恒成立问题

恒成立问题 恒成立问题常见解法 2*Sknn,，S{}a1.(2009浙江文20)设为数列的前n项和，，，其中是常数( nN,knnn aa (I) 求及; 1n *aaa (II)若对于任意的，，，成等比数列，求的值. (注:主元法) mN,km2m4m 1322.(2010甘肃省一诊文21) 设函数 f(x),x，ax，x，2,a,R.3(1). 讨论f(x)的单调性; 1*(2). 设函数f(x)在区间(-1，-)内是减函数，求的取值范围.( 注:利用子集关系) 3 1323. (2010甘肃省一诊文21) 设函数 f(x),x，ax，x，2,a,R.3 f(x)(1). 讨论的单调性; 1*2f(x)() . 设函数在区间(-1，-)内是减函数，求的取值范围.(注:一元二次方程布3根法) 1324. (2009全国卷?，21)设函数. f(x),x,(1，a)x，4ax，24a,a,13 的单调性; (1).讨论f(x) *xa() . 若当 ?0时， >0 恒成立，求的取值范围.( 注:利用最值法.) 2f(x) 9325. (2009江西文17)设函数 f(x),x,x，6x,a2 *'f(x),mxm(1)(1)对于任意实数， 恒成立，求 的最大值;(注:判别式法.) a(2)若方程f(x),0 有且仅有一个实根，求 的取值范围 1326. (2010甘肃省一诊文21) 设函数f(x),x，ax，x，2,a,R. 3 f(x)(1). 讨论的单调性; 1*f(x)2()设函数在区间(-1，-)内是减函数，求的取值范围. (注:分离参数法.) 3 3223fxxaxaxa()39,,,，7. (2009宁夏海南文21)已知函数. ，求函数的极值; (1) 设fxa,1，， 1*'a() 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围. (注:2a,f(x)xa,1,4,,,4 分类讨论.) 1328. (2009山东文21)已知函数,其中 fxaxbxx()3,，，，a,03 a,bf(x)(1).当满足什么条件时,取得极值? *a2f(x)(0,1]() 已知,且在区间上单调递增,试用示出的取范值围.(注:分类a,0b与分离相结合.) :1.解析:(?)当， n,1,a,S,k，111 22n,2,a,S,S,kn，n,[k(n,1)，(n,1)],2kn,k，1, () nnn,1 ,？a,2kn,k，1 经验，()式成立， n,1,n 2？a,a,a (?)成等比数列，， ？a,a.am2m4m2mm4m 2(4km,k，1),(2km,k，1)(8km,k，1)即，整理得:， mk(k,1),0 对任意的成立， ？k,0或k,1m,N, 222.(2)解:有(1)可知当或时，在单y,f(x)(,a,a,1,,a，a,1)a,,1a,1 调递减 1要使在(-1，-)单调递减 y,f(x)3 2,a,a,1,,1{12只需即可 ,a，a,1,, 3 5解得: a,3 13.(2)..解:要使y,f(x)在(-1，-)单调递减 3 |2f(x),x，2ax，1只需的图像如图所示: |2f(x),x，2ax，1,0x,x,的两个不相等的实根设,12 1x,x,x,(,,,,1),x,(,,，,) 12123 |f(,1),051,2a，1,0{,{a,1|12f(,),0则有解得 ,a，1,03393 2,f(x),x,2(1，a)x，4a,(x,2)(x,2a)4.解(?) ,由知，当时，，故在区间是增函数; f(x),0f(x)(,,,2)a,1x,2 ,时，，故在区间是减函数; 当f(x),0f(x)(2,2a)2,x,2a ,当时，，故在区间是增函数。 f(x),0f(x)(2a,，,)x,2a 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是f(x)(,,,2)(2,2a)(2a,，,)a,1 减函数。 (?)由(?)知，当时，在或处取得最小值。 f(x)x,0x,2ax,0 132 f(2a),(2a),(1，a)(2a)，4a,2a，24a3 432 ,,a，4a，24a3 f(0),24a f(0),f(2a)f(0),f(2a) ,,当时，f(x)>0恒成立或 x,0,f(2a),0f(0),0 解得 1,a,6 '2fxxxxx()3963(1)(2),,，,,,5.