,其中虚线所示为有用边。 图2(b)为对应于图2(a)给出的切割、函数在各个小区域中 的取值情况。 (a)构造的图及某一容许切割 (b) 图2 多相位分割情形 下面定义图G 中各边的权重系数,使得关系式(14)成 立。先定义数据项所对应的边,即εD 中的边的权重系数。 c(s,vp,1)= ∑ (i,j)∈vp |u0i,j-c1|2+ σMN ·lp,p∈{1,2,…,L} c(vp,l,vp,l+1)= ∑ (i,j)∈vp |u0i,j-cl+1|2+ σMN ·lp  p∈{1,2,…,L},l∈{1,2,…,n-2} c(vp,n-1,t)= ∑ (i,j)∈vp |u0i,j-cn|2+ σMN ·lp  p∈{1,2,…,L} (27) 式中,lp 为小区域vp 中所含的像素点的个数。正则项对应的 边,即εR 中的边的权重系数定义为 c(vp,l,vq,l)=ν ∑ (i,j)∈vp   ∑ (i′,j′)∈vq (i′,j′)∈N8(i,j) ω(i,j),(i′,j′)  p∈{1,2,…,L},vq∈N(p),l∈{1,2,…,n-1} (28) 综上所述,对任一定义在区域Ω上且在{1,2,…,n}中取 值的分片常数水平集函数,都唯一存在对图G的一种容许 切割,反之也成立。而且,给定向量c={ci}ni=1,函数和与其 相应的切割满足关系 |C|=Ed(c,)+σ (29) 因此,对应于最小切割的函数即为泛函式(11)的极小 解。 4 数值实验 下面利用本文算法对一幅合成图像及一幅医学图像进行 分割。使用的计算机系统为 Microsoft Windows XP Profes- sional,2002版本,计算机为 Pentium(R)Dual-Core,CPU E5200,2.5GHz,1.99GB的内存,编程软件为 Matlab 7.0。 ·003· 如下实验中,合成图的大小为256*256,医学图像的大小为 348*314。 设利用Mean Shift算法对原始图像过分割后小区域的个 数为L,分割的相位数为n,则本文算法所构造的图的节点数 为L*(n-1)(除源点与接收点外)。与文献[4]中算法相比 较,以合成图为例,文献[4]中算法构造的图的节点数为256* 256*(n-1),关系矩阵的大小为(256*256*(n-1))2。在 前面所述的硬件条件下,用 Matlab 7.0编程实现会出现内存 不足的提示,故文献[4]中算法的分割结果是用C++编程实 现的。 图3为对合成图像的分割结果比较。(a)为原始的要分 割的合成图像,其中含有标准差为20的高斯噪声。(b)为利 用 Mean Shift算法对(a)过分割后各区域的边界曲线图,各参 数取值为hs=8,hr=7,M=30,分割后小区域的个数为36。 (c)为本文算法的分割结果,算法中的图是基于(b)中的小区 域构造的。(d)为文献[4]中算法的分割结果。可以看出,利 用本文方法和文献[4]中算法的分割结果比较接近,原始图像 中的尖角处以及目标内部的洞都能被很好地出来。(e) 为利用 Mean Shift算法的分割结果,所需参数hs=8,hr=7, 当参数M 取得充分大时,经多次试验,当 M=1009时,利用 Mean Shift算法也能将原始图像分割成4个区域,如(e)所 示,从图中可以看出,分割的结果不够准确,圆环状目标内部 的洞没能检测出来。如果M 的取值小于1008,则 Mean Shift 算法至少能将原始图像分割为5个区域,除了应该分割出来 的4个区域外,将圆环中的洞也当作目标分割出来了。所以, 利用 Mean Shift算法分割的效果不佳。     (a)原始合成图像 (b)Mean Shift过分割后的边界曲线 (c)本文算法的分割结果 (d)文献[4]中方法的分割结果 (e)Mean Shift算法分割结果 图3 合成图像的分割结果比较 图4为对医学图像分割结果的比较。其中(a)为原始医 学图像,要从中分割出3个相位:黑色区域、灰色区域以及白 色区域;(b)为 Mean Shift过分割后各区域的边界曲线图,各 参数值为hs=10,hr=5,M=20,过分割后小区域数为428; (d),(e)分别为本文方法和文献[4]中算法的分割结果,可以 看出,本文方法和文献[4]中方法都能将这3个区域很好地分 割出来,分割结果差别不大。        (a)原始医学图像 (b) Mean Shift过分割后的边界曲线 (c)本文算法的分割结果 (d)文献[4]中方法的分割结果 图4 医学图像的分割结果比较 结束语 本文给出了一种新的极小化 Mumford-Shah泛 函的分片常数水平集表示的图切割算法。该方法基于对原始 图像过分割后产生的小区域构造图,因此称为基于区域的图 切割算法。与Egil Bae和Tai Xue-Cheng提出的图切割算法 相比,所构造的图的节点数大大减少了,因而提高了算法的实 现效率;而且数值实验结果显示,本文方法保持了较好的分 割效果。然而,算法对用于过分割的局部分割方法有一定的 依赖性,今后还须就此方面的问题改进算法。 参 考 文 献 [1] Komodakis N,Tziritas G,Paragios N.Fast,approximately opti- mal solutions for single and dynamic MRFS[C]∥Computer Vi- sion and Pattern Recognition.IEEE Conference,2007:1-8,17-22 [2] Lempitsky V,Rother C,Blake A.Logcut-efficient graph cut op- timization for markov random fields[C]∥IEEE 11th Interna- tional Conference on Computer Vision.2007:1-8,14-21 [3] Dahl G,Storvik G,Fadnes A.Large-scale integer programs in image analysis[J].Operation Researth,2002,50(3):490-500 [4] Bae E,Tai X C.Graph Cut Optimization for the Piecewise Con- stant Level Set Method Applied to Multiphase Image Segmenta- tion[J].Scale Space and Variational Methods in Computer Vi- sion,2009,5567:1-13 [5] Lie J,Lysaker M,Tai X C.A variant of the level set method and applications to image segmentation[J].Mathematics of Compu- tation,2006,75(255):1155-1174 [6] Tai X C,Christiansen O,Lin P,et al.Image segmentation using some piecewise constant level set methods with MBO type of project[J].International Journal of Computer Vision,2007,73: 61-76 [7] Chambolle A.Total variation minimization and a class of binary MRF models[J].Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition,2005,3757:136-152 [8] Ranchin F,Chambolle A,Dibos F.Total variation minimization and graph cuts for moving objects segmentation[J].Scale Space and Variational Methods in Computer Vision,2007,4485:743-753 [9] Tai X C,Yao C.Fast PCLSM with Newton updating algorithm [J].Image Processing Based on Partial Differential Equations, 2007,Part III:249-262 [10]Comaniciu D,Meer P.Mean shift:A robust approach toward feature space analysis[J].IEEE Trans.on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2002,24:603-619 ·103·
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