解:(1) , '2fxm(),39(6)0xxm,，,, 因为x,,,，,(,),, 即 恒成立, 33m 所以 ,,,,,8112(6)0m, 得，即的最大值为, m,,44 ''fx()0,fx()0, (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, x,112,,xx,2'fx()0,; 5fx() 所以 当时,取极大值 ; fa(1),,x,12 fx()fa(2)2,, 当时,取极小值 ; x,2 f(2)0,f(1)0,fx()0, 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或a,25a,. 2 1？6. (2)解:在(-1，-)单调递减 y,f(x)3 1|2？f(x),x，2ax，1,0在恒成立即可 x,(,1,,)3 2，11x12,,即:a 2ax,,x,1a,,(x，),,2x2x 11t,x，,x,(,1,,)令单调递减 x3 10所以 t,,min3 1105即a,,，(,), 233 5故: a,3 7.(?)当a=1时，对函数fx()求导数，得 '2fxxx()369.,,, 'fxxx()0,1,3.,,,,解得 令 12 'fxfx(),()列表讨论的变化情况: x (3,)，,(,1),,, (-1，3) 3 ,1 '+ 0 — 0 + fx() 极大值6 极小值-26 fx() fx()f(1)6,,f(3)26.,,所以，的极大值是，极小值是 '22fxxaxa()369,,,(?)的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称. 1'若上是增函数，从而 ,,afx1,()则在[1,4a]4 ''2'2fx()在[1,4a]faa(1)369,,,,faa(4)15.,上的最小值是最大值是 '22|()|12,1236912,fxaaxaxaa,,,,,,得由于是有 '2'2faaafaaa(1)36912,(4)1512.,,,,,,,且 14''由 faafaaa(1)121,(4)120.,,,,,,,,得由得35 11414所以 aa,,,(,1][,1][0,],(,].即43545 '2'|()|1212.[1,4]|()|12faaaxafxa,,,,故当时若a>1,则不恒成立. 14'|()|12([1,4])fxaxa,,所以使恒成立的a的取值范围是 (,].45 22fxaxbx'()21,，，8.解: (1)由已知得,令,得, f'(x),0axbx，，,210 2要取得极值,方程必须有解, f(x)axbx，，,210 222所以?,即, 此时方程的根为 ,,,440baba,axbx，，,210 2222,,,,,,244bbabba,，,,，,244bbabbax,,x,,,, 122aa2aa fxaxxxx'()()(),,,所以 12 当时, a,0 x (-?,x) x(x,x) x (x,+?) 1 1 1222 ， 0 , 0 ， fx'() 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 fx() 所以f(x)在x, x处分别取得极大值和极小值. 12 当时, a,0 x (-?,x) x(x,x) x (x,+?) 2 2 2111 , 0 ， 0 , fx'() 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 fx() f(x)所以在x, x处分别取得极大值和极小值. 12 2a,bf(x)综上,当满足ba,时, 取得极值 2fxaxbx'()210,，，,f(x)(0,1](0,1](2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立. ax1ax1即恒成立, 所以 bx,,,,,(0,1]b,,,()max22x22x 12ax(),ax1a1a设,, gx(),,,gx'(),,，,2222x222xx 11x,x,,令得或(舍去), gx'()0, aa 11ax1x,(0,)当时,,当时,单调增函数; gx'()0,01,,gx(),,,a,1a22xa 1ax1x,(,1]当时,单调减函数, gx'()0,gx(),,,22xa 11x,ga(),,所以当时,取得最大,最大值为. gx() aa ba,,所以 1ax1,1当时,,此时gx'()0,在区间(0,1]恒成立,所以在区间gx(),,,01,,a22xa a，1a，1(0,1]上单调递增,当时gx()最大,最大值为,所以 b,,g(1),,x,122 a，1ba,,综上,当时, ;当时, b,,a,101,,a2